Mehrgittermethoden

Übungsaufgaben

Robert Speck & Dieter Moser, Sommersemester 2016

Über Systemmatrizen

In der Vorlesung haben wir das Gleichungssytem $Au = f$ für das Possion-Problem in 1D mit Dirichlet-Rändern durch eine Diskretisierung mit Hilfe von zentrierten Finiten Differenzen aufgestellt.

1. Wie sieht das System für periodische Randbedingungen $u(0) = u(1)$ und $u'(0) = u'(1)$ aus? Nutzen Sie die Gitterpunkte $x_0$, $x_1$, ..., $x_{N-1}$. Wie viele Unbekannte hat das Gleichungsssystem?
2. Wie sieht das System mit Dirichlet-Rändern in zwei Dimensionen aus? Nutzen Sie das Kronecker-Produkt zur Darstellung von $A$. Wie viele Unbekannte hat das System nun und wie viele Einträge ungleich Null hat die Systemmatrix?

Die Residuumsgleichung

1. Zeigen Sie für das Modellproblem: Ist der Fehler $e$ sehr glatt (z.B. fast konstant), dann ist das Residuum $r$ im Verhältnis zu $\lVert A\rVert \lVert e\rVert$ klein und ist der Fehler oszillierend, dann ist das Residuum im Verhältnis groß.
2. Zeigen Sie, dass für ein iteratives Verfahren mit Vorkonditionierer $B$ gilt $e^{(1)} = e^{(0)} - Br^{(0)}$. Was sagt diese Gleichung für die Glättung von Fehlern beim Modellproblem aus (siehe Teilaufgabe 2!)?

Über den Rayleigh-Quotienten

Sei $H$ eine hermitsche Matrix, so definiert sich der zugehörige Rayleigh-Quotient als $$R_H(x) = \frac{x^*Hx}{x^*\cdot x}.$$

1. Zeigen Sie, dass für den größten bzw. kleinsten Eigenwert $\lambda_M,\lambda_m$ von $H$ $$ \lambda_m = \min_x R_H(x) \; \mbox{und} \; \lambda_M = \max_x R_H(x) $$ gilt.
2. Sei $H = A^*A$. Zeigen sie, dass $\max_x R_H(x)^{1/2}$ eine Norm von $A$ ist.