Polynômes du premier degré (fonctions affines)

Solution de l'équation affine $ax + b = 0$:

• si $a \neq 0$, alors un nombre réel unique est solution : $$S = \left\{ - ~ \frac{b}{a} \right\}$$
• si $a \neq 0$, alors aucun nombre réel n'est solution : $$S = \emptyset$$
• si $a = 0$ et $b = 0$, alors tout nombre réel est solution : $$S = \mathbb{R}$$

Polynômes du second degré (fonctions quadratiques)

Solution de l'équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Si } \Delta < 0 & \text{Si } \Delta = 0 & \text{Si } \Delta > 0 \\ \hline \text{Racines} & - & x_0 = \frac{-b}{2a} & x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} ~ ; ~ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\ \hline \text{Factorisation} & - & f(x) = a (x - x_0)^2 & f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \\ \hline \end{array} $$

avec $\Delta = b^2 - 4ac$ le discriminant du polynome $ax^2 + bx + c$.

Extrémum du polynome $ax^2 + bx + c$:

$$x^* = - ~ \frac{b}{2a}$$$$f(x^*) = - ~ \frac{\Delta}{4a}$$

Explication: $x^*$ est la valeur qui vérifie $f'(x) = 0$, i.e. $x^*$ est la solution de l'équation $2ax + b = 0$.

Polynômes du troisième degré (fonctions cubiques)

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