Aula 3

Operações com números complexos

Forma Polar

Supondo dois números complexos $z_1$ e $z_2$ tais que

$$z_1 = r_1 e^{i\theta_1}, r_1 \neq 0$$$$z_2 = r_2 e^{i\theta_2}, r_2 \neq 0$$



In [1]:

    
from sympy import *
from IPython.display import display,Math

r1,r2,t1,t2 = symbols("rho_1 rho_2 theta_1 theta_2",constant=true,real=true)

z1 = r1*exp(I*t1)
z2 = r2*exp(I*t2)

B1 Multiplicação



In [2]:

    
produtoZ = z1*z2
produtoZ = produtoZ.simplify()
display(Math("z_1 z_2 = "+latex(produtoZ)))









    





$$z_1 z_2 = \rho_{1} \rho_{2} e^{i \left(\theta_{1} + \theta_{2}\right)}$$

B2 Divisão



In [3]:

    
divisaoZ = z1/z2
divisaoZ = divisaoZ.simplify()
display(Math("\\frac{z_1}{z_2} = "+ latex(divisaoZ)))









    





$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} e^{i \left(\theta_{1} - \theta_{2}\right)}$$

B3 Potênciação

Podemos obter a potênciação a partir da indução através da multiplicação:

$$z_j = r_j e^{i\theta_j}\ , \ j = 1,2,\cdots , n$$$$z_1 z_2 z_3 \cdots z_n = r_1 r_2 \cdots r_n e^{\theta_1+\theta_2+\cdots+ \theta_n}$$

Assumindo todos iguais



In [4]:

    
n = symbols("n",real=true,constant=true)
expZ = z1**n
expZ = expZ.simplify()
display(Math("z_1^n = "+ latex(expZ)))









    





$$z_1^n = \left(\rho_{1} e^{i \theta_{1}}\right)^{n}$$

B4 Radiciação

Avaliando a raiz:

$$w = z^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{z}$$

1o Caso ($z=0$)

$$z=0 \Rightarrow w = (0)^{\frac{1}{n}} = 0$$

2o Caso ($z = r (\cos(\theta) + \sin(\theta))$)

Supondo $w$ tal que

$$w = \rho (\cos(\phi) + \sin(\phi))$$

A partir do resultado B3 elevando $w^n$ temos

$$w^n = \rho^n (\cos(n \phi) + \sin(n \phi))$$

Porem $w^n =z$ e portanto por igualdade de números complexos temos que $\rho^n = p$ e $n \theta = \phi$. Isolando $\rho$ e $\phi$:

$$ \left\{\begin{array}{l} \rho = r^{\frac{1}{n}}\\ \phi = \frac{\theta + 2k\pi}{n} \end{array}\right. \ ,\ n \neq 0 $$

E portanto temos para todas as n raizes enésimas de $z$

$$w = \sqrt[n]{r} \left(\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right)$$

com $0\leq k \leq n-1$.