Mehrgittermethoden

Übungsaufgaben

Robert Speck & Dieter Moser, Sommersemester 2016

Über Systemmatrizen

In der Vorlesung haben wir das Gleichungssytem $Au = f$ für das Possion-Problem in 1D mit Dirichlet-Rändern durch eine Diskretisierung mit Hilfe von zentrierten Finiten Differenzen aufgestellt.

1. Wie sieht das System für periodische Randbedingungen $u(0) = u(1)$ und $u'(0) = u'(1)$ aus? Nutzen Sie die Gitterpunkte $x_0$, $x_1$, ..., $x_{N-1}$. Wie viele Unbekannte hat das Gleichungsssystem?
2. Wie sieht das System mit Dirichlet-Rändern in zwei Dimensionen aus? Nutzen Sie Blockmatrizen zur Darstellung von $A$. Wie viele Unbekannte hat das System nun und wie viele Einträge ungleich Null hat die Systemmatrix?

Über den Rayleigh-quotienten

Sei $H$ eine hermitsche Matrix, so definiert sich der zugehörige Rayleigh quotient als $$R_H(x) = \frac{x^*Hx}{x^*\cdot x}.$$

1. Zeigen Sie, dass für den größten bzw. kleinsten Eigenwert $\lambda_M,\lambda_m$ von $H$ $$ \lambda_m = \min_x R_H(x) \; \mbox{und} \; \lambda_M = \max_x R_H(x) $$ gilt.
2. Sei $H = A^*A$. Zeigen sie, dass $\max_x R_H(x)^{1/2}$ eine Norm von $A$ ist.

Über persymmetrische Matrizen

Sei $\mathcal{P}_1 = \{ A \in K^{N \times N} | a_{i,j} = a_{n-j+1,n-i+1} \}$ und $\mathcal{P}_2 = \{ A \in K^{N \times N} | JA = A^TJ \}$, mit $ J = (\delta_{i,n-j+1})_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}$.

Zeigen Sie

1. $\mathcal{P}_1 = \mathcal{P}_2$
2. $\mathcal{P}_1$ is ein Untervektorraum des $K^{N \times N}$.

Wie muss $\mathcal{P}_1$ eingeschränkt werden, damit

1. $(\mathcal{P}_1,+,0,-)$ eine abelsche Gruppe ist
2. $(\mathcal{P}_1,\cdot)$ eine Gruppe ist
3. $(\mathcal{P}_1,+,0,-,\cdot)$ ein Ring ist

Über zyklische Matrizen

Sei $A$ von der Gestalt $$A:=\begin{pmatrix} a_0&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_1\\ a_1&a_0&a_{n-1}&\ldots&a_2\\ a_2&a_1&a_0&\ldots&a_3\\ &\ddots&\ddots&\ddots\\ a_{n-1}&a_{n-2}&a_{n-3}&\ldots&a_0\end{pmatrix}. $$

1. Zeigen Sie, dass A persymmetrisch ist.
2. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte, Eigenvektoren und die Determinante von $A$.
3. Wenden Sie eine diskrete Fouriertransformation auf die Matrix A an.

Über Toeplitz-Matrizen

Eine Matrix nennt man eine Toeplitz-Matrix falls die Werte auf der Hauptdiagonale und allen Nebendiagonalen konstant sind.