Primer examen parcial

Simulación matemática.

Lázaro Alonso
Año : 2017
Email: `alonsosilva@iteso.mx, lazarus.alon@gmail.com`

Estudiante:

Diego Parra Pereda ic698296

Indicaciones:

Todos aquellos cuya inicial de su primer apellido este entre la A y la L tienen que hacer la Actividad 1.1 del problema 1.
Todos aquellos cuya inicial de su primer primer apellido este entre la M y la Z tienen que hacer la Actividad 1.2 del problema 1.
Todos aquellos cuya inicial de su primer apellido este entre la M y la Z tienen que hacer el problema 2.
Todos aquellos cuya inicial de su primer apellido este entre la A y la L tienen que hacer el problema 3.

**El objetivo final es que logren juntar 60 puntos. Es decir resolver 2 problemas por completo. **

Problema 1.

Considere un oscilador armónico simple(péndulo), cuya variación en $\theta$ está dada por:

\begin{equation} \theta(t) = \theta(0) \cos(\omega_{0} t) + \frac{\dot{\theta}(0)}{\omega_{0}} \sin(\omega_{0} t) \end{equation}

Considere la siguiente función que calcula $\theta$ en $t$. Para responder las siguientes actividades.



In [4]:

    
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline



In [5]:

    
def theta_t(theta_0, theta_0_dot, g, l, t):
    omega_0 = np.sqrt(g/l)
    return theta_0 * np.cos(omega_0 * t) + theta_0_dot * np.sin(omega_0 * t)/omega_0

Ahora si gráficamos al péndulo en las coordenas $x,y$, se obtiene algo similar a lo siguiente:



In [6]:

    
t = np.linspace(0,10)



In [7]:

    
fig = plt.figure(figsize = (5,5))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

x = 2 * np.sin(theta_t(.4, .6, 9.8, 2, t))
y =  - 2 * np.cos(theta_t(.4, .6, 9.8, 2, t))
ax.plot(x, y, 'ko', ms = 1.5)
ax.plot([0], [0], 'rD')
ax.set_xlim(xmin = -2.2, xmax = 2.2)
ax.set_ylim(ymin = -2.2, ymax = .2)
plt.show()

Actividad 1.1

Modificar el programa anterior para que el pédulo describa una trayectoria completamente circular. (10 puntos)
Indicar en el caso anterior con código de colores, los momentos en que el péndulo se encuetra por arriba del cero en $y$ y cuando se encuentra por debajo. (10 puntos)
Considere un conjunto de péndulos, con las siguientes longitudes: $$ l = [0.5, 1, 2, 4, 8, 16]. $$ Realice una representación similar a la anterior, pero ahora para todos los péndulos representados en la misma gráfica y cada uno con diferente color. Discutir resultados.(10 puntos)

Actividad 1.2

Modificar el programa anterior para que el pédulo describa una trayectoria semi-circular. (10 puntos)
Indicar en el caso anterior con código de colores, los momentos en que el péndulo se encuetra tienes coordenas en $x$ negativas y cuando se encuentra en positivas. (10 puntos)
Considere un conjunto de péndulos con la misma longitudes, pero con diferentes gravedades: $$ g = [0.5, 1, 2, 4, 8, 16]. $$ Realice una representación similar a la anterior, pero ahora para todos los péndulos representados en la misma gráfica y cada uno con diferente color. Discutir resultados. (10 puntos)



In [8]:

    
# Respuesta
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline



In [9]:

    
def theta_t(theta_0, theta_0_dot, g, l, t):
    omega_0 = np.sqrt(g/l)
    return theta_0 * np.cos(omega_0 * t) + theta_0_dot * np.sin(omega_0 * t)



In [10]:

    
t = np.linspace(0,10)



In [74]:

    
fig = plt.figure(figsize = (7,5))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

x = 2 * np.sin(theta_t(1.57, .6, 9.8, 2, t))
y =  - 2 * np.cos(theta_t(1.57, .6, 9.8, 2, t))

ax.plot(x, y, 'bd', ms = 5)
ax.plot([0], [0], 'gD')

ax.set_xlim(xmin = -2.2, xmax = 2.2)
ax.set_ylim(ymin = -2.2, ymax = .2)

plt.show()



In [12]:

    
# Respuesta
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline



In [13]:

    
def theta_t(theta_0, theta_0_dot, g, l, t):
    omega_0 = np.sqrt(g/l)
    return theta_0 * np.cos(omega_0 * t) + theta_0_dot * np.sin(omega_0 * t)



In [14]:

    
t = np.linspace(0,10)



In [76]:

    
fig = plt.figure(figsize = (7,5))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
x = 2 * np.sin(theta_t(1.57, 0, 9.8, 2, t))
y =  - 2 * np.cos(theta_t(1.57, 0, 9.8, 2, t))
ax.plot(x, y, 'bo', ms = 3)
ax.plot([0], [0], 'gD')
ax.set_xlim(xmin = -3, xmax = 3)
ax.set_ylim(ymin = -3, ymax = .3)
plt.show()



In [16]:

    
z=x[x<0]
z









    Out[16]:





array([-0.30186704, -1.9983598 , -1.02749371, -0.14489145, -1.39360214,
       -1.86161016, -0.04106839, -0.55933681, -1.99448644, -0.89678283,
       -0.22379964, -1.51784312, -1.75725738, -0.07448834, -0.80619655,
       -1.96541933, -0.76954944, -0.31260143, -1.6341099 , -1.62394097,
       -0.09702228, -1.0379322 , -1.91350047, -0.64744785])



In [17]:

    
len(x[x<0])









    Out[17]:





24



In [18]:

    
np.where(x<0)









    Out[18]:





(array([ 4,  5,  6,  8,  9, 10, 14, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 28, 32, 33, 34,
        36, 37, 38, 42, 46, 47, 48], dtype=int64),)



In [19]:

    
x1=x[np.where(x<0)]



In [20]:

    
x2=x[np.where(x>0)]



In [21]:

    
y2=y[np.where(x>0)]



In [22]:

    
y1=y[np.where(x<0)]



In [61]:

    
fig = plt.figure(figsize = (6,3))

ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

ax.plot(x1, y1, 'm*')
ax.plot(x2, y2, 'cd')

ax.set_xlim(xmin = -3, xmax = 3)
ax.set_ylim(ymin = -3, ymax = .3)

plt.show()



In [24]:

    
gravedad = np.array ([.5, 1, 2, 4, 8, 16])



In [25]:

    
def theta_t(theta_0, theta_0_dot, g, l, t):
    omega_0 = np.sqrt(g/l)
    return theta_0 * np.cos(omega_0 * t) + theta_0_dot * np.sin(omega_0 * t)
for indx, g in enumerate (gravedad):
    x = 2 * np.sin(theta_t(.4, .6, g, 2, t))
    y =  - 2 * np.cos(theta_t(.4, .6, g, 2, t))
(x)
(y)









    Out[25]:





array([-1.84212199, -1.57677382, -1.51605737, -1.72746099, -1.96956477,
       -1.94483457, -1.68463644, -1.50548102, -1.61004451, -1.88161607,
       -1.99691442, -1.81044119, -1.55512314, -1.52867729, -1.76045012,
       -1.98366094, -1.92206326, -1.65368812, -1.50229101, -1.63810197,
       -1.90884522, -1.98938026, -1.77779414, -1.53683788, -1.54507564,
       -1.79336931, -1.99351017, -1.89624236, -1.62450615, -1.50328465,
       -1.66818486, -1.93327734, -1.97748629, -1.74476879, -1.52220435,
       -1.56499714, -1.82563092, -1.99891792, -1.86786376, -1.5975737 ,
       -1.50844681, -1.69979106, -1.95444438, -1.96146692, -1.7119499 ,
       -1.51144928, -1.58812811, -1.85664942, -1.99977701, -1.8374612 ])



In [65]:

    
cmap= ['red','blue','green','black','orange',]



In [88]:

    
fig = plt.figure(figsize = (15,10))
for indx, g in enumerate (gravedad):
    ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
    x = 2 * np.sin(theta_t(1.57, 0, g, 2, t))
    y =  - 2 * np.cos(theta_t(1.57, 0, g, 2, t))
    plt.scatter(x,y, cmap = 'inferno', s= 35, lw=0)
ax.plot(x, y, 'k*', ms = 7)
ax.plot([0], [0], 'gD')
ax.set_xlim(xmin = -2.2, xmax = 2.2)
ax.set_ylim(ymin = -2.2, ymax = .2)
plt.show()



In [ ]:



In [ ]:

Problema 2.

Ley de Newton de enfriamiento

La ley empírica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden

$$\frac{dT}{dt} = k (T - T_m)$$

donde $k$ es una constante de proporcionalidad, $T$ es la temperatura del objeto para $t>0$



In [28]:

    
def temperatura(T, Tm, k, t):
    return k*(T - Tm)



In [29]:

    
# usar odeint para encontrar la solución. (Puede ayudarle la clase de mapa logistico)



In [30]:

    
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

Actividad 2.1 ¿Cuánto esperar para tomar el café?

Primero calentamos agua a 80°C . Posteriormente agregamos café al vaso con el agua caliente. Después realizamos la medición de la temperatura ambiente, la cual fue de 24°C.

Simula el sistema en un tiempo de 0 a 120 unidades de tiempo con una constante de proporcionalidad $k=−0.0565$. (10 puntos)
Supoga que cada unidad de tiempo corresponde a un minuto. ¿En que tiempo aproximadamente la temperatura es menor a 30°C ? (10 puntos)
Busca una constante de proporcionalidad $k$ en un rango ( de −0.2 a 0.2 con incremento de 0.01), para la cual el café tiene una temperatura menor de 30°C en un tiempo a 20 minutos. (10 puntos)



In [95]:

    
def temperatura(T,t):
    k=-.0565
    Tm=34
    return k*(T-Tm)
t = np.linspace(0,120)
T0=80
t = np.linspace(0,120)
respuesta = odeint(temperatura,T0,t)
plt.plot(t,respuesta)
plt.xlabel('$t$', fontsize = 40)
plt.ylabel('$T$', fontsize = 40)
plt.show()

Problema 3.

Interés simple vs interés compuesto.

Simple
Recuerden $C_k$ es la meta $$C_k=C_0(1+ki).$$

Compuesto
$$C_k=C_0(1+i)^k.$$

Actividad 3.1

Realice un análisis comparativo del numero de periodos para llegar a la misma meta, considerenado el mismo interés $i$. Gráfique en la misma figura. (10 puntos)
Considere diferentes escenarios de interés. Usted elija. (10 puntos)
Discuta las ventajas o desventajas de los diferentes modelos. En el supuesto de que ustedes son el banco. (10 puntos)



In [33]:

    
# Respuesta



In [ ]:



In [ ]:



In [ ]:



In [ ]: