Aula 2

Unidade Imaginária

$$i = \sqrt{-1}$$

Os números complexos são definidos como

$$\mathbb{C}: z = (a,b) = a + b i$$

em que $a$ e $b$ pertencem aos números reais e $i$ representa a unidade imaginária. $z = (a,b)$ e $z = a+bi$ as notações vetorial e algébrica respectivamente. Além destas há também outras representações úteis como a forma polar e a representação exponêncial.

Representações

Forma Geométrica e Forma Vetorial

Dado $z = (a,b) = a +bi$, identificamos como $z$ o ponto $P = (a,b)$ em $\mathbb{R}^2$ ou como extremidade do vetor $\vec{OP}$ partindo de $O$ até $P = (a,b)$. Este gráfico também é chamado de plano complexo ou plano de Argand-Gaus.

Forma Polar

Dado $z=(a,b) = a + bi $ com $z \neq (0,0)$ suas coordenadas polares são chamadas respectivamente de Módulo ( ou Valor Absoluto ) e Argumento de $z$.

Notação

$$ z= (r,\theta) , \left\{ \begin{array}{l} r = |z| = d(O,P) = \sqrt{a^2 + b^2}\\ \theta = arg(z) = arctg\left(\frac{b}{a}\right)\\ \end{array} \right. $$

Nota: $r = |z| >= 0 $ por representar a distância entre os pontos e $\theta$ não é um valor único. Na verdade, $\theta = \theta_0 + 2k\pi , k = 0,\pm 1, \pm 2, ...$ em que $\theta_0$ possui valor fixo. Em geral temos $0 \leq \theta_0 \leq 2 \pi$. Porém nada impede a escolha de outro intervalo como $\frac{pi}{2} \leq \theta_0 \leq \frac{5 pi}{2}$ por exemplo.

Para um número $z = (a,b) = a + bi$ temos $\cos(\theta) = \frac{a}{r}$ , $\sin(\theta) = \frac{b}{r}$ e $r = |z|$. Isolando $a$ e $b$ e substituindo temos $z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta)$ , $r \neq 0$.

Exemplo

Dado $z = (1,\sqrt{3}) = 1 + i \sqrt{3}$ temos, calculando o módulo de $z$ temos:

$$r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$$

E o argumento de z pode ser obtido por: $$\theta = arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Logo podemos representar $z$ na forma polar como $$z = r (\cos(\theta) + i\sin (\theta) = 2 (\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6}\right))$$

Forma exponêncial

Teorema (Leonard Euler, 1707 - 1783)

Operações com números complexos

Forma Algébrica

Dado dos números complexo $z_1 = a + bi$ e $z_2 = c+bi$



In [1]:

    
from sympy import *
from IPython.display import display,Math

# Constantes
a,b,c,d = symbols("a b c d",real=true, constant= true)

# Números Complexos
z1 = a + b*I
z2 = c + d*I



In [ ]:

A1 Igualdade:

$$z_1 = z_2 \Leftrightarrow (a+bi) = (c+di)$$$$(a+bi) = (c+bi) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a = c \\ b = d \end{array}\right.$$

A2 Adição:

$$z_1 + z_2 = (a+bi)+(c+di)$$

Agrupando os termos comuns temos $$z_1 + z_2 = (a+c)+(b+d)i$$



In [2]:

    
# Soma
somaZ = z1 + z2
somaZ = somaZ.collect(I)
display(Math("z_1 + z_2 = "+ latex(somaZ)))









    





$$z_1 + z_2 = a + c + i \left(b + d\right)$$

A3 Subtração:

$$z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) = (a+bi)+(-c-di)$$

Agrupando os termos comuns temos $$z_1 - z_2 = (a-c)+(b-d)i$$



In [3]:

    
# Subtração
subZ = z1 - z2
subZ = subZ.collect(I)
display(Math("z_1 - z_2 = "+ latex(subZ)))









    





$$z_1 - z_2 = a - c + i \left(b - d\right)$$

A4 Multiplicação

$$z_1 z_2 = (a+bi)(c+di)$$

Aplicando a distribuição da multiplicação $$z_1 z_2 = ac+adi + bci + dci^2$$ Agrupando os termos e dado que $i^2 =-1$: $$z_1 z_2 = (ac -dc) + (ad + bc)i$$



In [4]:

    
# Produto
produtoZ = z1*z2
produtoZ = produtoZ.expand() # Expandindo Multiplicação
produtoZ = produtoZ.collect(I) # Agrupando termos
display(Math("z_1 z_2 = "+ latex(produtoZ)))









    





$$z_1 z_2 = a c - b d + i \left(a d + b c\right)$$

A5 Conjugado

$$\bar{z_1} \equiv a - bi$$

Alguns resultados

R1:

$$z+\bar{z} = (a + b i) + (a - b i) = 2a $$$$z+\bar{z} = Re(z)$$

R2:

$$z-\bar{z} = (a + b i) - (a - b i) = 2bi $$$$z-\bar{z} = Im(z)$$

R3:

$$z\bar{z} = (a + b i)(a - b i) = a^2 + b^2 $$$$z\bar{z} = |z|^2$$



In [5]:

    
# conjugado
conjZ = conjugate(z1)
display(Math("\\bar{z} = "+ latex(conjZ)))









    





$$\bar{z} = a - i b$$

A6 Inversão

A partir do resultado R1, podemos calcular o inverso de $z_1$ como:

$$\frac{1}{z_1} = \frac{1}{a+bi}$$$$\frac{1}{z_1} = \frac{1}{a+bi}\frac{(a - bi)}{(a -bi)}$$$$\frac{1}{z_1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{ib}{a^2 + b^2}$$

Logo, de maneira geral temos:

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$$

Divisão

A partir da operação de inversão definida em A6 podemos calcular a divisão entre dois números complexos como:

$$\frac{z_1}{z_2} = z_1\left(\frac{1}{z_2}\right) = \frac{z_1 \bar{z_2}}{|z_2|^2}$$