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Contenido bajo licencia CC-BY 4.0. Código bajo licencia MIT. (c) Sebastian Flores.
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MAT281

Aplicaciones de la Matemática en la Ingeniería

Sebastián Flores

https://www.github.com/sebastiandres/mat281

Clase anterior

  • Conjeturas razonables
  • Análisis dimensional

¿Qué contenido aprenderemos hoy?

  • Teorema $\Pi$

¿Porqué aprenderemos ese contenido?

  • Teorema $\Pi$

Porque el análisis dimensional es parte esencial del estudio de un problema. Permite reducir un problema complejo a sus mínimos componentes.

Pregunta crucial

  • ¿Porqué en física e ingeniería las potencias de las fórmulas son siempre números enteros?
  • ¿Porqué no existen formulas donde la potencia sea un número irracional?

Porque área y volumen tienen potencias enteras, y las leyes son conservativas. Al integrar sobre un área o volumen, se deben obtener constantes.

Análisis Dimensional

Definición

Análisis Dimensional es una forma de simplificar un modelo físico utilizando la necesidad de homogeneidad dimensional para disminuir el número de variables.

Análisis Dimensional

Utilidad

  • Chequear las ecuaciones.
  • Analizar problemas que no admiten solución teórica directa.
  • Establecer la importancia relativa de distintos componentes de un fenómeno físico.
  • Presentar e interpretar datos experimentales
  • Diseñar experimentos de laboratorio o numéricos.

Análisis Dimensional

Dimensión vs Unidad

Dimensión

Tipo de cantidad física.

Unidad

Forma de asignar valor numérico a una cantidad de dimensión.

Preguntas

  • ¿Cuántas dimensiones físicas existen?
  • ¿Cuántas unidades físicas existen?

Análisis Dimensional

Dimensiones físicas

Existen 7 dimensiones fundamentales, cuyas unidades básicas son definidas por el SI (Sistema Internacional de Unidades):

  • $L$ Longitud.
    • Unidad: metro, [m].
  • $M$ Masa.
    • Unidad: kilogramo, [kg].
  • $T$ Tiempo.
    • Unidad: segundo, [s].
  • $\theta$ Temperatura.
    • Unidad: Kelvin, [K].

Análisis Dimensional

Dimensiones físicas

Existen 7 dimensiones fundamentales, cuyas unidades b asicas son definidas por el SI (Sistema Internacional de Unidades):

  • $I$ Intensidad de Corriente Eléctrica.
    • Unidad: Amperio, [A].
  • $\mu$ Cantidad de Sustancia.
    • Unidad: Mol, [mol].
  • $lv$ Intensidad Luminosa.
    • Unidad: Candela, [cd].

Análisis Dimensional

Repaso de FIS100

¿Dimensiones de Fuerza? ¿Dimensiones de Torque?

Fuerza:

  • Unidades: $M L T^{-2}$
  • Recordar: Fuerza = masa x aceleración

Torque:

  • Unidades: $M L^2 T^{-2}$
  • Recordar: Torque = fuerza x largo

Análisis Dimensional

Repaso de FIS100

¿Dimensiones de Energía? ¿Dimensiones de Presión?

Energía:

  • Unidades: $M L^2 T^{-2}$
  • Recordar: Energia Cinética = masa x velocidad al cuadrado

Presión:

  • Unidades: $M L^{-1} T^{-2}$
  • Recordar: Presión = Fuerza sobre area

Análisis Dimensional

Teorema $\Pi$ o teorema Buckingham

Si un problema requiere $n$ variables dimensionales con $k$ dimensiones independientes, entonces puede reducirse a una relación entre $n − k$ parámetros no dimensionales $\Pi_1 ,\Pi_2 , ..., \Pi_{n-k}$

$$\Phi(\Pi_1 ,\Pi_2 , ..., \Pi_{n-k}) = 0$$

Teorema $\Pi$ o teorema Buckingham

Para construir estos parámetros no-dimensionales:

  1. Elegir $k$ variables de escalamiento que contengan en conjunto las $k$ dimensiones del problema: $s_1 , ..., s_k$.
  2. Para cada una de las restantes $n − k$ variables $v_i$ construir una variable adimensional $\Pi_i$ de la forma $$\Pi_i = v_i (s_1 )^{m_1} (s_2 )^{m_2} ...(s_k )^{m_k}$$ donde $m_1$, $m_2$ , ... $m_k$ se resuelven para hacer cada $\Pi_i$ adimensional.

Análisis Dimensional

Teorema $\Pi$ o teorema Buckingham

  • La elección de la "base" $s_i$ no es única.
  • Una vez elegida la "base" $s_i$, los parámetros quedan únicamente definidos.
  • El teorema permite determinar cuales serán los parámetros adimensionales, a pesar que la ecuación sea todavía desconocida.

Ejemplo 1: Caída libre

Consideremos el caso de la caída libre de un objeto.

¿Cuales son las variables físicas involucradas?

  • Masa del objeto: $m$
  • Altura de la caída: $h$
  • Tiempo de caída: $t$
  • Constante de gravedad: $g$

Ejemplo 1: Caída libre

Dimensiones

  • Masa del objeto: $[m] = M$
  • Altura de la caída: $[h] = L$
  • Tiempo de caída: $[t] = T$
  • Constante de gravedad: $[g] = L/T^2$

Conclusión: La masa no es importante en la caída libre: no puede relacionarse con las otras variables, pues no sería posible adimensionalizarla.

Ejemplo 1: Caída libre

Teorema $\Pi$

  • Datos:

    • 3 variables: $h$, $t$, $g$
    • 2 dimensiones: $L$ y $T$
  • Se tiene $3-2=1$ variables adimensionales.

  • Elección de variables escalamiento:

    • $g$, $t$

Ejemplo 1: Caída libre

Teorema $\Pi$

Adimensionalizando tenemos: $$\Pi_1 = h g^x t^y$$ Luego se tiene la siguiente relación entre las dimensiones $$\begin{align}[\Pi_1] &= [h g^x t^y] = [h] [g]^x [t]^y \\ &= L \ L^x \ T^{-2x} \ T^y = L^0 T^0 \end{align}$$ Es decir, debemos resolver el sistema: $$\begin{align} 1 + x & = 0 \\ −2x + y &= 0 \end{align}$$

Se obtiene: $x = −1$ e $y = −2$, con lo cual $$ \Pi_1 = h g^x t^y = \frac{h}{gt^2}$$

Ejemplo 1: Caída libre

El teorema de Buckingham nos dice que existe por tanto una relación del tipo: $$\Phi(\Pi_1) = 0$$ es decir, $\Pi_1$ debe ser una constante: $$\Pi_1 =\frac{h}{gt^2} = c$$

A partir de eso, podemos establecer las siguientes relaciones: $$ \begin{align} h &= c g t^2 \\ g &= \frac{1}{c} \frac{h}{t^2} \\ t &= \sqrt{\frac{1}{c}\frac{h}{g}} \end{align}$$ Y todo eso ¡sin ningún conocimiento físico excepto las unidades!

Ejemplo 2: Explosión Nuclear

Consideremos la explosión de una bomba atómica.

¿Cuales son las variables físicas involucradas?

  • Energía de la Bomba: $E$
  • Radio de la explosión: $r$
  • Tiempo : $t$
  • Densidad del medio: $\rho$

Ejemplo 2: Explosión Nuclear

Dimensiones

  • Energía de la Bomba: $[E] = ML^2 /T^2$
  • Radio de la explosión: $[r] = L$
  • Tiempo : $[t] = T$
  • Densidad del medio: $[\rho] = M / L^3$

Conclusión: Necesitamos la densidad pues de otra forma no podemos adimensionalizar la energía.

Ejemplo 2: Explosión Nuclear

Teorema $\Pi$

  • Datos:

    • 4 variables: $E$, $r$ , $t$ y $\rho$
    • 3 dimensiones: $M$, $L$ y $T$
  • Se tiene $4-3=1$ variables adimensionales.

  • Elección de variables escalamiento:

    • $r$, $t$, $\rho$

Ejemplo 2: Caída libre

Adimensionalizando la energía $E$ tenemos: $$\Pi_1 = E r^x t^y \rho^z$$ Luego se tiene la siguiente relación entre las dimensiones $$\begin{align} [\Pi_1] &= [E r^x t^y \rho^z] = [E] [r]^x [t]^y [\rho]^y \\ &= \Big(M L^2/ T^2 \Big) \ L^x \ T^y \Big(M/ L^3 \Big)^z= M^0 L^0 T^0 \end{align}$$ Es decir, debemos resolver el sistema: $$\begin{align} 1 + z & = 0 \\ 2 + x -3z &= 0 \\ -2 + y &= 0 \end{align}$$

Se obtiene: $x = −5$, $y = 2$ y $z = −1$, con lo cual $$ \Pi_1 = E r^x t^y \rho^z = \frac{E t^2}{r^5 \rho}$$

Ejemplo 2: Explosión Nuclear

El teorema de Buckingham nos dice que existe por tanto una relación del tipo: $$\Phi(\Pi_1) = 0$$ es decir, $\Pi_1$ debe ser una constante: $$\Pi_1 =\frac{E t^2}{r^5 \rho} = c$$

A partir de eso, podemos establecer las siguientes relaciones: $$ \begin{align} E &= c_E \frac{r^5\rho}{t^2} \\ r &= c_r \sqrt[5]{\frac{E t^2}{\rho}} \end{align}$$ Y todo eso ¡sin ningún conocimiento físico excepto las unidades!

Ejemplo 2: Explosión Nuclear

La anécdota cuenta que en 1945 Estados Unidos hizo explotar una bomba (nombre clave Trinity) en el desierto de Nuevo México. Luego en 1947, se liberó una secuencia de fotos de la explosión. Utilizando las fotos y el análisis dimensional, el científico británico Goeffrey Taylor estimó la energía liberarada con sólo un 10% de error.

Ejemplo 3: Distancia de Detención

Consideremos la distancia de detención de un vehículo en una carretera.

¿Cuales son las variables físicas involucradas?

  • Distancia de detención: $d$
  • Velocidad del vehículo: $v$
  • Masa del vehículo: $m$
  • Tiempo de reacción: $t$
  • Fuerza de frenado: $f$
  • Coeficiente de fricción de los frenos: $\mu$

Ejemplo 3 - Distancia de Detención

Dimensiones

  • Distancia de detención: $[d] = L$
  • Velocidad del vehículo: $[v] = L/T$
  • Masa del vehículo: $[m] = M$
  • Tiempo de reacción: $[t] = T$
  • Fuerza de frenado: $[f] = M L/T^2$
  • Coeficiente de fricción de los frenos: $[\mu] = 1$

Conclusión: Coeficiente de fricción ya es un coeficiente adimensional.

Ejemplo 3: Distancia de Detención

Teorema $\Pi$

  • Datos:

    • 6 variables: $d$, $v$ , $t$, $f$, $m$ y $\mu$
    • 3 dimensiones: $M$, $L$ y $T$
  • Se tiene $6-3=3$ variables adimensionales.

  • Elección de variables escalamiento:

    • $m$, $t$, $v$

Ejemplo 4: Distancia de Detención

Teorema $\Pi$

Adimensionalizando $\mu$ tenemos: $$\Pi_1 = \mu $$

Ejemplo 3: Distancia de Detención

Adimensionalizando la distancia de detención $d$ tenemos: $$\Pi_2 = d m^x t^y v^z$$ Luego se tiene la siguiente relación entre las dimensiones $$\begin{align} [\Pi_2] &= [d m^x t^y v^z] = [d] [m]^x [t]^y [v]^y \\ &= L M^x \ T^y \Big(L/T\Big)^z= M^0 L^0 T^0 \end{align}$$ Es decir, debemos resolver el sistema: $$\begin{align} x & = 0 \\ 1 + z &= 0 \\ y -z &= 0 \end{align}$$

Se obtiene: $x = 0$, $y = z$ y $z = −1$, con lo cual $$ \Pi_2 = d m^x t^y v^z = \frac{d}{v t}$$

Ejemplo 3: Distancia de Detención

Adimensionalizando la fuerza de frenado $f$ tenemos: $$\Pi_3 = f m^x t^y v^z$$ Luego se tiene la siguiente relación entre las dimensiones $$[\Pi_3] = [f m^x t^y v^z] = [f] [m]^x [t]^y [v]^y = M L/T^2 M^x \ T^y \Big(L/T\Big)^z= M^0 L^0 T^0$$ Es decir, debemos resolver el sistema: $$\begin{align} 1+x & = 0 \\ 1 + z &= 0 \\ y -z -2 &= 0 \end{align}$$

Se obtiene: $x = -1$, $y = 1$ y $z = −1$, con lo cual $$ \Pi_3 = f m^x t^y v^z = \frac{f t}{mv}$$

Ejemplo 3: Distancia de Detención

Teorema $\Pi$

El teorema de Buckingham nos dice que existe por tanto una relación del tipo: $$\Phi(\Pi_1,\Pi_2,\Pi_3) = 0$$ es decir, podemos encontrar una relación para $\Pi_2$ del tipo : $$\Pi_2 =\phi(\Pi_1, \Pi_3)$$ Es decir $$\frac{d}{vt} =\phi(\mu, \frac{ft}{mv})$$ por lo tanto $$ d= vt \ \phi(\mu, \frac{ft}{mv})$$

Ejemplo 3: Distancia de Detención

Teorema $\Pi$

¿Cómo debería ser $\phi$? $$ \begin{align} \phi(x,y) &= c_1 x + c_2 y \\ \phi(x,y) &= c x y \\ \phi(x,y) &= c_1 x + c_2 \frac{1}{y} \\ \phi(x,y) &= c \frac{x}{y} \\ \phi(x,y) &= c \frac{x^n}{y^m} \\ \end{align}$$

Análisis dimensional no nos dice nada más. ¡¡Necesitamos datos!!

Ejemplo 5: Aplicación a modelamiento de datos

Considere el clásico Cherry Tree Dataset, descargable desde http://www.statsci.org/data/general/cherry.html.

Fuentes

  • Atkinson, A. C. (1982) Regression diagnostics, transformations and constructed variables (with discussion). Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 44, 1-36.

  • Ryan, T. A. Jr., Joiner, B. L. and Ryan, B. F. (1985) The Minitab Student Handbook, Boston: Duxbury Press, 328-329.

  • Hand D. J., Daly F., Lunn A. D., McConway K. J., Ostrowski E. (1994) A Handbook of Small Data Sets. Chapman and Hall, London. Data set 210.

Ejemplo 5 : Cherry Tree Dataset

Descripción

Los datos son:

  • volumen en pies cúbicos
  • Altura en pies
  • Diámetros en pulgadas.

Los datos corresponden a una muestra de 31 arboles de black cherry, en Allegheny National Forest, Pennsylvania. Los datos fueron recolectados para estimar el volumen de un árbol en función de su altura y diámetro.

Ejemplo 5 : Cherry Tree Dataset

Exploración de datos

Miremos los datos utilizando el terminal de comandos (bash): head, tail, cat y wc.


In [7]:
%%bash
head data/cherry.txt


Diam	Height	Volume
8.3	70	10.3
8.6	65	10.3
8.8	63	10.2
10.5	72	16.4
10.7	81	18.8
10.8	83	19.7
11.0	66	15.6
11.0	75	18.2
11.1	80	22.6

Ejemplo 5 : Cherry Tree Dataset

Exploracion de datos

Miremos los datos graficando con matplotlib:


In [12]:
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
data = np.loadtxt("data/cherry.txt", skiprows=1)
D, H, V = data.T
fig = plt.figure(figsize=(16,8))
plt.plot(D,H,'o')
plt.ylim(ymin=0)
plt.show()



In [13]:
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
data = np.loadtxt("data/cherry.txt", skiprows=1)
D, H, V = data.T
fig = plt.figure(figsize=(16,8))
plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(D,V,'r>')
plt.xlabel("Diametro")
plt.ylabel("Volumen")
plt.ylim(ymin=0)
plt.subplot(3,1,2)
plt.plot(H,V,'bo')
plt.xlabel("Altura")
plt.ylabel("Volumen")
plt.ylim(ymin=0)
plt.subplot(3,1,3)
plt.plot(D,H,'bs')
plt.xlabel("Diametro")
plt.ylabel("Altura")
plt.ylim(ymin=0)
fig.tight_layout()
plt.show()



In [14]:
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np

data = np.loadtxt("data/cherry.txt", skiprows=1)
D, H, V = data.T
fig = plt.figure(figsize=(16,8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(D, H, V, s=60)
plt.xlabel("Diametro [pulgadas]")
plt.ylabel("Altura [pies]")
plt.title("Volumen [pies cubicos]")
plt.show()


Ejemplo 5 : Cherry Tree Dataset

Cherry Tree Dataset

¿Qué tipo de modelamiento es posible realizar con los datos?

$$¿v = c_0 + c_1 h^1 + c_2 h^2 + c_3 h^3 + c_4 d + c_5 d^2 + c_6 d^3 ?$$$$¿v = c_0 h d^2 ?$$$$¿v = c_0 h^2 d?$$$$¿v = c_0 h^3 d^3 ?$$$$¿v = c_0 + c_1 h^3 + c_2 d^3 ?$$$$¿v = c_0 d_3 h^0 + c_1 d^{5/2} h^{1/2} + ... + c_2 d^{1/2} h^{5/2} + c_3 d^0 h^3 ?$$

Ejemplo 5 : Cherry Tree Dataset

Utilizando el teorema $\Pi$:

  • Volumen $v$, diámetro $d$ y altura $h$ tienen dimensiones de largo.
  • Se tienen 3 variables y 1 dimensión, por lo que se tendrán $3 − 1 = 2$ variables adimensionales.
  • Utilizaremos $h$ como la variable base de escalamiento.
  • Para que $\Pi_1$ = $v h^x$ sea adimensional, $x = −3$.
    • Por tanto $\Pi_1 = \frac{v}{h^3}$
  • Para que $\Pi_2 = dh^x$ sea adimensional, $x = −1$.
    • Por tanto $\Pi_2 = \frac{d}{h}$

El teorema de Buckingham permite por tanto establecer la siguiente relación: $$ \Pi_1 = f(\Pi_2)$$ es decir $$ \frac{v}{h^3} = f\Big( \frac{d}{h}\Big)$$

Ejemplo 5 : Cherry Tree Dataset

El teorema de Buckingham establece: $$ \Pi_1 = f(\Pi_2)$$ PERO NADA MÁS.

  • Podemos suponer que la relación es lineal, $f(x) = m x + b$, y buscar los coeficientes $m$ y $b$ utilizando los datos.
  • Podemos suponer que la relación es no lineal y de tipo potencia, $f(x) = k x^n$, y buscar los coeficientes $k$ y $n$ utilizando los datos.

Ejemplo 5 : Cherry Tree Dataset

Exploración visual reducida

Antes de proseguir, podemos graficar la relación. Como ahora estamos en 2D, resulta más fácil.


In [15]:
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
data = np.loadtxt("data/cherry.txt", skiprows=1)
D, H, V = data.T
Pi_1 = V/H**3
Pi_2 = D/H
fig = plt.figure(figsize=(16,8))
plt.plot(Pi_2,Pi_1,'ob', alpha=0.5, ms=12)
plt.ylim(ymin=0)
plt.xlabel('$\Pi_2$', fontsize=20)
plt.ylabel('$\Pi_1$', fontsize=20)
plt.show()


Ejemplo 5 : Aplicación a modelamiento de datos

Cherry Tree Dataset - Relación Lineal

Aplicamos regresión lineal a los datos.


In [18]:
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
data = np.loadtxt("data/cherry.txt", skiprows=1)
D, H, V = data.T
Pi_1 = V/H**3
Pi_2 = D/H
# Regresion lineal
m, b = np.polyfit(Pi_2, Pi_1, 1)
# Plotting
fig = plt.figure(figsize=(16,8))
plt.plot(Pi_2,Pi_1,'ob', alpha=0.5, ms=12)
x = np.sort(Pi_2)
label = "y = {0:.6f} + {1:.4} x".format(b,m)
plt.plot(x,m*x+b,'r', lw=2, label=label)
plt.xlabel('$\Pi_2$', fontsize=20)
plt.ylabel('$\Pi_1$', fontsize=20)
plt.ylim(ymin=0)
plt.legend()
plt.show()


Ejemplo 5 : Cherry Tree Dataset

Cherry Tree Dataset - Relación no Lineal

Para obtener los coeficientes de la relación no lineal de tipo "potencia", utilizamos el clásico truco de laboratorio de física: tomar logaritmos y luego obtener los coeficientes de una relación lineal. Tomando logaritmo a: $$ \Pi_1 = k (\Pi_2)^n$$ Obtenemos $$ \log \Pi_1 = \log k + n \log \Pi_2$$

Es decir, podemos realizar una regresión lineal a $\log \Pi_1$ y $\log \Pi_2$, de modo de encontrar $\log \Pi_1 = b + m \log \Pi_2$ y luego calcular $n=m$ y $k=e^b$.


In [22]:
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
data = np.loadtxt("data/cherry.txt", skiprows=1)
D, H, V = data.T
Pi_1 = V/H**3
Pi_2 = D/H
# Regresion de potencia
x = np.log(Pi_2)
cm, cb = np.polyfit(np.log(Pi_2), np.log(Pi_1), 1)
n, k = cm, np.exp(cb)
# Plotting
fig = plt.figure(figsize=(16,8))
plt.plot(Pi_2,Pi_1,'ob', alpha=0.5, ms=12)
x = np.sort(Pi_2)
label = "y = {0:.6f} x^{1:.4}".format(k,n)
plt.plot(x,k*x**n,'r', lw=2, label=label)
#plt.plot(x,b + m*x,'g', lw=2, label=label)
plt.xlabel('$\Pi_2$', fontsize=20)
plt.ylabel('$\Pi_1$', fontsize=20)
plt.ylim(ymin=0)
plt.legend()
plt.show()


Ejemplo 5 : Cherry Tree Dataset

Análisis del error

¿Que relación modela mejor los datos?

Sólo podemos saberlo analizando el error de nuestro modelo.

  • Modelo lineal: $$ v_{lineal} = \Big(b + m \ \frac{d}{h} \Big) h^3$$
  • Modelo no lineal: $$ v_{potencia} = k \ \Big(\frac{d}{h}\Big)^n \ h^3$$

Ejemplo 5 : Cherry Tree Dataset

Análisis del error


In [23]:
# Error modelo lineal
V_pred_lineal = (b + m*Pi_2) * H**3
error_pred_lineal = V - V_pred_lineal
print "Predicción Lineal de Volumen"
print "\tError promedio:", np.abs(error_pred_lineal).mean()
print "\tError cuadrático medio:", (error_pred_lineal**2).sum()**(0.5)/len(error_pred_lineal)
print "\tError máximo:", np.abs(error_pred_lineal).max()


Predicción Lineal de Volumen
	Error promedio: 2.03807360201
	Error cuadrático medio: 0.467568459874
	Error máximo: 5.3407996336

In [24]:
# Error modelo no lineal
V_pred_potencia = (k*Pi_2**n) * H**3
error_pred_potencia = V - V_pred_potencia
print "Predicción No Lineal de Volumen"
print "\tError promedio:", np.abs(error_pred_potencia).mean()
print "\tError cuadrático medio:", (error_pred_potencia**2).sum()**(0.5)/len(error_pred_potencia)
print "\tError máximo:", np.abs(error_pred_potencia).max()


Predicción No Lineal de Volumen
	Error promedio: 1.84565953758
	Error cuadrático medio: 0.437336519611
	Error máximo: 4.78745790459

Ejemplo 5: Cherry Tree Dataset

Cherry Tree Dataset - Conclusión

Nuestro análisis indica que $$\Pi_1 = k (\Pi_2 )^n$$ o equivalentemente $$ \frac{v}{h^3}= k \frac{d^n}{h^n} $$ con $k=0.002059$ y $n=1.991$.

Se tiene $v = k d^n h^{3-n} \approx k d^2 h$ lo cual a posteriori parece bastante obvio.

Resumen Teorema $\Pi$:

  • Más simple, imposible.
  • Sólo require buen juicio y un poco de trabajo algebraico.
  • Permite pasar de un problema de $n$ variables y $k$ dimensiones, a un problema de $n-k$ variables adimensionales.
  • Reduce de manera sencilla las dimensiones de un problema físico.