Comparaison entre des analyses des correspondances appliquées à une table de contingence, un tableau disjonctif complet et un tableau de Burt comme généralisation de l'Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) pour définir l'Analyse Factorielle Multiple des Correspondances. Exemple d'AFCM élémentaire et AFCM de variables avec interactions.
Utilisation du package FactoMineR.
Six invividus identifiés de un à sixsont questionnés. Ils indiquent leur CSP (1 à 4) et leur sport préféré: Rou T.
In [ ]:
matFic=read.table("Data/afcfic.dat",header=TRUE, row.names=1)
matFic
In [ ]:
T=table(matFic$csp,matFic$sport)
T
Q Quel est le tableau ci-dessous?
In [ ]:
library(FactoMineR)
D=tab.disjonctif(matFic)
D
Q Quel est le tableau ci-dessous? De quels blocs est-il constitué?
In [ ]:
B=t(D)%*%D
B
In [ ]:
options(repr.plot.width=4, repr.plot.height=4)
CA(T)$eig
In [ ]:
CA(B)$eig
In [ ]:
CA(D)$eig
Q Qu'apporte en plus l'AFC(D)?
Q Quelle signification des pourcentages sur les axes?
Q Retrouver les valeurs propres de AFC(D) à partir de celles de AFC(T).
Q Question subsidiaire: pourquoi les points sont projetés sur une parabole nommée dans la littérature: horseshoe ou effet Guttman?
Nous nous proposons de représenter à l'aide d'une AFCM les proprités de races de chiens afin d'évaluer leur compatibles avec la fonction de ces chiens considérée comme variable supplémentaire.
Les données sont extraites de Bréfort (1982). Elles contiennent le descriptif des qualités de 27 races de chien: tailles (T), poids (P), vélocité (V), intelligence (I), codées sur trois modalités (- faible, + moyen, ++ fort), affection (Af) et agressivité (Ag) sur deux modalités (- faible, + forte), enfin la fonction sur trois modalités: Com (compagnie), Cha (chasse), Uti (utilité). Les modalités étaient initialement codées par des entiers mais l'obtention de graphes des modalités explicites nécessite un recodage explicite des modalités avec des libellés facilement identifiables. Ce recodage a été opéré dans SAS.
La première colonne identifie la race du chien donc chaque individu.
In [ ]:
chiens=read.csv("Data/chiens.csv", row.names=1)
chiens
summary(chiens)
In [ ]:
library(FactoMineR)
#afcm avec la fonction des chiens en supplémentaire
afcm=MCA(chiens,quali.sup=7,graph=F)
options(repr.plot.width=5, repr.plot.height=5)
plot(afcm,habillage="quali",invisible="ind")
Q Quelle AFC a été calculée pour produire le graphe ci-dessus?
Q Quelle signification des pourcentages sur les axes?
Q Quelle interprétation possible?
In [ ]:
plot(afcm, choix="ind",habillage="quali")
Q Quelle AFC a été exécutée pour obtenir le graphe ci-dessus?
L'objet de cet exemple est de mettre en évidence les limitations de l'AFCM ou les précautions à prendre pour traiter des données complexes. L'AFCM analyse le seul tableau de Burt croisant (tables de contingence) les variables deux à deux. Par construction, cette méthode ne prend donc pas en compte la présence possible d'interactions d'ordre supérieur à deux entre les variables. Ce peut être trompeur.
Les données relatives à plusieurs variables qualitatives sont représentées habituellement sous la forme d'une table de contingence complète. L'exemple ci-dessous est extrait de Bishop et al. (1976). Il décrit les résultats partiels d'une enquête ancienne réalisée dans trois centres hospitaliers (Boston, Glamorgan, Tokio) sur des patientes atteintes d'un cancer du sein. On se propose d'étudier la survie de ces patientes trois ans après le diagnostic. En plus de cette information, quatre autres variables sont documentées pour chacune des patientes:
Le croisement de toutes les variables permet de construire la table de contingence complète ci-dessous.
| Centre | Age | Survie | Petite | Inflammation | Grande | Inflammation |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ap Maligne | App Benine | App Maligne | App Benine | |||
| Tokio | <50 | non | 9 | 7 | 4 | 3 |
| oui | 26 | 68 | 25 | 9 | ||
| 50-69 | non | 9 | 9 | 11 | 2 | |
| oui | 20 | 46 | 18 | 5 | ||
| >70 | non | 2 | 3 | 1 | 0 | |
| oui | 1 | 6 | 5 | 1 | ||
| Boston | <50 | non | 6 | 7 | 6 | 0 |
| oui | 11 | 24 | 4 | 0 | ||
| 50-69 | non | 8 | 20 | 3 | 2 | |
| oui | 18 | 58 | 10 | 3 | ||
| >70 | non | 9 | 18 | 3 | 0 | |
| oui | 15 | 26 | 1 | 1 | ||
| Glamorgan | <50 | non | 16 | 7 | 3 | 0 |
| oui | 16 | 20 | 8 | 1 | ||
| 50-69 | non | 14 | 12 | 3 | 0 | |
| oui | 27 | 39 | 10 | 4 | ||
| >70 | non | 3 | 7 | 3 | 0 | |
| oui | 12 | 11 | 4 | 1 |
Q Que signifie chaque entier dans cette table?
L'objectif de cette étude est une analyse descriptive (AFCM) de cette table en recherchant à mettre en évidence les facteurs de décès.
In [ ]:
diagnos=read.csv("Data/diagnos.csv")
summary(diagnos[,1:6])
Q Quel est le graphique ci-dessous? Aide-t-il à la compréhension?
In [ ]:
T=xtabs(eff~centre+age+survie+inflam+appar,diagnos)
mosaicplot(T)
In [ ]:
library(FactoMineR)
# fréquences "biaisées" car le programme
# ne supporte pas des fréquences nulles
freq=diagnos[,1]+.0001
afcm=MCA(diagnos[,2:6],row.w=freq,graph=F)
plot(afcm, choix="ind",invisible="ind",habillage="quali",title="")
Q Interpréter le deuxième axe. A la lumière de ce graphique, quels sont les facteurs de décès?
Q Quelle est influence de l'âge? Et surtout celle du centre?
Q Influence du centre ou déséquilibre des distributions des âges entre les centres? Commnent répondre à cette question?
Le graphique de l'analyse précédente suggère l'influence de l'âge mais aussi celle du centre de diagnostic dans les risques de décès avant trois ans. Pour expliciter ces liaisons, les données sont reconsidérées de la façon suivante:
centre et age sont croisées pour construire une variable agecent à 9 modalités,inflam et appar sont croisées également pour définir la variable histo à 4 modalités.
In [ ]:
summary(diagnos)
Ce qui conduit au mosaicplot guère plus explicite:
In [ ]:
T=xtabs(eff~agecent+survie+histo,diagnos)
mosaicplot(T)
In [ ]:
afcm=MCA(diagnos[,2:8],quali.sup=c(1,2,4,5),row.w=freq,graph=F)
options(repr.plot.width=6, repr.plot.height=6)
plot(afcm, choix="ind",invisible="ind",habillage="quali",title="")
Q Reprérer les modalités de la variable agecent. Comment celles-si sont -elles positionnées par rapport à celles de la variable supplémentaire centre; puis de celles de la variable age?
Q Même chose pour les variables histo, imflam, appar.
Q Quels sont, pour ce graphique, les principaux facteurs de risque?
Q Est-ce compatible avec le graphique de l'AFCM précédente?