情報利得を最大化するようにする。
$$ IG(D_p,f) = I(D_p)- \sum_{i=1}^m \frac{N_j}{N_p}I(D_j) $$組み合わせ探索空間を減らすために2つの子ノードにする
$$ IG(D_p,f) = I(D_p)- \frac{N_{left}}{N_p}I(D_{left}) - \frac{N_{right}}{N_p}I(D_{right}) $$エントロピーは相互情報量(2つの確率の相互依存度)が最大化するように試みる条件である
$$ I_H(t) = -\sum_{i=1}^c p( \, i \: | \: t \, )\log_2 p( \, i \: | \: t \, ) $$ジニ不純度は誤分類の確率を最小化する条件である。
$$ I_G(t) = -\sum_{i=1}^c p( \, i \: | \: t \, )(1-p( \, i \: | \: t \, )) = 1 - \sum_{i=1}^c p( \, i \: | \: t \, )^2 $$これもクラスが完全に混合化されているときに最大化する。
In [2]:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def gini(p):
return p * (1 - p) + (1 - p) * (1 - (1 - p))
def entropy(p):
return - p * np.log2(p) - (1 - p) * np.log2((1 - p))
def error(p):
return 1 - np.max([p, 1 - p])
x = np.arange(0.0, 1.0, 0.01)
ent = [entropy(p) if p != 0 else None for p in x]
sc_ent = [e * 0.5 if e else None for e in ent]
err = [error(i) for i in x]
fig = plt.figure()
ax = plt.subplot(111)
for i, lab, ls, c, in zip([ent, sc_ent, gini(x), err],
['Entropy', 'Entropy (scaled)',
'Gini Impurity', 'Misclassification Error'],
['-', '-', '--', '-.'],
['black', 'lightgray', 'red', 'green', 'cyan']):
line = ax.plot(x, i, label=lab, linestyle=ls, lw=2, color=c)
ax.legend(loc='upper center', bbox_to_anchor=(0.5, 1.15),
ncol=3, fancybox=True, shadow=False)
ax.axhline(y=0.5, linewidth=1, color='k', linestyle='--')
ax.axhline(y=1.0, linewidth=1, color='k', linestyle='--')
plt.ylim([0, 1.1])
plt.xlabel('p(i=1)')
plt.ylabel('Impurity Index')
plt.tight_layout()
#plt.savefig('./figures/impurity.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.show()
In [3]:
def versiontuple(v):
return tuple(map(int, (v.split("."))))
def plot_decision_regions(X, y, classifier, test_idx=None, resolution=0.02):
# setup marker generator and color map
markers = ('s', 'x', 'o', '^', 'v')
colors = ('red', 'blue', 'lightgreen', 'gray', 'cyan')
cmap = ListedColormap(colors[:len(np.unique(y))])
# plot the decision surface
x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx1, xx2 = np.meshgrid(np.arange(x1_min, x1_max, resolution),
np.arange(x2_min, x2_max, resolution))
Z = classifier.predict(np.array([xx1.ravel(), xx2.ravel()]).T)
Z = Z.reshape(xx1.shape)
plt.contourf(xx1, xx2, Z, alpha=0.4, cmap=cmap)
plt.xlim(xx1.min(), xx1.max())
plt.ylim(xx2.min(), xx2.max())
for idx, cl in enumerate(np.unique(y)):
plt.scatter(x=X[y == cl, 0],
y=X[y == cl, 1],
alpha=0.6,
c=cmap(idx),
edgecolor='black',
marker=markers[idx],
label=cl)
# highlight test samples
if test_idx:
# plot all samples
if not versiontuple(np.__version__) >= versiontuple('1.9.0'):
X_test, y_test = X[list(test_idx), :], y[list(test_idx)]
warnings.warn('Please update to NumPy 1.9.0 or newer')
else:
X_test, y_test = X[test_idx, :], y[test_idx]
plt.scatter(X_test[:, 0],
X_test[:, 1],
c='',
alpha=1.0,
edgecolor='black',
linewidths=1,
marker='o',
s=55, label='test set')
In [4]:
from sklearn import datasets
import numpy as np
from sklearn.cross_validation import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import Perceptron
from sklearn.metrics import accuracy_score
from matplotlib.colors import ListedColormap
# Irisデータセットをロード
iris = datasets.load_iris()
# 3,4列目の特徴量を抽出
X = iris.data[:, [2, 3]]
# クラスラベルを取得
y = iris.target
# print('Class labels:', np.unique(y))
# テストデータの分離
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=0)
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
tree = DecisionTreeClassifier(criterion='entropy', max_depth=3, random_state=0)
tree.fit(X_train, y_train)
X_combined = np.vstack((X_train, X_test))
y_combined = np.hstack((y_train, y_test))
plot_decision_regions(X_combined, y_combined,
classifier=tree, test_idx=range(105, 150))
plt.xlabel('petal length [cm]')
plt.ylabel('petal width [cm]')
plt.legend(loc='upper left')
plt.tight_layout()
# plt.savefig('./figures/decision_tree_decision.png', dpi=300)
plt.show()
直感的には、決定木の「アンサンブル」。4つのステップは、
決定木との差はステップ2
通常、ブートストラップ標本の大きさは元のトレーニングデータセットのサンプルの個数と等しくなる。
トレーニングデータセットの特徴量の合計数よりも小さい値を選択する必要がある。
デフォルト値は$ d = \sqrt{m} $
$ m $はトレーニングデータセットの特徴量の個数
In [9]:
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
forest = RandomForestClassifier(criterion='entropy', n_estimators=10, random_state=1, n_jobs=2)
forest.fit(X_train, y_train)
plot_decision_regions(X_combined, y_combined, classifier=forest, test_idx=range(105, 150))
plt.xlabel('petal length(cm)')
plt.ylabel('petal width(cm)')
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()