T-STUDENT Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

POR: Alejandro Mesa Gómez \ Yennifer Angarita Arenas

Realizando el montaje de un plano inclinado sobre una mesa, determinar lo siguiente:

  1. La altura a la cual lanza la esfera y la altura a la cual abandona la esfera el riel.
  2. A partir de los conceptos de conservación de la energía determine la velocidad con que la esfera abandona el riel (suponga que la esfera rueda sin deslizar).
  3. Determine experimentalmente la velocidad de abandono del riel a partir de los conceptos de cinemática, usando sus conocimiento sobre tiro parabólico (haga 5 medidas de x).
  4. Compare si las dos velocidades son iguales. Una práctica común es determinando la diferencia entre las velocidades con su respectivo error.
  5. Si no le dan iguales analice las posibles causas y consecuencias.
  6. ¿Las medidas anteriores son independientes de la masa y el radio de la esfera? Justifique su respuesta.
  7. ¿Puede determinar la masa o radio de la esfera a partir de las medidas hechas?

Utilice todos sus conocimientos sobre cinética, conservación de la energía, cálculo del error y propagación de errores.

Primer Punto:

$$m = (14.1 \pm 0.1)gr$$$$h = (20.2 \pm 0.1)cm = (0.202 \pm 0.001)m$$$$y = (88.4 \pm 0.1)cm = (0.884 \pm 0.001)m$$$$g = 9.8 m/s^2$$

Segundo Punto:

La velocidad con que la esfera abandona el riel se calculó mediante la conservación de energía con la siguiente fórmula:

$$v = \sqrt{2gh}$$

El error $\delta v$ se calculó teniendo en cuenta la siguiente propagación de errores y teniendo cuidado de usar unidades en el sistema internacional:

Para un producto entre una constante y la variable:

Para $(x \pm \delta x)$ sea $q = |A|x = |2g| h$ . Entonces

$$\delta q = |2g| \delta h$$

Hacemos el cálculo del error para una potencia:

A partir de $\delta q^n = nq^{n-1}\delta q$, con $n = -\frac{1}{2}$. De este modo propagando errores:

$$\delta v = \frac{1}{2}(2gh)^{-1/2} (2g\delta h) = \pm 0.005 m $$

Finalmente, teniendo en cuenta la medida de la altura en que se lanzó la bola y la propagación de errores:

$$v = (1.980 \pm 0.005) m/s$$

Tercer Punto:

La velocidad con que la esfera abandona el riel se calculó mediante conceptos cinemáticos con la siguiente fórmula, teniendo en cuenta las ecuaciones de tiro parabólico:

$$v = \frac{\overline{x}} {\sqrt{\frac{2y}{g}}}$$

Donde $\overline{x} = \frac{\sum{x_i}}{n}$ con $i=1,2,3,4,5$ y $n=5$

El error $\delta v$ se calculó teniendo en cuenta la siguiente propagación de errores y teniendo cuidado de usar unidades en el sistema internacional:

Error para el promedio de la distancia medida ($\overline{x}$):

Se utilizó la fórmula: $$\delta \overline{x} = \sqrt{\frac{\sum{(x_i-\overline{x})^2}}{n(n-1)}} = \pm 0.27 cm = \pm 0.003 m$$

De este modo la distancia x promedio medida fue:

$$\overline{x} = (53.74 \pm 0.27)cm = (0.537 \pm 0.003)m$$

Error para la velocidad:

Tomando $v = \frac{\overline{x}} {q^{1/2}}$, siendo $q = \frac{2}{g} y$ .

Para un producto entre una constante y la variable:

Entonces $$\delta q = \frac{2}{g} \delta y = \pm 0.0002$$

Hacemos el cálculo del error para una potencia:

A partir de $\delta q^k = kq^{k-1}\delta q$, con $k=\frac{1}{2}$ y reemplazando $\delta y$:

$$\delta q^{1/2} = \frac{1}{2}q^{-\frac{1}{2}}\delta q = \frac{1}{2}q^{-\frac{1}{2}} \big(\frac{2}{g} \delta y\big) = \pm 0.00004$$

Hacemos el cálculo del error para una división:

El error de $v$ se resume entonces a la siguiente expresión para un división:

$$\delta v = \frac{\overline{x}} {q^{1/2}} \big( \frac{\delta \overline{x}}{\overline{x}} + \frac{\delta q^{1/2}}{q^{1/2}}\big) = \pm 0.007$$

Y finalmente, teniendo en cuenta la medida de la altura de la mesa '$y$' de la que salió la bola, la velocidad con que la esfera abandona el riel calculada con cinemática, teniendo en cuenta la propagación de errores, fue:

$$v = (1.265 \pm 0.007)m/s $$

Cuarto Punto:

Tenemos entonces que la velocidad teórica es:

$$v_{teo} = (1.980 \pm 0.005) m/s$$

Y la velocidad experimental es:

$$v_{exp} = (1.265 \pm 0.007)m/s $$

Evidentemente las velocidades no son iguales. Su diferencia corresponde a:

$$|v_{teo} - v_{exp}| = 0.715 \pm 0.002 m/s$$

El error relativo entre las velocidades será:

$$\frac{|v_{teo} - v_{exp}|}{v_{teo}} = 0.361 $$

Esto corresponde a un error relativo porcentual del 36%.


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