6 对称矩阵，正定矩阵和相似矩阵

6.1 对称矩阵

$A^T=A$

性质：

• 特征值均为实数据
• 特征向量相互正交

通常情况下，一个矩阵可以转化为$A=S\Lambda S^{-1}$，在对称矩阵中，由于$SS^T=I$,所以一般用矩阵$Q$来表达矩阵$S$,其中$Q^{-1}=Q^T$,所以$A=Q\Lambda Q^T$

6.2 正定矩阵

正定矩阵为对称矩阵的子集，当所有的特征值为正数时，矩阵为正定举证。

正定性判断

• 所有特征值均大于零：$\lambda_i \gt 0$
• 所有的顺序主子阵的行列式$det(A_i) \gt 0$
• 矩阵消元后的主元均大于零
• $x^TAx \gt 0$

性质

• 正定矩阵$A=S\Lambda S^{-1},A^{-1}=S\Lambda^{-1}S^{-1}$ 正定矩阵的逆也是正定
• $A,B$矩阵为正定，$x^TAx \gt 0,x^TBx \gt 0$,则$x^T(A+B)x= x^TAx + x^TBx \gt 0$,则$A+B$也是正定矩阵
• $m \times n$ 的矩阵 $A^TA$：$x^TA^TAx = (Ax)^T(Ax) = |Ax|^2$,若满足大于零条件，则要求$A$的零空间只有零向量，及A的各列线性无关。
• 正定矩阵在消元过程中不需要交换行

6.3 相似矩阵

定义

矩阵$A,B$,如果某矩阵$M$满足，$B=M^{-1}AM$,则称$A,B$互为相似矩阵。

充要条件 如果$A,B$有相同的特征值，则$A,B$相似。

• 充分性

如果$A,B$有相同的特征值，则对角化$A=S_1 \Lambda S_1^{-1}, B=S_2 \Lambda S_2^{-1}$, 令$M=S_1S_2^{-1}$,则$$M^{-1}AM=S_2S_1^{-1}S_1 \Lambda S_1^{-1}S_1S_2^{-1}=S_2 \Lambda S_2^{-1}=B$$

• 必要性

如果$B=M^{-1}AM$
$$Ax=\lambda x \Rightarrow AMM^{-1}x=\lambda x \Rightarrow M^{-1}AMM^{-1}x=\lambda M^{-1}x \Rightarrow BM^{-1}x=\lambda M^{-1}x$$
所以$B$的特征值为$\lambda$,特征向量$M^{-1}x$