TP n°1: modélisation de la fermentation alcoolique

Objectif

Ecrire les modèles:

de la fermentation en réacteur batch
de la fermentation en réacteur continu

1. Modèle de fermentation batch

La première réaction de croissance de $X$ sur $S$ peut s'exprimer par: $$ \left\{\begin{array}{cr} \frac{dX}{dt}= & \mu_1(N)X \\ \frac{dN}{dt}= & -k_1\mu_1(N)X \end{array}\right. $$ où $\mu_1$ est la fonction de croissance des levures, que l'on supposera sous forme de loi de Monod, c'est à dire de la forme: $$ \mu_1(N)=\mu_1^{max}\frac{N}{K_N+N}$$
La conversion du sucre en éthanol s'écrit de la façon suivante: $$ \left\{\begin{array}{cr} \frac{dE}{dt}= & \mu_2(E,S)X \\ \frac{dS}{dt}= & -k_2\mu_2(E,S)X \end{array}\right. $$ où $\mu_2$ est la fonction de croissance de l'éthanol, que l'on supposera de la forme: $$ \mu_2(E,S)=\mu_2^{max}\frac{S}{K_S+S}\frac{K_E}{K_E+E}.$$

La quantité $\mu_2(E,S)X$ représente le taux de production ou vitesse de dégagement de $CO_2$.

2. Modèle de fermentation Continue

On s'intéresse maintenant à la fermentation continue. Le fermenteur est alimenté en continu par un moût synthétique avec un débit $Q_{in}$. Pour garder un volume constant $V$, on soutire également du milieu dans le réacteur avec un débit $Q_{out}$ égal à $Q_{in}$. On note $D$ le taux de dilution qui est donné par: $$D=\frac{Q_{in}}{V}.$$

Le moût synthétique comprend uniquement de l'azote et du sucre en concentrations respectives $N_0$ et $S_0$.

Le modèle complet du fermenteur continu s'écrit donc finalement: $$ \boxed{ \left\{ \begin{array}{crl} \frac{dX}{dt}= & \mu_1(N)X &-DX\\ \frac{dN}{dt}= & -k_1\mu_1(N)X&+D(N_0-N) \\ \frac{dE}{dt}= & \mu_2(E,S)X &-DE \\ \frac{dS}{dt}= & -k_2\mu_2(E,S)X&+D(S_0-S) \end{array} \right. \text{ avec } \left\{ \begin{array}{lcr} \mu_1(N)&=&\mu_1^{max}\frac{N}{K_N+N}\\ \mu_2(E,S)&=&\mu_2^{max}\frac{S}{K_S+S}\frac{K_E}{K_E+E}. \end{array} \right. } $$

Tous les paramètres du modèle sont supposés strictement positifs: $$ k_1,\,k_2,\,\mu_1^{max},\,\mu_2^{max},\,K_E,\,K_S>0.$$