NGC338


Эксперименты по восстановлению профилей дисперсий для NGC338 (UGC624)

Сначала всякие настройки и импорты


In [239]:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.optimize
from math import *
from IPython.display import HTML
from IPython.display import Image
import os
import PIL as pil
import heapq

#Размер изображений
import matplotlib.pylab as pylab
pylab.rcParams['figure.figsize'] = 12, 12

#Наклон галактики по данным Засова 2012
incl=64.0

# Масштаб пк/секунда из NED
scale=311.0

1. Наблюдательные данные

Всякие картинки и БД для большего удобства:


In [240]:
# Данные из SDSS DR9
HTML('<iframe src=http://skyserver.sdss3.org/dr9/en/tools/explore/obj.asp?ra=15.15164775&dec=30.66902519 width=1000 height=350></iframe>')


Out[240]:

In [241]:
# Данные из HYPERLEDA
HTML('<iframe src=http://leda.univ-lyon1.fr/ledacat.cgi?o=ngc338 width=1000 height=350></iframe>')


Out[241]:

In [242]:
# Данные из NED
HTML('<iframe src=http://ned.ipac.caltech.edu/cgi-bin/objsearch?objname=n338&extend=no&hconst=73&omegam=0.27&omegav=0.73&corr_z=1&out_csys=Equatorial&out_equinox=J2000.0&obj_sort=RA+or+Longitude&of=pre_text&zv_breaker=30000.0&list_limit=5&img_stamp=YES width=1000 height=350></iframe>')


Out[242]:

In [243]:
os.chdir("C:\\science\\2FInstability\\data\\ngc338")
try:
    from PIL import Image
except:
    import Image

fig, subplot = subplots(1, 2)
subplot[0].imshow(np.asarray(Image.open("ngc338_JHK.jpg")))
subplot[0].set_title("2MASS image JHK")
subplot[1].imshow(np.asarray(Image.open("sdss_dr9_whole.jpg")))
subplot[1].set_title("SDSS DR9 whole image")
plt.show()

plt.imshow(np.asarray(Image.open("img110.png")))
plt.title("Image with HI surf. dens.")
plt.show()


Посмотрим теперь на все доступные даные по кривым вращения. Т.к. некоторые из них скорректированы, а некоторые нет, разобьем этот этап на несколько шагов.


In [244]:
# Данные по звездной кинематике Засова 2012 вдоль большей полуоси, не исправленные за наклон 
zasov_raw_data = np.loadtxt("v_stars_ma.dat", float)
r_ma, vel_ma, e_vel_ma, sig_ma, e_sig_ma = zip(*zasov_raw_data)

# Данные по звездной кинематике Засова 2012 вдоль малой полуоси, не исправленные за наклон 
zasov_raw_data = np.loadtxt("v_stars_mi.dat", float)
r_mi, vel_mi, e_vel_mi, sig_mi, e_sig_mi = zip(*zasov_raw_data)

# Данные по кинематике газа Засова 2012 вдоль большой полуоси, не исправленные за наклон (они же Катков)
zasov_raw_data = np.loadtxt("v_gas_ma.dat", float)
r_g, vel_g, e_vel_g = zip(*zasov_raw_data)

# Данные по кинематике газа Noordermeer 2007 (исправлено за наклон)
wsrt_raw_data = np.loadtxt("v_gas_WSRT.dat", float)
r_wsrt, vel_wsrt, e_vel_wsrt = zip(*wsrt_raw_data)

# Данные по кинематике газа Courteau 97 (не исправлено за наклон)
court_raw_data = np.loadtxt("v_gas_Court.dat", float)
r_court, vel_court, e_vel_court = zip(*court_raw_data)


fig, subplot = subplots(2, 1)
subplot[0].plot(r_ma, vel_ma, '.-', label="Zasov 2012, maj")
subplot[0].plot(r_mi, vel_mi, '.-', label="Zasov 2012, min")
subplot[0].plot(r_g, vel_g, '.-', label="gas Zasov 2012")
subplot[0].legend()
subplot[1].plot(r_wsrt, vel_wsrt, '.-', label="gas Noordermeer 2007")
subplot[1].plot(r_court, vel_court, '.-', label="gas Courteau 97")
subplot[1].legend()
plt.plot()


Out[244]:
[]

In [245]:
def incline_velocity(v, angle):
    return v / sin(angle * pi / 180)

# Переносит центр в (r0,v0) и перегибает кривую вращения, 
# а также исправляет за наклон если необходимо
def correct_rotation_curve(rdata, vdata, dvdata, r0, v0, incl):
    rdata_tmp = [abs(r-r0) for r in rdata]
    vdata_tmp = [incline_velocity(abs(v-v0), incl) for v in vdata]
    data = zip(rdata_tmp, vdata_tmp, dvdata)
    data.sort()
    return zip(*data)

r_ma_b, vel_ma_b, e_vel_b = correct_rotation_curve(r_ma, vel_ma, e_vel_ma,  0.0, 4759.845, incl)

r_mi_b, vel_mi_b, e_vel_mi_b = correct_rotation_curve(r_mi, vel_mi, e_vel_mi,  0.0, 4759.845, incl)

r_g_b, vel_g_b, e_vel_g_b = correct_rotation_curve(r_g, vel_g, e_vel_g,  0.0, 4759.845, incl)

r_c_b, vel_c_b, e_vel_c_b = correct_rotation_curve(r_court, vel_court, e_vel_court,  0.0, 0.0, incl)


plt.plot(r_ma_b, vel_ma_b, 'd', label = 'Zasov star maj')
plt.errorbar(r_ma_b, vel_ma_b, yerr=e_vel_b, fmt='.', marker='.', mew=0, color='blue')
plt.plot(r_mi_b, vel_mi_b, '.', label = 'Zasov star min', color='green')
plt.errorbar(r_mi_b, vel_mi_b, yerr=e_vel_mi_b, fmt='.', marker='.', mew=0, color='green')
plt.plot(r_g_b, vel_g_b, 's', label = 'Zasov star gas', color='red')
plt.errorbar(r_g_b, vel_g_b, yerr=e_vel_g_b, fmt='.', marker='.', mew=0, color='red')
plt.plot(r_wsrt, vel_wsrt, 'p', label="gas Noordermeer 2007", color='m')
plt.errorbar(r_wsrt, vel_wsrt, yerr=e_vel_wsrt, fmt='.', marker='.', mew=0, color='m')
plt.plot(r_c_b, vel_c_b, '.', label = 'gas Courteau 97', color='black')
plt.errorbar(r_c_b, vel_c_b, yerr=e_vel_c_b, fmt='.', marker='.', mew=0, color='black')
plt.xlim(0, 80.0)
plt.ylim(0)
plt.legend()
plt.plot()


Out[245]:
[]

В дальнейшем используем только засовские данные по звездам по большой полуоси и газу. Приблизим первую из них полиномом.


In [246]:
poly_star = poly1d(polyfit(r_ma_b, vel_ma_b, deg=7))

plt.plot(r_ma_b, vel_ma_b, 'x-', color='blue', markersize=6)
test_points = np.arange(0.0, max(r_ma_b), 0.1)
plt.plot(test_points, poly_star(test_points), '-', color='red')
plt.xlabel('$R$'); plt.ylim(0)
plt.ylabel('$V^{maj}_{\phi}(R)$')
plt.show()


Кривая вращения нам нужна для нахождения соотношения $\sigma_{\varphi}^{2}/\sigma_{R}^{2}$, которое описывается уравнением ${\displaystyle \sigma_{\varphi}^{2}/\sigma_{R}^{2}=0.5\left(1+\frac{R}{\bar{v}_{\varphi}}\frac{d\bar{v}_{\varphi}}{dR}\right)}$ (Binney & Tremaine, 1987) и приближается гладко функцией $f=0.5(1+e^{-R/R_{0}}),$ где $R_{0}$ --- характерный масштаб.

${\bf Примечание:}$ Такое приближение оправдано следующими соображениями. Для равновесного диска верно уравнение, описанное выше. Для твердотельного участка вращения в центральных областях выражение в скобках равно 2, а $\sigma_{\varphi}^{2}/\sigma_{R}^{2}=1$. На плоском участке кривой вращения на периферии диска $\sigma_{\varphi}^{2}/\sigma_{R}^{2}\thickapprox0.5$. Функция $f$ как раз аппроксимирует такое поведение отношения $\sigma_{\varphi}^{2}/\sigma_{R}^{2}$.

Изобразим получившийся профиль $\sigma_{\varphi}^{2}/\sigma_{R}^{2}$, вычисляемый через производную полинома:


In [247]:
def sigPhi_to_sigR_real(R):
        return 0.5 * (1 + R*poly_star.deriv()(R) / poly_star(R))

plt.plot(test_points, [sigPhi_to_sigR_real(R) for R in test_points], 'd-', color='green')
plt.axhline(y=0.5)
plt.axhline(y=0.0)
plt.xlabel('$R$')
plt.ylabel(r"$\sigma_{\varphi}^2/\sigma_{R}^2$")
plt.ylim(0)
plt.show()


Найдем теперь характерный масштаб $f=0.5(1+e^{-R/R_{0}})$:


In [248]:
def f(R, Ro):
    return 0.5*(1 + np.exp( -R/Ro ))

xdata = test_points
ydata = sigPhi_to_sigR_real(xdata)

from scipy.optimize import curve_fit
popt, pcov = curve_fit(f, xdata, ydata, p0=[1.0])
Ro = popt[0]

plt.plot(xdata, ydata, 'x-')
plt.plot(xdata, [f(p, Ro) for p in xdata], 's')
plt.axhline(y=0.5)
plt.axhline(y=0.0)
plt.title('$R_{0} = %s $' % Ro)
plt.ylim(0)
plt.show()


Теперь знаем значение отношения $\sigma_{\varphi}^{2}/\sigma_{R}^{2}$ в любой точке, заведем соответствующую функцию:


In [249]:
def sigPhi_to_sigR(R):
    return sqrt(f(R, Ro))

Построим графики дисперсий скоростей на луче зрения вдоль большой и малой оси ($\sigma_{los}^{maj}$ и $\sigma_{los}^{min}$):


In [250]:
# Исправляем значения вдоль малой оси на синус угла:    
def correct_min(R):    
    return R / cos(incl * pi / 180) 

r_mi_extend = map(correct_min, r_mi)
    
plt.plot(r_ma, sig_ma, 's-', label='$\sigma_{los}^{maj}$')
plt.errorbar(r_ma, sig_ma, yerr=e_sig_ma, fmt='.', marker='.', mew=0, color='blue')
plt.plot(r_mi_extend, sig_mi, 's-', label='$\sigma_{los}^{min}$')
plt.errorbar(r_mi_extend, sig_mi, yerr=e_sig_mi, fmt='.', marker='.', mew=0, color='black')
plt.xlabel('$R$')
plt.ylabel('$\sigma$')
plt.legend()
plt.show()


Перегнем и приблизим полиномами:


In [251]:
bind_curve = lambda p: (abs(p[0]), abs(p[1]), p[2])
sig_maj_data = zip(r_ma, sig_ma, e_sig_ma)
sig_maj_data = map(bind_curve, sig_maj_data)
sig_maj_data.sort()
radii_maj, sig_maj_p, e_sig_maj_p = zip(*sig_maj_data) 

poly_sig_maj = poly1d(polyfit(radii_maj, sig_maj_p, deg=9))

sig_min_data = zip(r_mi_extend, sig_mi, e_sig_mi)
sig_min_data = map(bind_curve, sig_min_data)
sig_min_data.sort()
radii_min, sig_min_p, e_sig_min_p = zip(*sig_min_data) 

# Добавляем лишние точки чтобы протянуть дальше
num_fake_points = 10; expscale = 100.0
fake_radii, fake_sig = zip(*[(29.0 + i, 105*exp(- i / expscale )) for i in range(1, num_fake_points+1)])

poly_sig_min = poly1d(polyfit(radii_min + fake_radii, sig_min_p + fake_sig, deg=9))

points = np.arange(0, max(radii_min), 0.1)
plt.plot(radii_maj, sig_maj_p, 's', label='$\sigma_{los}^{maj}$', color='blue')
plt.errorbar(radii_maj, sig_maj_p, yerr=e_sig_maj_p, fmt='.', marker='.', mew=0, color='blue')
plt.plot(points, poly_sig_maj(points), label = '$\sigma_{los}^{maj} polyfit$', color='blue')
plt.plot(radii_min, sig_min_p, 's', label='$\sigma_{los}^{min}$', color='red')
plt.errorbar(radii_min, sig_min_p, yerr=e_sig_min_p, fmt='.', marker='.', mew=0, color='red')
plt.plot(points, poly_sig_min(points), label = '$\sigma_{los}^{min} polyfit$', color='red')
plt.plot(fake_radii, fake_sig, 'bs', color='green', label='$fake points$')
plt.legend()
# plt.ylim(40, 200)
plt.show()


Посчитаем величину невязок для полученного приближения:


In [252]:
sqerr_maj = sum(power([poly_sig_maj(p[0]) - p[1] for p in sig_maj_data], 2))
sqerr_min = sum(power([poly_sig_min(p[0]) - p[1] for p in sig_min_data], 2))

chi2_maj = sqerr_maj / len(sig_maj_p)
chi2_min = sqerr_min / len(sig_min_p)

print "Poly chi^2 for maj full = %s, mean = %s" % (sqerr_maj, chi2_maj)
print "Poly chi^2 for min full = %s, mean = %s" % (sqerr_min, chi2_min)


Poly chi^2 for maj full = 6018.46868188, mean = 53.2607847954
Poly chi^2 for min full = 2975.50305433, mean = 57.2212125833

2. Аналитическое восстановление профиля

2.1 Из МНК

Методика восстановления профилей $\sigma_{R}(R)$, $\sigma_{\varphi}(R)$ и $\sigma_{z}(R)$ следующая. Представим, что $\sigma_{Z}/\sigma_{R} \equiv \alpha \equiv const$. Тогда, зная значения $\sigma_{\varphi}^{2}/\sigma_{R}^{2}=f(R)$ в каждой точке, получаем из уравнений, описанных выше: $$\sigma_{los,maj}^2=\sigma_R^2[f\sin^2i+\alpha^2\cos^2i]$$ $$\sigma_{los,min}^2=\sigma_R^2[\sin^2i+\alpha^2\cos^2i]$$ Представим теперь $\sigma_R(R)=\sigma_{R,0}\times F(R)$, где $F(0)=1$. Значение в квадратных скобках для $\sigma_{los,min}$ равно константе и, следуя предположению, получаем представление для дисперсии вдоль луча зрения для малой оси как $\sigma_{los,min}(R)=\sigma_{min,0}\times F(R)$. Очевидно $\sigma_{min,0} = \sigma_{los,min}(0)$, а значит мы знаем в каждой точке значение $F(R)=\sigma_{los,min(R)}/\sigma_{min,0}$. Описанная выше система уравнений вырождается в следующую: $$\sigma_{los,maj}^2(R)=\frac{\sigma_{R,0}^2\sigma_{los,min}^2(R)[f\sin^2i+\alpha^2\cos^2i]}{\sigma_{min,0}^2}$$ $$\sigma_{min,0}^2=\sigma_{R,0}^2\sin^2i+\sigma_{R,0}^2\alpha^2\cos^2i$$ Сделаем замену: $\sigma_{R,0}^2\sin^2 i \equiv A,\ \sigma_{R,0}^2\cos^2 i\times \alpha^2 \equiv B$. Окончательно, имеем $N+1$ линейное уравнение для $N$ точек, которые можем решить МНК: $$\left\{ \begin{array}{lr} \sigma_{los,maj}^2(R_j)\times \sigma_{min,0}^2 =\sigma_{los,min}^2(R_j)[Af(R_j)+B]\\ \sigma_{min,0}^2=A+B \end{array} \right. $$


In [253]:
#Обрезаем данные по x > r_eff
r_eff = 20.0

#Значение sig_los_min в 0
sig_min_0 = poly_sig_min(0)

#Правая граница
r_max = 41.0

#Количество точек N и сами точки
N = 6
radii_points = np.arange(r_eff, r_max, (r_max-r_eff)/N)

#Как вычислять ошибку 
def residuals(params, xdata, ydata):
            return (ydata - numpy.dot(xdata, params))

#Начальное приближение (А,В)
x0 = [1000, 1000]

#Уравнения:  одно для min и N для maj
#Левая часть:
eq_left = np.concatenate( ([sig_min_0**2], 
                              [poly_sig_maj(p)**2 * sig_min_0**2  for p in radii_points]) )
#Правая часть:
eq_right = np.transpose(
            np.array([
                np.concatenate(([1.0],
                                   [poly_sig_min(R)**2 * sigPhi_to_sigR(R)**2 for R in radii_points])),
                np.concatenate(([1.0],
                                   [poly_sig_min(R)**2 for R in radii_points]))]))

# Что будет, если выкинуть уравнение для min:
# eq_left = np.array([poly_sig_maj(p)**2 * sig_min_0**2  for p in radii_points])
# eq_right = np.transpose(
#             np.array([[poly_sig_min(R)**2 * sigPhi_to_sigR(R)**2 for R in radii_points],
#                                    [poly_sig_min(R)**2 for R in radii_points]]))

# МНК для получившихся уравнений:
solution = scipy.optimize.leastsq(residuals, x0, args=(eq_right, eq_left))[0]
A, B = solution[0], solution[1]

chi2 = sum(power(residuals(solution, eq_right, eq_left), 2))
        
print 'Solution: A = %s, B = %s' % (A, B)
print 'Chi^2:', chi2

#Подставить в уравнение в какой-нибудь точке:
# rrr = 25.0
# print (poly_sig_maj(rrr)**2) * sig_min_0**2 - (poly_sig_min(rrr)**2) * (A*f(rrr, Ro)+B)


Solution: A = 10896.9503304, B = 1047.44918527
Chi^2: 4.06733269423e+14

Теперь восстановим исходные неизвестные - $\alpha$ и $\sigma_{R, 0}$:


In [254]:
sig_R_0 = round( sqrt(A) / sin(incl*pi/180), 3)
alpha = round( sqrt(B)/ (cos(incl*pi/180) * sig_R_0), 3)

# sig_R_0 = 160
# alpha = 0.55

print "sig_R_0 = %s, alpha = %s" % (sig_R_0, alpha)


sig_R_0 = 116.143, alpha = 0.636

Построим полученные профили дисперсий скоростей:


In [255]:
def sigR_exp(R):
    return sig_R_0*poly_sig_min(R)/sig_min_0

def sigZ_exp(R):
    return alpha * sigR_exp(R)

def sigPhi_exp(R):
    return sigPhi_to_sigR(R) * sigR_exp(R)


plt.plot(points, [sigR_exp(R) for R in points], '-', color='red', label='$\sigma_{R, exp}$')
plt.plot(points, [sigPhi_exp(R) for R in points], '-', color='blue', label=r'$\sigma_{\varphi, exp}$')
plt.plot(points, [sigZ_exp(R) for R in points], '-', color='black', label='$\sigma_{Z, exp}$')
plt.legend()
plt.show()


И восстановим профили $\sigma_{los}^{maj}$ и $\sigma_{los}^{min}$. Связь профилей описывается следующими уравнениями: $$\sigma_{los,maj}^2=\sigma_{\varphi}^2\sin^2i+\sigma_Z^2\cos^2i$$ $$\sigma_{los,min}^2=\sigma_R^2\sin^2i+\sigma_Z^2\cos^2i$$


In [256]:
def sig_maj_exp(R):
    return sqrt(sigPhi_exp(R)**2 * sin(incl*pi/180)**2 + sigZ_exp(R)**2 * cos(incl*pi/180)**2)

def sig_min_exp(R):
    return sqrt(sigR_exp(R)**2 * sin(incl*pi/180)**2 + sigZ_exp(R)**2 * cos(incl*pi/180)**2)

plt.plot(points, poly_sig_maj(points), '-', label = '$\sigma_{los}^{maj} polyfit$', color='blue')
plt.plot(points, [sig_maj_exp(R) for R in points], '--', color='blue', label='$\sigma_{maj, exp}$')
plt.plot(points, poly_sig_min(points), '-', label = '$\sigma_{los}^{min} polyfit$', color='red')
plt.plot(points, [sig_min_exp(R) for R in points], '--', color='red', label='$\sigma_{min, exp}$')
plt.legend()
plt.show()


Попробуем поискать точки, в которых МНК решается лучше всего:


In [257]:
#Восстановление первоначальных неизвестных
def physical_unknowns(A, B):
    sig_R_0 = round( sqrt(A) / sin(incl*pi/180), 3)
    alpha = round( sqrt(B)/ (cos(incl*pi/180) * sig_R_0), 3)
    return (sig_R_0, alpha)

#Значение sig_los_min в 0
sig_min_0 = poly_sig_min(0.)

Ns = [