In [3]:
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Contenido bajo licencia CC-BY 4.0. Código bajo licencia MIT. (c) Sebastian Flores.
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from IPython.core.display import HTML

HTML(open("style/mat281.css", "r").read())


Out[3]:






MAT281

Aplicaciones de la Matemática en la Ingeniería

Sebastián Flores

https://www.github.com/sebastiandres/mat281

Clase anterior

  • Teorema $\Pi$.

¿Qué contenido aprenderemos hoy?

  • Adimensionalización de ecuaciones.
  • Diseño de experimentos.

¿Porqué aprenderemos ese contenido?

  • Adimensionalización de ecuaciones.

Permite estudiar las ecuaciones con el mínimo número de parámetros.

  • Diseño de experimentos.

Permite simular un experimento con el menor número de ejecuciones.

Contradicción.

¿Han notado la contradicción de las últimas clases?

  • Clase $i$: Las dimensiones son lo más importante de un problema.

  • Clase $i+1$: Es mejor hacer un análisis en adimensional.

Motivación

Si el teorema $\Pi$ es tan bueno, ¿para qué necesitamos ecuaciones?

  • Teorema de $\Pi$ o Teorema Buckingham: Conocimiento indicativo de cómo se podrían relacionar las variables.
  • Adimensionalización de ecuaciones: Conocimiento funcional de cómo se relacionan las variables y la importancia relativa de cada término.

En términos de información:

Ecuaciones dimensionales $>>$ Ecuaciones Adimensionales $>>$ Teorema $\Pi$

Análisis dimensional

Ejemplo

Consideremos el ejemplo clásico de una barra de longitud infinita, de sección transversal $A$ y que se encuentra inicialmente a una temperatura $\tau_a$.

En $t = 0$ la barra se calienta en $x = 0$ a una temperatura $\tau_b$.

¿Cómo evoluciona la temperatura en las distintas posiciones de la barra, para los tiempos posteriores?

En particular, ¿cuál es la temperatura de la barra en el tiempo $t$ en la posición $x$?

¿Qué nos dice el Teorema $\Pi$? ¿Qué nos dice el análisis dimensional de las ecuaciones?

Ejemplo

Teorema Pi

¿Que variables hay? Hint: son 9.

  • $t$: tiempo. Dimensión. [$T$].
  • $x$: posición. Dimensión [$L$].
  • Temperaturas. Dimensión [$\tau$]
    • $\tau_a$: Temperatura inicial de la barra.
    • $\tau_b$: Temperatura en extremo.
    • $\tau$: Temperatura en $x$ y $t$.
  • $A$: sección transversal. Dimensión $[L^2]$.
  • $\rho$: densidad. Dimensión $\Big[\frac{M}{L^3}\Big]$.
  • $c_p$: calor específico. Dimensión $\Big[\frac{L^2}{T^2 \theta}\Big]$.
  • $k$: conductividad térmica. Dimensión $\Big[\frac{M L }{T^3 \theta}\Big]$.

Densidad: $\rho$

  • Relaciona masa con volumen.
  • Unidades: $$\frac{kg}{m^3}$$
  • Dimensión: $$\Big[\frac{M}{L^3}\Big]$$
  • Ejemplos:
    • Cobre: 8960 $\frac{kg}{m^3}$
    • Hierro: 7870 $\frac{kg}{m^3}$
    • Oro: 19320 $\frac{kg}{m^3}$

Calor Específico: $c_p$

  • Relaciona energía proporcionada con aumento de temperatura.
  • El calor específico es cantidad de calor (energía) a suministrar a 1 kg de material para aumentar la temperatura en 1 grado Kelvin.
  • Unidades: $$\frac{J}{kg K}$$
  • Dimensión: $$\Big[\frac{L^2}{T^2 \theta}\Big]$$
  • Ejemplos:
    • Cobre: 385 $\frac{J}{kg K}$
    • Hierro: 450 $\frac{J}{kg K}$
    • Oro: 129 $\frac{J}{kg K}$

Conductividad térmica: $k$

  • Se relaciona con el flujo de calor dentro un material.
  • La conductividad térmica es una propiedad del material, e indica cuanto calor (energía) se transmitiría en un segundo entre 2 caras de un metro cuadrado separadas a un metro de distancia.
  • Unidades: $$\frac{W}{m K}$$
  • Dimensión: $$\Big[\frac{M L}{T^3 \theta}\Big]$$
  • Ejemplos:
    • Cobre: 380 $\frac{W}{m K}$
    • Hierro: 80 $\frac{W}{m K}$
    • Oro: 308 $\frac{W}{m K}$

Ejemplo

Teorema Pi

Hay $9$ variables y $4$ dimensiones, por lo que el problema requiere definir $9-4=5$ parámetros adimensionales.

Si elegimos como base: $\tau_a$, $x$, $t$, $c_p$.

$$\Pi_{\tau} = \Phi(\Pi_{\tau_b} , \Pi_{A} , \Pi_{\rho} , \Pi_{k} )$$

No es particularmente prometedor. Sabemos que existe una relación, pero no sabemos cómo obtenerla.

¿Es lo mejor que podemos hacer?

¿Cómo mejora la situación si sabemos cómo se relacionan físicamente las variables?

Ejemplo

Modelamiento físico

Sabemos que para este problema aplican las siguientes ecuaciones, donde $q$ es el flujo de calor:

  • Conservación de calor: $$ \rho c_p \frac{\partial \tau}{\partial t} = - \frac{\partial q}{\partial x} $$
  • Ley de Fourier: $$ q = -k \frac{\partial \tau}{\partial x}$$ OBS: No hay referencia a la sección transversal.

Ejemplo

Modelamiento físico

Si suponemos $k$ constante obtenemos: $$ \frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{k}{\rho c_p} \frac{\partial^2 \tau}{\partial x^2}$$

La constante $D =\frac{k}{\rho c_p}$ se llama constante de difusividad y tiene dimensión $\Big[ \frac{L^2}{T} \Big]$.

Normalmente los problemas hablan directamente de $D$ y olvidan las aproximaciones realizadas.

Ejemplos:

  • Cobre: $1.10 \cdot 10^{-4}$ $\frac{m^2}{s}$
  • Hierro: $2.25 \cdot 10^{-5}$ $\frac{m^2}{s}$
  • Oro: $1.23 \cdot 10^{-4}$ $\frac{m^2}{s}$

Ejemplo

Sistema dimensional

Hemos obtenido $$ \begin{align} \frac{\partial \tau}{\partial t} &= \Big( \frac{k}{\rho c_p} \Big) \frac{\partial^2 \tau}{\partial x^2}\\ \tau(x=0, t=0)&= \tau_b \\ \tau(x\neq 0, t=0)&= \tau_a \\ \end{align} $$ Con ello tenemos que $\tau= \Phi(x, t, \frac{k}{\rho c_p}, \tau_a, \tau_b)$.

  • Hemos obtenido que la temperatura depende de 2 variables y 3 parámetros.
  • Esto es similar en complejidad a lo que se obtenida con el teorema $\Pi$.
  • Simplificación no ha utilizado las dimensiones, sino la física del problema.

Ejemplo

Adimensionalización

Adimensionalicemos las variables de la ecuación anterior.

Partamos por las variables dependientes: $$ \begin{align} \tau &= \tau_0 \ \hat{\tau} \\ x &= x_0 \ \hat{x} \\ t &= t_0 \ \hat{t} \end{align} $$ Donde todavía no decidimos que utilizaremos como factores de escalamiento $\tau_0$, $x_0$ y $t_0$.

Ejemplo

Adimensionalización de derivadas

Para la derivada temporal $$ \begin{align} \frac{\partial \tau}{\partial t} & = \frac{\partial \tau_0 \hat{\tau}}{\partial t} = \tau_0 \frac{\partial \hat{\tau}}{\partial t} \\ & = \tau_0 \frac{\partial \hat{\tau}}{t_0 \partial \hat{t}} = \frac{\tau_0}{t_0} \frac{\partial \hat{\tau}}{\partial \hat{t}} \end{align} $$ y similarmente para la segunda derivada espacial $$ \begin{align} \frac{\partial^2 \tau}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \tau}{\partial x} = \frac{1}{x_0} \frac{\partial}{\partial \hat{x}} \frac{\tau_0}{x_0} \frac{\partial \hat{\tau}}{\partial \hat{x}} \\ &= \frac{\tau_0}{x_0^2} \frac{\partial}{\partial \hat{x}} \frac{\partial \hat{\tau}}{\partial \hat{x}} = \frac{\tau_0}{x_0^2} \frac{\partial^2 \hat{\tau}}{\partial \hat{x}^2} \end{align} $$

Ejemplo

Adimensionalización de ecuación

Utilizando lo anterior $$ \frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{k}{\rho c_p} \frac{\partial^2 \tau}{\partial x^2} $$ se convierte en $$ \frac{\tau_0}{t_0} \frac{\partial \hat{\tau}}{\partial \hat{t}} = \frac{k}{\rho c_p} \frac{\tau_0}{x_0^2} \frac{\partial^2 \hat{\tau}}{\partial \hat{x}^2} $$ es decir $$ \frac{\partial \hat{\tau}}{\partial \hat{t}} = \Big( \frac{k}{\rho c_p} \frac{t_0}{x_0^2} \Big) \frac{\partial^2 \hat{\tau}}{\partial \hat{x}^2} $$

Ejemplo

Adimensionalización de Condiciones Iniciales

$$ \begin{align} \tau(x=0, t=0)&= \tau_b \\ \tau(x\neq 0, t=0)&= \tau_a \\ \end{align} $$

se convierte en $$ \begin{align} \hat{\tau}(\hat{x}=0, \hat{t}=0)&= \frac{\tau_b}{\tau_0} \\ \hat{\tau}(\hat{x}\neq 0, \hat{t}=0)&= \frac{\tau_a}{\tau_0} \\ \end{align} $$

Ejemplo

Sistema adimensional final

Hemos obtenido $$ \begin{align} \frac{\partial \hat{\tau}}{\partial \hat{t}} &= \Big( \frac{k}{\rho c_p} \frac{t_0}{x_0^2} \Big) \frac{\partial^2 \hat{\tau}}{\partial \hat{x}^2}\\ \hat{\tau}(\hat{x}=0, \hat{t}=0)&= \frac{\tau_b}{\tau_0} \\ \hat{\tau}(\hat{x}\neq 0, \hat{t}=0)&= \frac{\tau_a}{\tau_0} \\ \end{align} $$ Es posible y conveniente elegir la adimensionalización de modo que $$\begin{align} \frac{k}{\rho c_p} \frac{t_0}{x_0^2} &= 1 \\ \frac{\tau_a}{\tau_0} &=1 \end{align}$$

Ejemplo

Elección de adimensionalización

Si sabemos que se simulará hasta un tiempo máximo $t_{max}$, es conveniente tomar: $$ \begin{align} t_0 &= t_{max} \\ x_0 &= \sqrt{\frac{k}{\rho c_p} t_{max}}\\ \tau_0 &= \tau_a \end{align} $$

Ejemplo

Elección de adimensionalización

Si sabemos que se estudiará un punto $x_L$ en específico, es conveniente tomar: $$ \begin{align} t_0 &= \frac{\rho c_p}{k} x_0^2\\ x_0 &= x_L\\ \tau_0 &= \tau_a \end{align} $$

Ejemplo

Sistema adimensional final

Independiente de la adimensionalización, se obtiene finalmente el sistema: $$ \begin{align} \frac{\partial \hat{\tau}}{\partial \hat{t}} &= \frac{\partial^2 \hat{\tau}}{\partial \hat{x}^2}\\ \hat{\tau}(\hat{x}=0, \hat{t}=0)&= \frac{\tau_b}{\tau_a} \\ \hat{\tau}(\hat{x}\neq 0, \hat{t}=0)&= 1 \end{align} $$

Ejemplo

Balance

La temperatura adimensional depende de 2 variables $\hat{x}$ y $\hat{t}$ y un parámetro adimensional $\frac{\tau_b}{\tau_a}$, esto es,

$$\hat{\tau}= \Phi\Big(\hat{x}, \hat{t}, \frac{\tau_b}{\tau_a}\Big)$$

Un problema que inicialmente dependía de 6 parámetros físicos ($A$, $c_p$, $k$, $\rho$, $\tau_a$, $\tau_b$), puede ser resuelto solamente por 1 parámetro ($\tau_b/\tau_a$) y luego escalado correctamente.

Balance

No sólo hemos resuelto para un menor número de parámetros, sino que la ecuación anterior indica que basta resolver para una combinación $\tau_b/\tau_a$ específica y que luego podemos recuperar la temperatura dimensional para cualquier valor $c_p$ y $k$ simplemente escalando correctamente.

Esto es, si resolvemos y conocemos $$\hat{\tau}= \Phi\Big(\hat{x}, \hat{t}, \tau_b/\tau_a\Big)$$ podemos ahora calcular la versión dimensional utilizando $$\tau = t_0 \hat{\tau}= t_0 \Phi\Big(x/x_0, t/t_0, \tau_b/\tau_a\Big)$$ Los coeficientes $\rho$, $c_p$ y $k$ se encuentran "camuflados" en las definiciones de $x_0$ y $t_0$.

Moralejas

  • Una ecuación contiene mucha más información que el teorema de Buckingham.
  • Adimensionalizar ecuaciones permite chequear factibilidad, reducir a términos elementales y estudiar casos límites.
  • Teorema de Buckingham es útil para realizar estimaciones de comportamiento global, pero no para comportamiento local.

Aplicación

Supongamos que para un experimento queremos saber cuánto tiempo se demora en llegar al 50% de la temperatura deseada, estando a 0.50 metro del origen, en funcion de los parámetros.

  • ¿Cómo varía el resultado en función de las temperaturas $\tau_a$ (inicial) y $\tau_b$ (fija)?
  • ¿Cómo varía el resultado en función de los coeficientes $\rho$, $c_p$ y $k$?

Aplicación

Simulación con parametros dimensionales

Para resolver el problema con parametros dimensionales ($\tau_a$, $\tau_b$, $\rho$, $c_p$, $k$) deberíamos realizar simulaciones en un gran espacio.

Si discretizamos el espacio de cada parámetro en 10 valores, se requerirían $10^5$ simulaciones. Si cada simulacion toma $1$ segundo, se requerirán $10^5$ segundos, es decir, $27$ horas.

Si discretizamos el espacio de cada parámetro en 20 valores, se requerirían $20^5$ simulaciones. Si cada simulacion toma $1$ segundo, se requerirán $20^5$ segundos, es decir, $36$ días.

Aplicación

Simulación con parametros adimensionales

Para resolver el problema con parametros dimensionales deberíamos realizar simulaciones simplemente discretizando el parámetro $\tau_b/\tau_a$.

Aplicación

Simulación con parametros adimensionales

Tomemos el caso del cobre:

  • Pensemos que $\tau_a$ y $\tau_b$ se mueven en el rango 273-373 grados Kelvin.
  • Eso significa que $\frac{273}{373} \leq \frac{\tau_b}{\tau_a} \leq \frac{373}{273}$.
  • Recordemos que deseamos llegar al 50% de la temperatura $\tau_b$, estando a 0.50 metro del origen.

Solución

En python y magia HTML


In [1]:
from IPython.display import HTML
from mat281_code import heat
HTML(heat.run())


Out[1]:
$\tau_b / \tau_a$ [1]$\hat{t}^*$ [1]
0.7319034852550.38064993368
0.8023920275930.38064993368
0.8728805699320.38064993368
0.943369112270.38064993368
1.013857654610.38064993368
1.084346196950.38064993368
1.154834739290.38064993368
1.225323281620.38064993368
1.295811823960.38064993368
1.36630036630.38064993368

Interpretación

El tiempo (adimensional) que le toma llegar a la mitad de la temperatura es independiente de las temperaturas elegidas.

Volviendo a parametros dimensionales, tenemos: $$ t^* = t_0 \hat{t}^* = \frac{x_0^2}{D} \ \ \hat{t}^* = \frac{\rho c_p}{k} x_0^2 \ \ \hat{t}^*$$

  • Si el material fuera oro, el tiempo requerido hubiese sido $t^* = \frac{0.5^2}{1.23E-4} \times 0.381 \approx 774.4$ segundos (13 minutos).
  • Si el material fuera cobre, el tiempo requerido hubiese sido $t^* = \frac{0.5^2}{1.10E-4} \times 0.381 \approx 865.5$ segundos (15 minutos).
  • Si el material fuera fierro, el tiempo requerido hubiese sido $t^* = \frac{0.5^2}{2.25E-5} \times 0.381 \approx 4329.5$ segundos (72 minutos).

Discusión del problema

¿Que tan real es el problema?

  • ¿Barra infinita?
  • ¿Fijar temperatura en $x=0$ a una temperatura fija?