In [1]:
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.constants import h, m_e, elementary_charge
%matplotlib inline
On considère une particule de masse $m$, se déplaçant librement sur un segment de longuer $L$. Pour un tel système, la partie énergie potentielle étant nulle (on choisit $\hat{V} = Cste = 0$) l'équation de Schrödinger s'écrit :
\begin{align*} \hat{\mathcal{H}} \phi & = \varepsilon\phi \\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\phi}{dx^2} & = \varepsilon \phi \end{align*}Les conditions aux limites ou sur la fonction d'onde sont les suivantes :
\begin{equation*} \begin{cases} \phi(0) & = 0 \\ \phi(L) & = 0 \\ \displaystyle\int_0^L \left\vert\phi(x)\right\vert^2 dx & = 1 \end{cases} \end{equation*}Lles fonctions propres et valeurs propres de l'opérateur Hamiltonien dépendent alors d'un nombre quantique $p$ et ont pour expressions :
\begin{equation*} \begin{cases}\displaystyle \displaystyle \phi_p(x) & =\displaystyle \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{p\pi x}{L}\right) \\ \displaystyle \varepsilon_p & = \displaystyle\frac{h^2p^2}{8 m L^2} \end{cases} \end{equation*}
In [2]:
def phi(x, p=1, L=1):
return np.sqrt(2 / L) * np.sin(p * np.pi * x / L)
In [3]:
def epsilon(p, m=m_e, L=1):
""" return energy in eV """
return h**2 * p**2 / (8 * m * L**2) / elementary_charge
Vérification de la condition de normalisation :
In [4]:
L = 1
x = np.linspace(0, L, 100)
np.trapz(phi(x, p=2, L=L)**2, x)
Out[4]:
In [5]:
fig, axes = plt.subplots(nrows=3, figsize=(6, 8), sharex=True, sharey=True, gridspec_kw=dict(wspace=.05, hspace=.0))
L = 1
x = np.linspace(0, L, 100)
for i in range(3):
p = 3 - i
axes[i].plot(x, phi(x, p, L), label="$\phi_p(x)$")
axes[i].plot(x, phi(x, p, L)**2, color="C3")
axes[i].fill(x, phi(x, p, L)**2, color="C3", label=r"$\left\vert\phi_p(x)\right\vert^2$", alpha=.2)
axes[i].plot((0, L), (0, 0), color="C7", linewidth=.5)
axes[i].set_ylabel("p = %d" % p, fontsize=14)
# layout
axes[2].set_xlim((0, L))
axes[2].set_xlabel("x", fontsize=18)
axes[2].legend(fontsize=18)
axes[2].set_xticks([0, L/4, L/2, 3*L/4, L])
text = axes[2].set_xticklabels(["0", "L/4", "L/2", "3L/4", "L"], fontsize=14)
Le module au carré de la fonction d'onde représente la densité de probabilité de présence de la particule. C'est la seule information accessible, la trajectoire n'étant pas définie en mécanique quantique du fait qu'on ne peut pas connaîter à la fois la vitesse et la position de la particule. Pour visualiser la densité de probabilité de présence, on fait l'expérience suivante : on enregistre un grand nombre de fois (ntry fois ici) une photo du système et on superpose l'ensemble de ces photos. Le nuage de points obtenu correspond aux positions accessibles par la particule. Plus les points sont resserrés plus la probabilité de trouver la particule à cet endroit est grande.
Ici on réalise numériquement cette expérience en tirant aléatoirement des points en accord avec la densité de probabilité de présence $\left|\phi_p(x)\right|^2$.
In [6]:
fig, axes = plt.subplots(
nrows=2, ncols=3, figsize=(12, 8),
gridspec_kw=dict(wspace=0, hspace=.0, height_ratios=[2, 1])
)
# nombre de photos
ntry = 5000
# dimension de la boite
L = 1
jitter = .5
x = np.linspace(0, L, 100)
for i in range(3):
p = i + 1
# sample the density
pos = np.random.uniform(0, L, ntry)
rho = phi(pos, p, L)**2
rnd = np.random.uniform(0, 2/L, ntry)
ix = np.where(rho > rnd)
pos = pos[ix]
# plot
axes[0, i].plot(x, phi(x, p, L)**2, color="C3")
axes[0, i].hist(pos, bins=20, normed=True, alpha=.4, edgecolor="C7")
axes[1, i].scatter(pos, np.random.normal(0, jitter, ix[0].shape), color="C7", s=1)
# layout
axes[0, i].set_title("$p$ = %d" % p, fontsize=16)
axes[1, i].set_ylim(-10, 10)
axes[1, i].yaxis.set_visible(False)
axes[1, i].set_xlim((0, L))
axes[1, i].set_xticks([0, L/4, L/2, 3*L/4, L])
text = axes[1, i].set_xticklabels(["0", "L/4", "L/2", "3L/4", "L"], fontsize=14)
axes[1, i].set_xlabel("$x$", fontsize=18)
if i > 0:
axes[0, i].yaxis.set_visible(False)
axes[1, i].set_xticks([L/4, L/2, 3*L/4, L])
text = axes[1, i].set_xticklabels(["L/4", "L/2", "3L/4", "L"], fontsize=14)
else:
axes[1, i].set_xticks([0, L/4, L/2, 3*L/4, L])
text = axes[1, i].set_xticklabels(["0", "L/4", "L/2", "3L/4", "L"], fontsize=14)
fig.savefig("puits_infini.pdf")
Sur la figure ci-dessus :
On observe que :