Realizando el montaje de un plano inclinado sobre una mesa, determinar lo siguiente:
Utilice todos sus conocimientos sobre cinética, conservación de la energía, cálculo del error y propagación de errores.
La velocidad con que la esfera abandona el riel se calculó mediante la conservación de energía con la siguiente fórmula:
$$v = \sqrt{2gh}$$El error $\delta v$ se calculó teniendo en cuenta la siguiente propagación de errores y teniendo cuidado de usar unidades en el sistema internacional:
Para un producto entre una constante y la variable:
Para $(x \pm \delta x)$ sea $q = |A|x = |2g| h$ . Entonces
$$\delta q = |2g| \delta h$$Hacemos el cálculo del error para una potencia:
A partir de $\delta q^n = nq^{n-1}\delta q$, con $n = -\frac{1}{2}$. De este modo propagando errores:
$$\delta v = \frac{1}{2}(2gh)^{-1/2} (2g\delta h) = \pm 0.005 m $$Finalmente, teniendo en cuenta la medida de la altura en que se lanzó la bola y la propagación de errores:
$$v = (1.980 \pm 0.005) m/s$$La velocidad con que la esfera abandona el riel se calculó mediante conceptos cinemáticos con la siguiente fórmula, teniendo en cuenta las ecuaciones de tiro parabólico:
$$v = \frac{\overline{x}} {\sqrt{\frac{2y}{g}}}$$Donde $\overline{x} = \frac{\sum{x_i}}{n}$ con $i=1,2,3,4,5$ y $n=5$
El error $\delta v$ se calculó teniendo en cuenta la siguiente propagación de errores y teniendo cuidado de usar unidades en el sistema internacional:
Error para el promedio de la distancia medida ($\overline{x}$):
Se utilizó la fórmula: $$\delta \overline{x} = \sqrt{\frac{\sum{(x_i-\overline{x})^2}}{n(n-1)}} = \pm 0.27 cm = \pm 0.003 m$$
De este modo la distancia x promedio medida fue:
$$\overline{x} = (53.74 \pm 0.27)cm = (0.537 \pm 0.003)m$$Error para la velocidad:
Tomando $v = \frac{\overline{x}} {q^{1/2}}$, siendo $q = \frac{2}{g} y$ .
Para un producto entre una constante y la variable:
Entonces $$\delta q = \frac{2}{g} \delta y = \pm 0.0002$$
Hacemos el cálculo del error para una potencia:
A partir de $\delta q^k = kq^{k-1}\delta q$, con $k=\frac{1}{2}$ y reemplazando $\delta y$:
$$\delta q^{1/2} = \frac{1}{2}q^{-\frac{1}{2}}\delta q = \frac{1}{2}q^{-\frac{1}{2}} \big(\frac{2}{g} \delta y\big) = \pm 0.00004$$Hacemos el cálculo del error para una división:
El error de $v$ se resume entonces a la siguiente expresión para un división:
$$\delta v = \frac{\overline{x}} {q^{1/2}} \big( \frac{\delta \overline{x}}{\overline{x}} + \frac{\delta q^{1/2}}{q^{1/2}}\big) = \pm 0.007$$Y finalmente, teniendo en cuenta la medida de la altura de la mesa '$y$' de la que salió la bola, la velocidad con que la esfera abandona el riel calculada con cinemática, teniendo en cuenta la propagación de errores, fue:
$$v = (1.265 \pm 0.007)m/s $$Tenemos entonces que la velocidad teórica es:
$$v_{teo} = (1.980 \pm 0.005) m/s$$Y la velocidad experimental es:
$$v_{exp} = (1.265 \pm 0.007)m/s $$Evidentemente las velocidades no son iguales. Su diferencia corresponde a:
$$|v_{teo} - v_{exp}| = 0.715 \pm 0.002 m/s$$El error relativo entre las velocidades será:
$$\frac{|v_{teo} - v_{exp}|}{v_{teo}} = 0.361 $$Esto corresponde a un error relativo porcentual del 36%.
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