变分自编码器（Variational Autoencoder，VAE）是生成式模型（Generative Model）的一种，另一种常见的生成式模型是生成式对抗网络（Generative Adversarial Network，GAN）
这里我们介绍下VAE的原理，并用Keras实现
我们经常会有这样的需求：根据很多个样本，学会生成新的样本
以MNIST为例，在看过几千张手写数字图片之后，我们能进行模仿，并生成一些类似的图片，这些图片在原始数据中并不存在，有一些变化但是看起来相似
换言之，需要学会数据 $x$ 的分布 $P(X)$ ，这样，根据数据的分布就能轻松地产生新样本
但数据分布的估计不是件容易的事情，尤其是当数据量不足的时候
可以使用一个隐变量 $z$ ，由 z 经过一个复杂的映射得到 $x$ ，并且假设 $z$ 服从高斯分布
$$x=f(z;\theta)$$因此只需要学习隐变量所服从高斯分布的参数，以及映射函数，即可得到原始数据的分布
为了学习隐变量所服从高斯分布的参数，需要得到 $z$ 足够多的样本
然而 $z$ 的样本并不能直接获得，因此还需要一个映射函数（条件概率分布），从已有的 x 样本中得到对应的 z 样本
$$z=Q(x)$$这看起来和自编码器很相似，从数据本身，经编码得到隐层表示，经解码还原
AE中隐层表示的分布未知，而VAE中隐变量服从高斯分布 AE中学习的是encoder和decoder，VAE中还学习了隐变量的分布，包括高斯分布的均值和方差 AE只能从一个 x ，得到对应的重构 x VAE可以产生新的 z ，从而得到新的 x ，即生成新的样本 损失函数 除了重构误差，由于在VAE中我们假设隐变量 z 服从高斯分布，因此encoder对应的条件概率分布，应当和高斯分布尽可能相似
可以用相对熵，又称作KL散度（Kullback–Leibler Divergence），来衡量两个分布的差异，或者说距离，但相对熵是非对称的
$$ D(f\parallel g)=\int f(x)\log\frac{f(x)}{g(x)}dx $$这里以MNIST为例，学习隐变量 z 所服从高斯分布的均值和方差两个参数，从而可以从新的 z 生成原始数据中没有的 x
encoder和decoder各用两层全连接层，简单一些，主要为了说明VAE的实现
In [1]:
# 加载库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from keras.layers import Input, Dense, Lambda
from keras.models import Model
from keras import backend as K
from keras import objectives
from keras.datasets import fashion_mnist # 可以在MNIST这个数据集上跑一遍，数据集规模和FashionMNIST完全相同
# 定义一些常数
batch_size = 200
original_dim = 784
intermediate_dim = 256
latent_dim = 2
epochs = 30
In [2]:
# encoder部分，两层全连接层，隐层表示包括均值和方差
x = Input(shape=(original_dim,))
h = Dense(intermediate_dim, activation='relu')(x)
z_mean = Dense(latent_dim)(h)
z_log_var = Dense(latent_dim)(h)
# Lambda层不参与训练，只参与计算，用于后面产生新的 z
def sampling(args):
z_mean, z_log_var = args
epsilon = K.random_normal(shape=(batch_size, latent_dim), mean=0.)
return z_mean + K.exp(z_log_var / 2) * epsilon
z = Lambda(sampling, output_shape=(latent_dim,))([z_mean, z_log_var])
# decoder部分，两层全连接层，x_decoded_mean为重构的输出
decoder_h = Dense(intermediate_dim, activation='relu')
decoder_mean = Dense(original_dim, activation='sigmoid')
h_decoded = decoder_h(z)
x_decoded_mean = decoder_mean(h_decoded)
In [3]:
# 自定义总的损失函数并编译模型
def vae_loss(x, x_decoded_mean):
xent_loss = original_dim * objectives.binary_crossentropy(x, x_decoded_mean)
kl_loss = -0.5 * K.sum(1 + z_log_var - K.square(z_mean) - K.exp(z_log_var), axis=-1)
return xent_loss + kl_loss
vae = Model(x, x_decoded_mean)
vae.compile(optimizer='rmsprop', loss=vae_loss)
# 加载数据并训练，CPU训练的速度还算能忍
(x_train, y_train), (x_test, y_test) = fashion_mnist.load_data()
x_train = x_train.astype('float32') / 255.
x_test = x_test.astype('float32') / 255.
x_train = x_train.reshape((len(x_train), np.prod(x_train.shape[1:])))
x_test = x_test.reshape((len(x_test), np.prod(x_test.shape[1:])))
vae.fit(x_train, x_train,
shuffle=True,
epochs=epochs,
batch_size=batch_size,
validation_data=(x_test, x_test))
Out[3]:
In [4]:
# 定义一个encoder，看看MNIST中的数据在隐层中变成了什么样子
encoder = Model(x, z_mean)
x_test_encoded = encoder.predict(x_test, batch_size=batch_size)
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.scatter(x_test_encoded[:, 0], x_test_encoded[:, 1], c=y_test)
plt.colorbar()
plt.show()
# 结果如下，说明在二维的隐层中，不同的数字被很好地分开了
In [5]:
# 再定义一个生成器，从隐层到输出，用于产生新的样本
decoder_input = Input(shape=(latent_dim,))
_h_decoded = decoder_h(decoder_input)
_x_decoded_mean = decoder_mean(_h_decoded)
generator = Model(decoder_input, _x_decoded_mean)
# 用网格化的方法产生一些二维数据，作为新的 z 输入到生成器，并将生成的 x 展示出来
n = 20
digit_size = 28
figure = np.zeros((digit_size * n, digit_size * n))
grid_x = np.linspace(-4, 4, n)
grid_y = np.linspace(-4, 4, n)
for i, xi in enumerate(grid_x):
for j, yi in enumerate(grid_y):
z_sample = np.array([[yi, xi]])
x_decoded = generator.predict(z_sample)
digit = x_decoded[0].reshape(digit_size, digit_size)
figure[(n - i - 1) * digit_size: (n - i) * digit_size,
j * digit_size: (j + 1) * digit_size] = digit
plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.imshow(figure)
plt.show()
# 结果如下，和之前看到的隐层图是一致的，甚至能看到一些数字之间的过渡态
In [ ]: