同步发电机基本方程

同步发电机有六个电路回路，需要建立三个定子绕组，一个励磁绕组，直轴和交轴阻尼绕组的方程。首先是磁链和电流、电压的正方向。规定定子电流所产生磁通方向与该相绕组轴线正方向相反时，电流为正(磁通正方向与电流正方向相反)。转子绕组电流产生磁通方向与d,q轴正方向相同时，电流为正。

以凸极机为例,有如下示意图:

其中$\theta=\theta_{0}+\omega t$为d轴与a相夹角，$\theta_{0}$为电机旋转初始角度.

据此，可有如下等效电路图：

可列方程组如下：

电路方程：

$\begin{equation}%开始数学环境 \left[ %左括号 \begin{array}{ddd} u_{a}\\ %第一行元素 u_{b}\\ %第二行元素 u_{c}\\ u_{f}\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right] \end{equation} =$ $\begin{equation} \left[ %左括号 \begin{array}{ccc} r & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ %第一行元素 0 & r & 0 & 0 & 0 & 0\\ %第二行元素 0 & 0 & r & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & r_{f} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & r_{D} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & r_{Q}\\ \end{array} \right] %右括号 \end{equation} $ $ \begin{equation} \left[ %左括号 \begin{array}{ccc} -i_{a}\\ %第一行元素 -i_{b}\\ %第二行元素 -i_{c}\\ i_{f}\\ i_{D}\\ i_{Q}\\ \end{array} \right] %右括号 \end{equation} +$ $ \begin{equation} \left[ %左括号 \begin{array}{ccc} \psi_{a}\\ %第一行元素 \psi_{b}\\ %第二行元素 \psi_{c}\\ \psi_{f}\\ \psi_{D}\\ \psi_{Q}\\ \end{array} \right] %右括号 \end{equation} $

磁链方程：

$\begin{equation} \left[ %左括号 \begin{array}{ccc} \dot \psi_{a}\\ %第一行元素 \dot \psi_{b}\\ %第二行元素 \dot \psi_{c}\\ \dot \psi_{f}\\ \dot \psi_{D}\\ \dot \psi_{Q}\\ \end{array} \right] %右括号 \end{equation} $ $=\begin{equation} \left[ %左括号 \begin{array}{ccc} L_{aa} & M_{ab} & M_{ac} & M_{af} & M_{aD} & M_{aQ}\\ %第一行元素 M_{ba} & L_{bb} & M_{bc} & M_{bf} & M_{bD} & M_{bQ}\\ %第二行元素 M_{ca} & M_{cb} & L_{cc} & M_{cf} & M_{cD} & M_{cQ}\\ M_{fa} & M_{fb} & M_{fc} & L_{ff} & M_{fD} & M_{fQ}\\ M_{Da} & M_{Db} & M_{Dc} & L_{Df} & L_{DD} & M_{fQ}\\ M_{Qa} & M_{Qb} & M_{Qc} & M_{Qf} & M_{QD} & L_{QQ}\\ \end{array} \right] %右括号 \end{equation} $ $\begin{equation} \left[ %左括号 \begin{array}{ccc} -i_{a}\\ %第一行元素 -i_{b}\\ %第二行元素 -i_{c}\\ i_{f}\\ i_{D}\\ i_{Q}\\ \end{array} \right] %右括号 \end{equation}$

由于以下两个原因：

1. d轴，q轴磁阻不同，交联的磁链不同。
2. 电机转子一直旋转。

所以对于凸极机而言磁链方程中的定子自感及其互感都为变量，电压方程变为变系数微分方程，不便求解。因此需要进行坐标变换。

park变换

站在转子角度，将定子电流$i_{a},i_{b},i_{c}$分解到d轴，q轴，0轴即以$i_{d},i_{q},i_{0}$表示。根据电机绕组示意图，有如下变换:

$\begin{equation} \left[ %左括号 \begin{array}{ccc} i_{d}\\ %第一行元素 i_{q}\\ %第二行元素 i_{0}\\ \end{array} \right] %右括号 \end{equation} $ $=\frac{2}{3}\begin{equation} \left[ %左括号 \begin{array}{ccc} cos\theta & cos(\theta-120^{\circ}) & cos(\theta+120^{\circ})\\ %第一行元素 -sin\theta & -sin(\theta-120^{\circ}) & -sin(\theta+120^{\circ})\\ %第二行元素 \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \end{array} \right] %右括号 \end{equation} $ $\begin{equation} \left[ %左括号 \begin{array}{ccc} i_{a}\\ %第一行元素 i_{b}\\ %第二行元素 i_{c}\\ \end{array} \right] %右括号 \end{equation}$