Un gas e` definito perfetto (o ideale) quando rispetta l'equazione di stato: \begin{equation} pV = nRT \end{equation} In generale questa condizione vale nelle ipotesi di molecole puntiformi, che hanno urti perfettamente elastici, che non interagiscono e che sono tutte perfettamente identiche. Per questo il gas non puo` essere liquefatto per sola compressione, e il calore specifico e` costante (mentre nei gas reali dipende dalla temperatura).
Quando pero` la densita` e` elevata, si ha che tutti gli stati possibili per le particelle sono occupati. In effetti la meccanica quantistica prevede che per gli elettroni la densita` massima consentita di particelle a momento $p$ e`: \begin{equation} n_{max} = \frac{8\pi}{h^3} p^2 \end{equation} Per questo motivo si origina una degenerazione del gas: al crescere della densita` infatti gli elettroni devono andare ad occupare stati a grande momento, visto che gli altri sono gia` tutti occupati, e queste particelle di grande energia non fanno altro che aumentare la pressione, detta appunto pressione di degenerazione. La pressione, a grandi densita`, diventa in sostanza indipendente dalla temperatura. Il momento $p_f$ a cui si raggiunge la massima degenerazione e` noto come momento di Fermi.
Un corpo nero e` un oggetto ideale che assorbe tutta la radiazione che riceve, e la riemette in uno spettro che dipende unicamente dalla sua temperatura. La potenza totale irraggiata dal corpo nero e` regolata dalla legge di Stefan: \begin{equation} U = \sigma T^4 \end{equation} Si verifica inoltre che il picco massimo dell'emissione e` dato dalla legge dello spostamento di Wien: \begin{equation} \lambda_m T = 2898 \mu m \cdot K \end{equation} Nel complesso lo spettro del corpo nero e` descritto dalla curva nota come planckiana, la cui equazione e`: \begin{equation} E_\nu d\nu = \frac{2h \nu^3}{c^2} \frac{d\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1} \end{equation} Le curve di Planck a diverse temperature non sono mai sovrapposte, e tendono a zero al crescere della frequenza. Le stelle possono essere considerate in prima approssimazione come dei corpi neri: le deviazioni da questa condizione sono rappresentate dalle righe nello spettro. Importante e` la definizione della temperatura di colore: essa e` definita come la temperatura di un corpo nero che ha lo stesso colore della stella in esame.
In un gas, definito come $N_{im}$ il numero di atomi ionizzati $i$ volte al livello $m$, $N_i$ numero di atomi ionizzati $i$ volte, e $N$ numero totale di atomi e ioni dell'elemento considerato, $\chi_{im}$ energia di eccitazione da $1\to m$ dell'atomo $i$ volte ionizzato, e $g_{im}$ il peso statistico del livello $m$ nell'atomo $i$ volte ionizzato, all'equilibrio termodinamico si ha che la distribuzione di atomi e ioni di un elemento e` data dall'equazione di Boltzmann: \begin{equation} \frac{N_{im}}{N_{i1}} = \frac{g_{im}}{g_{i1}}\exp{\left(-\frac{\chi_{im}}{kT}\right)} \end{equation} Per descrivere invece l'equilibrio della reazione di ionizzazione e ricombinazione di un atomo si utilizza la legge di Saha: \begin{equation} \frac{N_{i+1}}{N_i}p_e = \frac{2g_{i+1}}{g_i} \frac{(2\pi m_e)^{3/2} (kT)^{5/2}}{h^3} \exp{\left(-\frac{\chi_i}{kT}\right)} \end{equation} Questa equazione altro non e` se non un'estensione dell'equazione di Boltzmann alla zona dei livelli distribuiti in modo continuo e con energia positiva, ovvero agli stati free dell'atomo. $p_e$ e` la pressione elettronica (si noti come una diminuzione della pressione elettronica faccia aumentare la ionizzazione), e il fattore $2$ che moltiplica i pesi statistici dei livelli e` dovuto al peso statistico dell'elettrone.
Alla base delle reazioni nucleari, sorgente di energia delle stelle, c'e` il principio di conservazione della massa energia: l'energia di legame di un nucleo con $Z$ protoni, $A$ nucleoni e $A-Z$ neutroni e`: \begin{equation} E_B = [M_pZ + (A-Z)M_n - M_N]c^2 \end{equation} dove $M_N$ e` la massa del nucleo, che e` sempre minore della massa dei costituenti, e rappresenta dunque la configurazione piu` stabile. Per rompere il nucleo e` necessario fornire l'energia di legame $E_b$.
Nelle stelle hanno luogo diverse reazioni nucleari, distinguibili in quelle che producono energia e altre che sintetizzano gli elementi pesanti. La prima e` la catena protone-protone. Oltre $6\times10^6$ $K$ la fusione di protoni diventa efficiente secondo: \begin{equation} p + p \to ^2He \to ^2H + e^+ + \nu \end{equation} La sezione d'urto di questa reazione e` molto piccola. I due passi successivi sono: \begin{equation} p + ^2H \to ^3He + \gamma \end{equation} \begin{equation} ^3He + ^3He \to ^4He + 2p \end{equation} Si noti che per ogni reazione di fusione fra due atomi di $^3He$ sono necessarie due reazioni precedenti. Questa catena, nota come PP1, ha una resa di 26.2 MeV. In presenza di abbondante $^4He$ si hanno le catene PP2 e PP3, che hanno lo stesso risultato passando attraverso berillio e boro. La PP3 domina oltre $2\times10^7$ $K$. Se nella stella infine sono presenti anche carbonio, azoto e ossigeno, a temperature abbastanza elevate avvengono due cicli di reazioni noti come ciclo CN e ciclo CNO. Il primo opera attorno a $1.5\times10^7$ $K$, il secondo a $2\times10^7$ $K$.
All'esaurimento dell'idrogeno non vi sono sorgenti immediatamente disponibili, quindi la stella si contrae aumentando la temperatura fino a $10^8$ $K$. I processi di fusione diretta dell'elio in carbonio e ossigeno hanno una bassa sezione d'urto, tuttavia si puo` arrivare a $^12C$ attraverso la catena 3 $\alpha$. Due atomi di elio fondono in $^8Be$, instabile, ma a temperature abbastanza alte si realizza l'equilibrio fra i nuclei di berillio che si formano e quelli che decadono: per questo uno di essi puo` collidere con una terza particella $\alpha$ a dare carbonio. Il $^12C$ che si forma e` tuttavia uno stato eccitato, che decade rapidamente con massima probabilita` emettendo due fotoni e liberando 7.656 MeV. Nelle fasi successive di evoluzione della stella, avvengono anche le reazioni nucleari che sintetizzano gli elementi pesanti: tali reazioni sono esotermiche fino alla formazione degli elementi del gruppo del ferro. Quelle successive avvengono nella fase di esplosione della stella in supernova.
La funzione di massa descrive la distribuzione delle stelle nei vari intervalli di massa. La sua stima e` piuttosto incerta, tuttavia la sua rappresentazione piu` comune e` nella forma: \begin{equation} \Phi(M) dM = M^{-\alpha} dM \end{equation} con $\alpha \sim 2 \pm 0.5$. La distribuzione descritta dall'equazione deve essere limitata fra i limiti inferiore e superiore. Le stelle piu` piccole sono di difficile osservazione, quindi il limite e` piu` teorico che sperimentale, ed e` fissato alla massa minima necessaria al bruciamento dell'idrogeno, 0.07 $M_\odot$. La massa superiore invece e` di piu` semplice determinazione, ed e` fissata a 100 $M_\odot$. Non e` chiaro se tali limiti siano funzioni dell'ambiente in cui si formano le stelle, e nemmeno se la pendenza della curva $\alpha$ sia costante in tutti gli intervalli, sebbene si pensi che essa debba presentare un picco verso le masse inferiori.
Le stelle vengono suddivise in popolazioni a seconda del loro periodo di formazione e la loro composizione chimica. Le stelle di popolazione I sono quelle di piu` recente formazione, situate ad esempio nei bracci delle spirali, la cui composizione e` fortemente contaminata dai metalli; tipici esempi sono le stelle di tipo OB, o le variabili T-Tauri o quelle degli ammassi aperti giovani. Stelle di popolazione II sono ad esempio quelle degli ammassi globulari piu` vecchi, in cui le righe di elementi piu` pesati dell'elio sono scarsamente presenti. Si ipotizza anche l'esistenza della popolazione III, le prime stelle a formarsi dopo il Big Bang, alcune delle quali avevano masse molto superiori ai limiti attuali (a causa della scarsita` di metalli), e che potrebbero aver dato origine ai buchi neri supermassicci poi presenti nei nuclei dei quasar.
Gli ammassi aperti sono costituiti da poche decine a qualche migliaio di stelle. Appartengono alla popolazione I e fanno parte del disco galattico, dunque a causa dell'assorbimento sono osservabili solo a piccole distanze (meno di 4 Kpc). Si possono suddividere in classi di concentrazione (decrescenti da I a IV), per numero di stelle (povero sotto i 50 oggetti, medio fra 50 e 100 e ricco oltre i 100), e inb ase al tipo spettrale a cui termina la sequenza principale. I loro diametri variano fra 1.5 e 15 pc, e sono correlati alla concentrazione; la densita` media si aggira su 1-5 stelle per $pc^3$. La maggior parte di essi e` ormai disgregata, e gli oggetti sono diventati stelle di campo. Solo un decimo di essi sopravvive oltre il mezzo miliardo di anni, e cio` avviene nelle regioni esterne della Galassia, dove gli effetti mareali sono meno intensi. Gli ammassi aperti sono un buon indicatore della struttura galattica, in quanto oggetti giovani che non hanno avuto ancora il tempo per spostarsi dalla loro posizione di origine. Inoltre sono abbastanza luminosi, e la loro distanza si puo` ricavare. L'eta` degli ammassi si puo` ricavare dal loro diagramma HR, e in particolare dalla posizione turning point, il punto in cui la sequenza principale devia verso destra, cioe` il punto in cui le stelle iniziano la fase finale della loro evoluzione verso le giganti.
Gli ammassi globulari sono oggetti a simmetria sferica a una distanza fra i 10 e i 200 pc, in cui si arrivano a contare anche $10^5$ stelle, con una densita` media di 3-5 stelle per $pc^3$, al punto che nel centro le distanze sono simili a quelle planetarie. Al loro interno sono del tutto privi di polveri e gas, percio` i conteggi stellari permettono di determinare con precisione la densita`. Si pensa che la Galassia contenga circa un migliaio di ammassi, distribuiti in un sistema sferico attorno al disco. Si classificano in base alla concentrazioni, in classi decrescenti da I a XII, e alla metallicita`, crescente da I a VII. Gli ammassi piu` poveri di metalli sono quelli nell'alone, che hanno alte velocita` radiali, quelli piu` ricchi invece appartengono al sistema nucleo-disco, e hanno orbite quasi circolari intorno al nucleo. Negli ammassi di alone sono presenti numerose variabili RR Lyrae, Cefeidi pulsanti con periodo fra 0.2 e 1 giorno e spettro variabile da A a G. Il diagramma HR degli ammassi e` a forma di Y rovesciata, con la sequenza principale scarsamente definita. La pendenza del ramo orizzontale permette di verificare la loro metallicita`, dato che negli ammassi di alone esso e` piu` inclinato che in uno di disco. Anche qui l'eta` dell'ammasso si puo` stimare utilizzando il metodo delle isocrone, valutando quindi la posizione del turning point: si osserva cosi` che essi sono fra gli oggetti piu` vecchi dell'intera galassia.
Durante la sua vita una stella e` in condizioni di equilibrio idrostatico, cioe` la forza di gravita` agente su ogni elemento di materia e` esattamente bilanciata dalla differenza di pressione esercitata sulle facce superiori e inferiori dello stesso. In condizioni di simmetria sferica si ha: \begin{equation} \frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = -\frac{GM(r)}{r^2} \end{equation} Supponendo che questa condizione non sia verificata anche solo per l'1\%, cio` provocherebbe una variazione del raggio di una stella come il Sole del 10\% in appena un'ora. Poich\'e tale fenomeno non si e` mai verificato, possiamo concludere che la relazione e` rigorosamente rispettata.
In una stella tuttavia e` necessario anche un equilibrio termico, che pero` tenga conto della presenza di un gradiente di temperatura e del continuo flusso di energia verso l'esterno. Se in un volume $V$ di superficie $S$ si ha un tasso di produzione di energia $\epsilon$ e un flusso di energia $F$, per la conservazione dell'energia e usando il teorema della divergenza si ha $\vec{\nabla} \vec{F} = \rho \epsilon$, che e` la condizione di equilibrio termico. Passando in simmetria sferica e introducendo la grandezza luminosita` pari a $L(r) = 4\pi r^2 F(r)$, si trova: \begin{equation} \frac{dL(r)}{dr} = 4\pi r^2 \rho \epsilon \end{equation} che tuttavia e` ancora incompleta, in quanto nel termine $\epsilon$ si possono includere diversi fattori: infatti esso comprende sia la sorgente gravitazionale locale $\epsilon_g$, la sorgente di energia nucleare $\epsilon_n$ e la perdita di energia dovuta alla formazione dei neutrini $\epsilon_\nu$. Si ha quindi: \begin{equation} \frac{dL(r)}{dr} = 4\pi r^2 \rho (\epsilon_n - \epsilon_\nu + \epsilon_g) \end{equation} Un sistema in equilibrio in cui valga la condizione precedente (trascurando $\epsilon_g$) e` detto in quasi equilibrio termico. E` evidente che se $\epsilon_n = 0$ si ha una deviazione dall'equilibrio, che causera` una contrazione gravitazionale capace di compensare mediante $\epsilon_g$ l'arresto delle reazioni nucleari.
Il trasporto radiativo consiste nella produzione di fotoni in regioni piu` calde e nel loro riassorbimento in zone piu` fredde. Nelle stelle il libero cammino medio di un fotone e` circa 1 cm, il che implica che il fotone sia di fatto riassorbito alla stessa temperatura. Il flusso netto si ottiene applicando la legge di Stefan, dato che una stella si comporta come un corpo nero. Introducendo il gradiente di temperatura in simmetria sferica si trova: \begin{equation} F_r = -\frac{4acT^3}{3\kappa\rho} \frac{dT}{dr} \end{equation} dove $a$ e` la costante di densita` di energia, $c$ la velocita` della luce e $\kappa$ il coefficiente di assorbimento. In pratica l'equazione mostra un processo di diffusione dei fotoni, che perdono energia man mano che procedono nelle emissioni e negli assorbimenti verso la superficie, passando dai $\gamma$ nel centro fino al visibile nella fotosfera. L'intero processo di emissione richiede $10^5$ anni. Introducendo la luminosita` come visto in precedenza si trova una delle equazioni fondamentali della struttura stellare: \begin{equation} L(r) = -\frac{16\pi ac r^2 T^3}{3\kappa\rho} \frac{dT}{dr} \end{equation} che esprime la luminosita` in presenza di solo trasporto radiativo.
Sotto alcune condizioni, il gradiente di temperatura diventa instabile, dando origine alla convezione. Si supponga che per una variazione infinitesima negativa di densita` un elemento di materia sia spostato verso l'alto; se obbedisce all'equazione di stato, cioe` verso densita` minori, esso si trova ad avere una temperatura superiore a quella del mezzo. Se durante il moto la densita` dell'elemento decresce piu` rapidamente di quella del mezzo, esso sentira` una spinta di galleggiamento e salira` portando calore verso l'esterno. Se la densita` dell'elemento invece decresce meno rapidamente di quella del mezzo, la spinta e` assente e lo strato e` stabile alla convezione. In sostanza, la condizione di instabilita` alla convezione e` espressa dal confronto fra il gradiente di temperatura reale e quello adiabatico. Si ha convezione se: \begin{equation} \left| \frac{dT}{dr} \right| = \frac{3\kappa\rho F_r}{4acT^3} > \left| \frac{dT}{dr} \right|_A \end{equation} Si noti che uno strato ad alta opacita` e` instabile alla convezione, cosi` come gli strati a elevata produzione di energia e quelli a bassa temperatura. La convezione e` fondamentale perch\'e rende omogenei gli strati e fornisce materiale non processato nuclearmente alle regioni interne. La teoria utilizzata per descrivere i moti convettivi e` quella della mixing lenght: essa si basa sull'assunto che un elemento convettivo si formi con una lunghezza caratteristica, si sposti della stessa quantita` e infine ceda la sua energia al mezzo circostante. Tale lunghezza e` posta uguale a $\alpha H_p$, dove $\alpha$ e` un parametro e $H_p$ la distanza sopra la quale la pressione varia di un fattore $e$. Tale teoria permette di stabilire le velocita` medie degli elementi, il loro eccesso di energia termica e il flusso convettivo. Quest'ultimo dipende, fra gli altri fattori, dalla differenza fra i gradienti di temperatura dell'elemento di materia e del mezzo: maggiore e` la differenza, piu` forte e` il flusso convettivo.
Il collasso e` la fase che da una nube di gas porta alla formazione di una protostella. In una nube sferica di gas perfetto in cui agisce solo la gravita` il collasso e` possibile se l'energia gravitazionale e` maggiore di quella interna. Se la massa e` maggiore della massa di Jeans, le perturbazioni interne alla nube portano al collasso. La rotazione e` un ostacolo alla formazione, e si osserva che alcune nubi devono perdere fino a 7 ordini di grandezza di momento angolare per poter collassare: un possibile mezzo e` la frammentazione della regione centrale, che poi darebbe il via al collasso dei sottoframmenti, spiegando l'esistenza dei sistemi multipli.
Dato un frammento, la sua evoluzione e` divisa in tre fasi: isoterma, adiabatica e di accrescimento. La nube e` inizialmente trasparente, quindi perde energia restando a temperatura costante, e la pressione quindi non aumenta per arrestare il collasso. In questa fase si instaura il gradiente di densita`, per cui la contrazione e` piu` rapida al centro; lo sviluppo di un gradiente di pressione impedisce l'instaurarsi della caduta libera. Quando il centro diventa opaco, inizia la fase adiabatica, in cui il gradiente di pressione aumenta velocemente fino a superare la gravita`, formando nel nucleo una regione in quasi equilibrio idrostatico. Al crescere della temperatura l'idrogeno molecolare si dissocia, aumentando ancora l'opacita` e generando il vero equilibrio idrostatico. A questo punto prende il via la fase di accrescimento, in cui il materiale all'esterno del nucleo cade su di esso, trasformando energia cinetica in calore e emettendola nell'infrarosso. La temperatura superficiale si porta vicina a 3000 $K$ in $10^{5-6}$ anni.
In questa fase, in cui la temperatura e` ancora bassa e l'opacita` molto alta, il trasporto dell'energia nella stella avviene interamente per convezione. Nel diagramma HR gli oggetti totalmente convettivi, in equilibrio idrostatico e con scarsa produzione di energia nucleare si trovano sulla linea di Hayashi. La stella rimane qui durante tutta la fase di contrazione, mantenendo quasi costante la sua temperatura. Per questo nel diagramma HR la linea di Hayashi e` quasi verticale almeno fino al raggiungimento della luminosita` minima per stelle totalmente convettive. Poiche` tale luminosita` e` funzione della massa, si puo` vedere che a masse superiori a quella limite la linea diventa pressoch\'e orizzontale. Si ricordi che la linea di Hayashi e` il punto piu` freddo del diagramma HR in cui puo` collocarsi una stella in equilibrio idrostatico.
Terminato il collasso e accese le reazioni termonucleari, le stelle si portano sulla sequenza principale, su cui passano la maggior parte della loro vita. La durata della loro permanenza in MS dipende dalla loro massa: le stelle massicce in equilibrio idrostatico hanno bisogno di produrre molta piu` energia nucleare per eguagliare la forza gravitazionale, dunque consumano molto piu` in fretta il loro combustibile nucleare. Anche la struttura interna dipende dalla massa: stelle sopra le 5 $M_\odot$ presentano un nucleo convettivo, interno radiativo e esterno convettivo. Quelle di piccola massa invece in MS hanno solo un nucleo radiativo e in un inviluppo convettivo; sotto le 0.5 $M_\odot$ la MS coincide con la linea di Hayashi, e gli interni sono completamente convettivi. Per quanto si e` detto in precedenza, appare ovvio come anche la luminosita` delle stelle dipenda dalla loro massa; lungo la sequenza principale infatti si ha: \begin{equation} \frac{L}{L_\odot} = \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{3.5} \end{equation} sebbene in realta` l'esponente dipenda anch'esso dalla massa. Ne consegue quindi che la posizione nel diagramma HR indichi il tipo di reazioni nucleari che avvengono nel nucleo: la parte bassa della sequenza contiene le stelle che utilizzano la catena p-p, su quella piu` in alto invece si collocano gli oggetti che sfruttano i cicli CN e CNO.
Le stelle di piccola massa, una volta terminato l'idrogeno disponibile nel nucleo, spostano il bruciamento in shell piu` esterne, facendo contrarre il nucleo ed espandendo l'inviluppo. Nel diagramma HR la stella si sposta verso destra; raggiunta la linea di Hayashi, l'inviluppo diventa convettivo, e la stella sale ad alta luminosita` mantenendo stabile la temperatura e raggiungendo il ramo delle giganti ross (RGB). Qui nel nucleo si accumula elio, e gli elettroni diventano degeneri. La zona convettiva esterna porta in superficie i prodotti del ciclo CNO, nel I dredge-up. Quando il nucleo raggiunge le 0.5 $M_\odot$ nel nucleo inizia il processo 3 $\alpha$ che converte l'elio in carbonio; tali reazioni fanno crescere la temperatura, diventando piu` efficienti, ma la pressione non cambia a causa della degenerazione, e cosi` le dimensioni della stella restano le stesse. Tutta l'energia prodotta viene spesa per eliminare la degenerazione, quindi nemmeno la luminosita` cambia. Questa fase e` nota come flash dell'elio.
Eliminata la degenerazione, il nucleo si raffredda e si instaura l'autoregolazione termica. L'energia quindi viene prodotta nel nucleo dal bruciamento dell'elio e in una shell esterna che brucia idrogeno. In questa fase di bruciamento quieto la stella si colloca nel diagramma HR al di sotto del RGB, nel cosiddetto ramo orizzontale (HB), sul quale la luminosita` degli oggetti resta praticamente costante. In questa fase c'e` una forte perdita di massa per vento solare, che arriva a livelli di $10^{-7}$-$10^{-8}$ $M_\odot/yr$. La temperatura e` regolata dal rapporto $m_H/m_{tot}$ e dalla metallicita`, e queste differenze portano alla distribuzione delle stelle lungo il ramo. L'evoluzione lungo HB avviene prima verso temperature piu` elevate, e poi verso quelle minori, fino a raggiungere la linea di Hayashi.
Quando l'elio termina, il nucleo si contrae e si riscalda finch\'e non inizia a bruciare l'elio in una shell confinante con quella che brucia idrogeno. La convezione esterna penetra nell'inviluppo fino alla shell di H, e la stella risale la linea di Hayashi, mentre le due shell si assottigliano e si avvicinano. L'espansione dell'inviluppo e l'efficiente trasporto di energia pero` fanno scendere la temperatura, spegnendo la shell di H, e la convezione puo` raggiungere lo strato portando in superficie i prodotti del ciclo CNO: e` il II dredge-up. Il raffreddamento causa a questo punto una nuova contrazione, che riaccende la shell di H e porta la stella nella parte del ramo asintotico delle giganti (AGB). Con l'aumento di densita` il nucleo torna degenere e la temperatura si stabilizza, visto che l'energia e` spesa per portare gli elettroni a livelli di momento sempre piu` elevati. Quando la shell di He diventa molto sottile si instaura una instabilita` termica che induce un runaway nucleare della shell: la luminosita` esterna aumenta enormemente, e sopra l'elio compare una piccola zona convettiva, che induce l'espansione degli strati superiori. La shell di H si spegne ancora, facendo tornare verso l'interno la shell di He che brucia il prodotto di quella di H. Mentre la convezione porta in superficie i prodotti della shell di He (III dredge-up), la stella riprende a contrarsi, riaccendendo la shell di H. Questo ciclo si ripete a intervalli regolari, dipendenti dalla massa della stella, noti come thermally pulsing AGB. Il vento stellare in questa fase torna a far perdere massa all'inviluppo. Se le dimensioni della stella non sono adeguate ($M_n < 1.4 M_\odot$), il carbonio nel nucleo non brucia, e quando la sua luminosita` raggiunge le $10^4$ $L_\odot$ l'inviluppo si stacca, lasciando esposta la shell di H. La vita nucleare della stella si arresta, e inizia la fase di nebulosa planetaria. Il nucleo centrale si raffredda, trasformandosi in una nana bianca, e portandosi nella regione in basso a sinistra del diagramma HR.
Lungo il diagramma HR si estende una fascia detta instability strip: su di essa sono collocati tutti i principali tipi di variabili pulsanti (RR Lyrae, Cefeidi) il cui richiamo e` dovuto alla pressione. La causa principale del fenomeno di pulsazione e` la ionizzazione: una parte dell'atmosfera esterna dell'astro diviene otticamente piu` tenue a causa della ionizzazione dell'HeII in HeIII. Quando gli atomi perdono un elettrone, la probabilita` che essi assorbano energia aumenta; cio` provoca un aumento della temperatura che risulta nell'espansione dell'atmosfera. Al termine dell'espansione, la densita` e la temperatura diminuiscono e l'HeIII inizia a ricombinarsi in He II; l'atmosfera diviene dunque meno ionizzata e perde energia, raffreddandosi e dunque contraendosi. Le RR Lyrae si trovano nel punto di intersezione fra il ramo orizzontale e la fascia di instabilita`, le Cefeidi invece sono piu` in alto, visto che le loro masse sono fra 4 e 20 volte quella del Sole.
Si definiscono di grande massa le stelle che arrivano al bruciamento del carbonio in condizioni non degeneri, attorno a 8 $M_\odot$ di massa iniziale. Fra questo valore e le 12 $M_\odot$ al termine del bruciamento del carbonio quello del neon non riesce a iniziare perch\'e la massa del nucleo non e` sufficiente: questo si contrae diventando degenere, e la temperatura cala per raffreddamento neutrinico. Al crescere della densita` gli elettroni vengono catturati dal neon e dal magnesio, facendo scendere la pressione e accelerando la contrazione: a densita` abbastanza elevate, l'ossigeno brucia esplosivamente, creando un equilibrio nucleare statistico che forma molti altri elementi chimici. Questi contribuiscono a raccogliere elettroni facendo collassare il nucleo; si ha una supernova di tipo II, che lascia una stella di neutroni di 1.2 $M_\odot$.
Oltre le 12$M_\odot$ il vento stellare diventa rilevante; a questa tipologia appartengono le stelle Wolf-Rayet, di alta luminosita` e con forti righe di emissione e con tassi di perdita di massa vicini a $10^{-4}$ $M_\odot/yr$. A queste masse gli interni riescono a bruciare anche gli elementi successivi al carbonio, neon, ossigeno e silicio, costituendo un nucleo di ferro e nichel di 1.5 $M_\odot$, circondato da shell brucianti i diversi elementi sopra le quali e` attiva una piccola regione convettiva. A fine sequenza la temperatura e` attorno a $7\times10^9$ $K$, la densita` $10^8$ $g$ $cm^{-3}$. Le reazioni per produrre gli elementi oltre il ferro sono endotermiche: quando si instaura la fotodissociazione del ferro, la pressione non riesce piu` a reggere il nucleo, e inizia il collasso. In pochi secondi la densita` arriva a $10^{14}$ $g$ $cm^{-3}$, la temperatura a $3\times10^{10}$ $K$. Gli elettroni sono catturati dai nuclei, accelerando ulteriormente il collasso, e iniziando la neutronizzazione: si forma una stella di neutroni. Tuttavia, se la pressione del gas degenere di neutroni non e` sufficiente a reggere la massa della stella, essa si contrae fino a formare un buco nero: in genere questo si forma quando la massa del nocciolo e` superiore alle 2 $M_\odot$, corrispondenti a circa 25-30 $M_\odot$ di partenza.
Le nane bianche sono il residuo meno denso dell'evoluzione stellare. Sono stelle di raggio tipico di 3000 $Km$, luminosita` 1/400 $L_\odot$, densita` maggiori di $10^6$ $g$ $cm^{-3}$, e temperatura di $10^5$ $K$, derivata dalla temperatura del core durante il bruciamento dell'elio. Le WD sono costituite da carbonio e ossigeno, ma ne esistono alcune anche di elio, derivate da stelle troppo piccole per bruciarlo. La loro struttura e` sorretta dalla pressione di degenerazione degli elettroni, e la loro massa e` limitata superiormente dalla massa di Chandrasekhar, circa 1.46 $M_\odot$, dalla relativita`. Piu` la massa aumenta, minore e` il raggio, tuttavia avvicinandosi alla massa limite si iniziano ad avere fenomeni relativistici e interazioni come la neutronizzazione che impediscono al raggio di annullarsi. Il raffreddamento delle nane bianche avviene per perdita di energia degli ioni; la diminuzione della loro pressione fa contrarre lentamente la stella, il che accresce ulteriormente l'energia di Fermi degli elettroni. Il termine del processo e` una nana nera fredda, in cui tutta l'energia e` sotto forma di energia di Fermi. Una ipotetica sorgente di instabilita` per queste stelle sono le reazioni pycnonucleari: ad alte densita`, infatti, gli ioni potrebbero oltrepassare le barriere coulombiane degli altri nuclei, dando luogo a reazioni nucleari e a produzione di energia.
Oltre la massa di Chandrasekhar la pressione di degenerazione degli elettroni non riesce a reggere la struttura della stella. All'inizio del collasso la densita` del nucleo e` $10^10$ $g$ $cm^{-3}$, e la temperatura $10^{10}$ $K$, con elettroni degeneri altamente relativistici; in tempi brevissimi, dell'ordine di 40 $ms$, tutta la materia cade sul nucleo, e avviene la neutronizzazione per decadimento $\beta$ inverso: \begin{equation} e^- + p \to W \to n + \nu_e \end{equation} Alle densita` tipiche delle stelle di neutroni, circa $10^{14}$ $g$ $cm^{-3}$, l'equazione di stato diventa rigida, e la materia in collasso rimbalza sul nocciolo di neutroni caldo appena formato. Gli strati esterni vengono spazzati via con una fortissima emissione di neutrini e una violenta onda d'urto, che fornisce l'energia per le reazioni nucleari endotermiche oltre il gruppo del ferro. Al centro rimane una stella grande circa 10-15 $Km$, con temperatura iniziale attorno ai $10^9$ $K$ che poi scende fino a $10^6$ $K$, sostenuta dalla pressione di degenerazione dei neutroni. Il limite di massa sostenuto dai neutroni e` ancora incerto; un possibile valore lo si calcola per instabilita` relativistica, tenendo conto dell'equazione di stato della materia superdensa, ed e` la massa di Oppenheimer-Volkoff, compresa fra 1.5 e 3 $M_\odot$. La stella e` formata da una superficie molto calda deformata dall'enorme campo magnetico, una crosta esterna in cui coesiste un reticolo coulombiano di nuclei pesanti e gas degenere di elettroni, una crosta interna formata da un reticolo di nuclei pesanti ricchi di neutroni e da un gas di neutroni superfluidi, un liquido di neutroni e infine un ipotetico nucleo, la cui esistenza e` ancora incerta.
Le stelle di neutroni rotanti con campo magnetico superficiale superiore ai $10^{12}$ $Gauss$ sono le cosiddette pulsar, il cui periodo e` compreso fra 1.6 $ms$ e 4.3 $s$, e che per la conservazione dell'energia e` destinato sempre a salire, con l'eccezione di alcuni fenomeni eccezionali noti come glitches, o stellamoti, in cui la rottura di una parte della crosta porta a un aumento del momento angolare e della velocita` di rotazione. Il campo magnetico e` tanto intenso da strappare cariche elettriche dalla superficie, e mantenerle in rotazione solidale con la stella nella magnetosfera. La rotazione inoltre e` tanto rapida che ad un certo raggio le linee di campo magnetico dovrebbero ruotare a velocita` superiore a quella della luce: questo limite e` il \textit{cilindro di luce}, oltre il quale, per questo motivo, le linee di campo sono aperte. Da qui sfuggono quindi le particelle, e le pulsar perdono energia, diminuendo di conseguenza la velocita` di rotazione.
Un buco nero e` una regione dello spaziotempo racchiusa da un orizzonte degli eventi, il cui campo gravitazionale impedisce la fuoriuscita sia di materia che di radiazione. La loro esistenza e` predetta ponendo la velocita` di fuga uguale a quella della luce; da qui si ricava il raggio di Schwarzchild, pari a: \begin{equation} R_s = \frac{2GM}{c^2} \end{equation} La densita` di un buco nero dipende dalla sua massa, e non e` necessariamente elevata entro il raggio di Schwarzchild; per un buco nero supermassiccio puo` essere $\rho \sim 1 \ g \ cm^{-3}$. Sia la rotazione che la carica della stella di partenza rimangono al buco nero, tuttavia la seconda puo` essere neutralizzata da materia in caduta libera.
Sono i buchi neri non rotanti. Sono caratterizzati da due singolarita`, una in corrispondenza di $r_s$, eliminabile con un semplice cambio di coordinate, e una nell'origine. Le orbite attorno ad essi sono di tre tipi: orbite slegate, in cui una particella proveniente dall'infinito torna all'infinito, orbite legate, corrispondenti a orbite circolari stabili o instabili a seconda del potenziale, e orbite di cattura, in cui la particella cade sul buco nero.
Sono buchi neri rotanti, descritti dalla metrica di Boyer-Lindquist. Presentano due superfici singolari, ovvero due orizzonti degli eventi, separati da una regione nota come \textit{ergosfera}. Tali oggetti nella loro rotazione trascinano anche lo spaziotempo, e i raggi delle orbite permesse variano con l'entita` della rotazione. Interessante e` l'esperimento ideale di Penrose, che dimostra come sia possibile estrarre energia da un buco nero posizionando un oggetto su una delle orbite a energia negativa che sono presenti nell'ergosfera. Infine importante e` il teorema dell'area, per cui in qualunque interazione l'area di un buco nero non puo` mai decrescere. Poich\'e richiama da vicino il secondo principio della termodinamica, e` stata sviluppata la termodinamica dei buchi neri. Per impedire la violazione del principio dell'entropia e` necessario introdurre la \textit{radiazione di Hawking}, cioe` un flusso di particelle emesso sull'orizzonte degli eventi per effetti quantistici. Tale flusso non viola il teorema dell'area, in quanto esso si basa sull'assunto che non vi siano flussi di energia di tipo-spazio dal buco nero. Il tempo di evaporazione di un buco nero resta comunque lunghissimo, molto superiore all'eta` dell'universo (per 1 $M_\odot$ si ha $t \sim 10^{65}$ $yr$).
In [ ]: