Энтропия Шеннона определяется для системы с $N$ возможными состояниями следующим образом:
$$\Large S = -\sum_{i=1}^{N}p_ilog_2p_i,$$где $p_i$ – вероятности нахождения системы в $i$-ом состоянии. Это очень важное понятие, используемое в физике, теории информации и других областях. Опуская предпосылки введения (комбинаторные и теоретико-информационные) этого понятия, отметим, что, интуитивно, энтропия соответствует степени хаоса в системе. Чем выше энтропия, тем менее упорядочена система и наоборот.
Здесь 9 синих шариков и 11 желтых. Если мы наудачу вытащили шарик, то он с вероятностью $p_1=\frac{9}{20}$ будет синим и с вероятностью $p_2=\frac{11}{20}$ – желтым. Значит, энтропия состояния $S_0 = -\frac{9}{20}log_2{\frac{9}{20}}-\frac{11}{20}log_2{\frac{11}{20}} \approx 1$. Само это значение пока ни о чем нам не говорит. Теперь посмотрим, как изменится энтропия, если разбить шарики на две группы – с координатой меньше либо равной 12 и больше 12.
В левой группе оказалось 13 шаров, из которых 8 синих и 5 желтых. Энтропия этой группы равна $S_1 = -\frac{5}{13}log_2{\frac{5}{13}}-\frac{8}{13}log_2{\frac{8}{13}} \approx 0.96$. В правой группе оказалось 7 шаров, из которых 1 синий и 6 желтых. Энтропия правой группы равна $S_2 = -\frac{1}{7}log_2{\frac{1}{7}}-\frac{6}{7}log_2{\frac{6}{7}} \approx 0.6$. Как видим, энтропия уменьшилась в обеих группах по сравнению с начальным состоянием, хоть в левой и не сильно. Поскольку энтропия – по сути степень хаоса (или неопределенности) в системе, уменьшение энтропии называют приростом информации. Формально прирост информации (information gain, IG) при разбиении выборки по признаку $Q$ (в нашем примере это признак "$x \leq 12$") определяется как
$$\Large IG(Q) = S_O - \sum_{i=1}^{q}\frac{|N_i|}{N}S_i,$$
где $q$ – число групп после разбиения, $N_i$ – число элементов выборки, у которых признак $Q$ имеет $i$-ое значение. В нашем случае после разделения получилось две группы ($q = 2$) – одна из 13 элементов ($N_1 = 13$), вторая – из 7 ($N_2 = 7$). Прирост информации получился
$$\Large IG("x \leq 12") = S_0 - \frac{13}{20}S_1 - \frac{7}{20}S_2 \approx 0.16.$$
Получается, разделив шарики на две группы по признаку "координата меньше либо равна 12", мы уже получили более упорядоченную систему, чем в начале. Продолжим деление шариков на группы до тех пор, пока в каждой группе шарики не будут одного цвета.
Для правой группы потребовалось всего одно дополнительное разбиение по признаку "координата меньше либо равна 18", для левой – еще три. Очевидно, энтропия группы с шариками одного цвета равна 0 ($log_2{1} = 0$), что соответствует представлению, что группа шариков одного цвета – упорядоченная.
В итоге мы построили дерево решений, предсказывающее цвет шарика по его координате. Отметим, что такое дерево решений может плохо работать для новых объектов (определения цвета новых шариков), поскольку оно идеально подстроилось под обучающую выборку (изначальные 20 шариков). Для классификации новых шариков лучше подойдет дерево с меньшим числом "вопросов", или разделений, пусть даже оно и не идеально разбивает по цветам обучающую выборку. Эту проблему, переобучение, мы еще рассмотрим далее.
В основе популярных алгоритмов построения дерева решений, таких как ID3 и C4.5, лежит принцип жадной максимизации прироста информации – на каждом шаге выбирается тот признак, при разделении по которому прирост информации оказывается наибольшим. Дальше процедура повторяется рекурсивно, пока энтропия не окажется равной нулю или какой-то малой величине (если дерево не подгоняется идеально под обучающую выборку во избежание переобучения). В разных алгоритмах применяются разные эвристики для "ранней остановки" или "отсечения", чтобы избежать построения переобученного дерева.
def build(L):
create node t
if the stopping criterion is True:
assign a predictive model to t
else:
Find the best binary split L = L_left + L_right
t.left = build(L_left)
t.right = build(L_right)
return t
Мы разобрались, в том, как понятие энтропии позволяет формализовать представление о качестве разбиения в дереве. Но это всего-лишь эвристика, существуют и другие:
На практике ошибка классификации почти не используется, а неопределенность Джини и прирост информации работают почти одинаково.
В случае задачи бинарной классификации ($p_+$ – вероятность объекта иметь метку +) энтропия и неопределенность Джини примут следующий вид:
$$ S = -p_+ \log_2{p_+} -p_- \log_2{p_-} = -p_+ \log_2{p_+} -(1 - p_{+}) \log_2{(1 - p_{+})};$$
$$ G = 1 - p_+^2 - p_-^2 = 1 - p_+^2 - (1 - p_+)^2 = 2p_+(1-p_+).$$
Когда мы построим графики этух двух функций от аргумента $p_+$, то увидим, что график энтропии очень близок к графику удвоенной неопределенности Джини, и поэтому на практике эти два критерия "работают" почти одинаково.
In [1]:
from __future__ import division, print_function
# отключим всякие предупреждения Anaconda
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')
import numpy as np
import pandas as pd
%matplotlib inline
import seaborn as sns
from matplotlib import pyplot as plt
In [2]:
plt.rcParams['figure.figsize'] = (6,4)
xx = np.linspace(0,1,50)
plt.plot(xx, [2 * x * (1-x) for x in xx], label='gini')
plt.plot(xx, [4 * x * (1-x) for x in xx], label='2*gini')
plt.plot(xx, [-x * np.log2(x) - (1-x) * np.log2(1 - x) for x in xx], label='entropy')
plt.plot(xx, [1 - max(x, 1-x) for x in xx], label='missclass')
plt.plot(xx, [2 - 2 * max(x, 1-x) for x in xx], label='2*missclass')
plt.xlabel('p+')
plt.ylabel('criterion')
plt.title('Критерии качества как функции от p+ (бинарная классификация)')
plt.legend();
In [3]:
# первый класс
np.random.seed(7)
train_data = np.random.normal(size=(100, 2))
train_labels = np.zeros(100)
# добавляем второй класс
train_data = np.r_[train_data, np.random.normal(size=(100, 2), loc=2)]
train_labels = np.r_[train_labels, np.ones(100)]
Напишем вспомогательную функцию, которая будет возвращать решетку для дальнейшей красивой визуализации.
In [4]:
def get_grid(data, eps=0.01):
x_min, x_max = data[:, 0].min() - 1, data[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = data[:, 1].min() - 1, data[:, 1].max() + 1
return np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, eps),
np.arange(y_min, y_max, eps))
Отобразим данные. Неформально, задача классификации в этом случае – построить какую-то "хорошую" границу, разделяющую 2 класса (красные точки от желтых). Интуиция подсказывает, что хорошо на новых данных будет работать какая-то гладкая граница, разделяющая 2 класса, или хотя бы просто прямая (в $n$-мерном случае - гиперплоскость).
In [5]:
plt.rcParams['figure.figsize'] = (10,8)
plt.scatter(train_data[:, 0], train_data[:, 1], c=train_labels, s=100,
cmap='autumn', edgecolors='black', linewidth=1.5)
plt.plot(range(-2,5), range(4,-3,-1));
Попробуем разделить эти два класса, обучив дерево решений. В дереве будем использовать параметр max_depth, ограничивающий глубину дерева. Визуализируем полученную границу разделения класссов.
In [7]:
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
# параметр min_samples_leaf указывает, при каком минимальном количестве
# элементов в узле он будет дальше разделяться
rs = 17
clf_tree = DecisionTreeClassifier(criterion='entropy', max_depth=3, random_state=rs)
# обучаем дерево
clf_tree.fit(train_data, train_labels)
# немного кода для отображения разделяющей поверхности
xx, yy = get_grid(train_data)
predicted = clf_tree.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()]).reshape(xx.shape)
plt.pcolormesh(xx, yy, predicted, cmap='autumn')
plt.scatter(train_data[:, 0], train_data[:, 1], c=train_labels, s=100,
cmap='autumn', edgecolors='black', linewidth=1.5);
А как выглядит само построенное дерево? Видим, что дерево "нарезает" пространство на 7 прямоугольников (в дереве 7 листьев). В каждом таком прямоугольнике прогноз дерева будет константным, по превалированию объектов того или иного класса.
In [8]:
# используем .dot формат для визуализации дерева
from sklearn.tree import export_graphviz
export_graphviz(clf_tree, feature_names=['x1', 'x2'],
out_file='small_tree.dot', filled=True)
!dot -Tpng small_tree.dot -o small_tree.png
!rm small_tree.dot
Как "читается" такое дерево?
В начале было 200 объектов, 100 – одного класса и 100 – другого. Энтропия начального состояния была максимальной – 1. Затем было сделано разбиение объектов на 2 группы в зависимости от сравнения признака $x_1$ со значением $1.1034$ (найдите этот участок границы на рисунке выше, до дерева). При этом энтропия и в левой, и в правой группе объектов уменьшилась. И так далее, дерево строится до глубины 3. При такой визуализации чем больше объектов одного класса, тем цвет вершины ближе к темно-оранжевому и, наоборот, чем больше объектов второго класса, тем ближе цвет к темно-синему. В начале объектов одного лкасса поровну, поэтому корневая вершина дерева – белого цвета.
Допустим, в выборке имеется количественный признак "Возраст", имеющий много уникальных значений. Дерево решений будет искать лучшее (по критерию типа прироста информации) разбиение выборки, проверяя бинарные признаки типа "Возраст < 17", "Возраст < 22.87" и т.д. Для решения этой проблемы применяют эвристики для ограничения числа порогов, с которыми мы сравниваем количественный признак.
Рассмотрим это на игрушечном примере. Пусть в нашем датасете на kaggle появился новый признак:
In [9]:
data = pd.DataFrame({'Возраст пилота': [19,64,18,20,38,49,55,25,29,31,33],
'Задержка рейса': [1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1]})
In [10]:
data
Out[10]:
Отсортируем ее по возрастанию возраста.
In [11]:
data.sort_values('Возраст пилота')
Out[11]:
Обучим на этих данных дерево решений (без ограничения глубины) и посмотрим на него.
In [12]:
age_tree = DecisionTreeClassifier(random_state=17)
age_tree.fit(data['Возраст пилота'].values.reshape(-1, 1), data['Задержка рейса'].values)
Out[12]:
Видим, что дерево задействовало 5 значений, с которыми сравнивается возраст: 43.5, 19, 22.5, 30 и 32 года. Если приглядеться, то это аккурат средние значения между возрастами, при которых целевой класс "меняется" с 1 на 0 или наоборот.
То есть в качестве порогов для "нарезания" количественного признака, дерево "смотрит" на те значения, при которых целевой класс меняет свое значение.
Подумайте, почему не имеет смысла в данном случае рассматривать признак "Возраст пилота < 18".
In [13]:
export_graphviz(age_tree, feature_names=['Возраст пилота'],
out_file='age_tree.dot', filled=True)
!dot -Tpng age_tree.dot -o age_tree.png
Рассмотрим пример посложнее: добавим признак "Зарплата пилота" (тыс. рублей/месяц).
In [14]:
data2 = pd.DataFrame({'Возраст пилота': [19,64,18,20,38,49,55,25,29,31,33],
'Зарплата пилота': [25,80,22,36,37,59,74,70,33,102,88],
'Задержка рейса': [1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1]})
In [15]:
data2
Out[15]:
Если отсортировать по возрасту, то целевой класс ("Задержка рейса") меняется (с 1 на 0 или наоборот) 5 раз. А если отсортировать по зарплате – то 7 раз. Как теперь дерево будет выбирать признаки? Посмотрим.
In [16]:
data2.sort_values('Возраст пилота')
Out[16]:
In [17]:
data2.sort_values('Зарплата пилота')
Out[17]:
In [18]:
age_sal_tree = DecisionTreeClassifier(random_state=17)
age_sal_tree.fit(data2[['Возраст пилота', 'Зарплата пилота']].values, data2['Задержка рейса'].values);
In [19]:
export_graphviz(age_sal_tree, feature_names=['Возраст пилота', 'Зарплата пилота'],
out_file='age_sal_tree.dot', filled=True)
!dot -Tpng age_sal_tree.dot -o age_sal_tree.png
Видим, что в дереве задействованы как разбиения по возрасту, так и по зарплате. Причем пороги, с которыми сравниваются признаки:
43.5 и 22.5 года – для возраста
и 95 и 30.5 тыс. руб/мес – для зарплаты.
И опять можно заметить, что 95 тыс. – это среднее между 88 и 102, при этом человек с зарплатой 88 оказался "плохим", а с 102 – "хорошим". То же самое для 30.5 тыс. То есть перебирались сравнения зарплаты и возраста не со всеми возможными значениями, а только с несколькими. А почему в дереве оказались именно эти признаки? Потому что по ним разбиения оказались лучше (по критерию неопределенности Джини).
Вывод: самая простая эвристика для обработки количественных признаков в дереве решений: количественный признак сортируется по возрастанию, и в дереве проверяются только те пороги, при которых целевой признак меняет значение.
Дополнительно, когда в данных много количественных признаков, и у каждого много уникальных значений, могут отбираться не все пороги, описанные выше, а только топ-N, дающих максимальный прирост все того же критерия. То есть, по сути, для каждого порога строится дерево глубины 1, считается насколько снизилась энтропия (или неопределенность Джини) и выбираются только лучшие пороги, с которыми стоит сравнивать количественный признак.
Основные параметры класса sklearn.tree.DecisionTreeClassifier:
max_depth – максимальная глубина дереваmax_features - максимальное число признаков, по которым ищется лучшее разбиение в дереве (это нужно потому, что при большом количестве признаков будет "дорого" искать лучшее (по критерию типа прироста информации) разбиение среди всех признаков)min_samples_leaf – минимальное число объектов в листе. У этого параметра есть понятная интерпретация: скажем, если он равен 5, то дерево будет порождать только те классифицирующие правила, которые верны как мимимум для 5 объектовПараметры дерева надо настраивать в зависимости от входных данных, делается это обычно с помощью кросс-валидации.
Попробуем сделать это на нашем любимом датасете.
In [20]:
from sklearn.utils import shuffle
from sklearn.model_selection import train_test_split
df_k = pd.read_csv('/Users/Nonna/Desktop/BananaML/BananaML/kaggle_flight/train_dataset.csv')
df_k = shuffle(df_k)
df_k = df_k.head(250)
train_df = df_k[['Month', 'DayofMonth', 'DayOfWeek',
'UniqueCarrier', 'target']]
train_df = train_df.fillna(train_df.mean())
train_df = pd.get_dummies(train_df, columns = ['Month', 'DayofMonth', 'DayOfWeek',
'UniqueCarrier'])
In [21]:
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(train_df.drop('target', axis = 1), train_df.target, test_size=0.3, random_state=42)
print(x_train.shape, x_test.shape)
Теперь настроим параметры дерева на кросс-валидации. Настраивать будем максимальную глубину и максимальное используемое на каждом разбиении число признаков. Суть того, как работает GridSearchCV: для каждой уникальной пары значений параметров max_depth и max_features будет проведена 5-кратная кросс-валидация и выберется лучшее сочетание параметров.
In [22]:
from sklearn.model_selection import GridSearchCV, cross_val_score
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.metrics import roc_auc_score
tree = DecisionTreeClassifier(max_depth=5, random_state=17)
In [23]:
tree_params = {'max_depth': range(1,11),
'max_features': range(4,19)}
In [24]:
tree_grid = GridSearchCV(tree, tree_params,
cv=5, n_jobs=-1,
verbose=True, scoring='roc_auc')
In [25]:
tree_grid.fit(x_train, y_train)
Out[25]:
Лучшее сочетание параметров и соответствующая средняя доля правильных ответов на кросс-валидации:
In [26]:
tree_grid.best_params_
Out[26]:
In [27]:
tree_grid.best_score_
Out[27]:
In [28]:
roc_auc_score(y_test, tree_grid.predict(x_test))
Out[28]:
In [29]:
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
forest = RandomForestClassifier(n_estimators=100, n_jobs=-1, random_state=17)
print(np.mean(cross_val_score(forest, x_train, y_train, cv=5)))
In [30]:
forest_params = {'max_depth': range(1,11),
'max_features': range(4,19)}
In [31]:
forest_grid = GridSearchCV(forest, forest_params,
cv=5, n_jobs=-1,
verbose=True, scoring='roc_auc')
In [32]:
forest_grid.fit(x_train, y_train)
Out[32]:
In [33]:
forest_grid.best_params_, forest_grid.best_score_
Out[33]:
In [34]:
roc_auc_score(y_test, forest_grid.predict(x_test))
Out[34]:
Нарисуем получившееся дерево:
In [35]:
from sklearn.tree import export_graphviz
export_graphviz(tree_grid.best_estimator_, feature_names=train_df.columns[:-1],
out_file='flight_tree.dot', filled=True)
!dot -Tpng flight_tree.dot -o flight_tree.png
Теперь посмотрим на описанные 2 алгоритма в реальной задаче. Используемый "встроенные" в sklearn данные по рукописным цифрам. Эта задача будет примером, когда метод ближайших соседей работает на удивление хорошо.
In [36]:
from sklearn.datasets import load_digits
Загружаем данные.
In [37]:
data = load_digits()
X, y = data.data, data.target
Картинки здесь представляются матрицей 8 x 8 (интенсивности белого цвета для каждого пикселя). Далее эта матрица "разворачивается" в вектор длины 64, получается признаковое описание объекта.
In [38]:
X[0,:].reshape([8,8])
Out[38]:
Нарисуем несколько рукописных цифр, видим, что они угадываются.
In [39]:
f, axes = plt.subplots(1, 4, sharey=True, figsize=(16,6))
for i in range(4):
axes[i].imshow(X[i,:].reshape([8,8]));
Посмотрим на соотношение классов в выборке, видим, что примерно поровну нулей, единиц, ..., девяток.
In [40]:
np.bincount(y)
Out[40]:
Выделим 70% выборки (X_train, y_train) под обучение и 30% будут отложенной выборкой (X_holdout, y_holdout). отложенная выборка никак не будет участвовать в настройке параметров моделей, на ней мы в конце, после этой настройки, оценим качество полученной модели.
In [41]:
X_train, X_holdout, y_train, y_holdout = train_test_split(X, y, test_size=0.3,
random_state=17)
Обучим дерево решений, опять параметры пока наугад берем.
In [42]:
tree = DecisionTreeClassifier(max_depth=5, random_state=17)
In [43]:
%%time
tree.fit(X_train, y_train)
Out[43]:
Сделаем прогнозы для отложенной выборки. Видим, что метод ближайших соседей справился намного лучше. Но это мы пока выбирали параметры наугад.
In [44]:
from sklearn.metrics import accuracy_score
tree_pred = tree.predict(X_holdout)
accuracy_score(y_holdout, tree_pred)
Out[44]:
Теперь так же, как раньше настроим параметры моделей на кросс-валидации
In [45]:
tree_params = {'max_depth': [1, 2, 3, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50, 64],
'max_features': [1, 2, 3, 5, 10, 20 ,30, 50, 64]}
In [46]:
tree_grid = GridSearchCV(tree, tree_params,
cv=5, n_jobs=-1,
verbose=True, scoring='accuracy')
In [47]:
tree_grid.fit(X_train, y_train)
Out[47]:
Лучшее сочетание параметров и соответствующая средняя доля правильных ответов на кросс-валидации:
In [48]:
tree_grid.best_params_, tree_grid.best_score_
Out[48]:
In [49]:
accuracy_score(y_holdout, tree_grid.predict(X_holdout))
Out[49]:
Это уже не 66%, но и не 97%.
Обучим на этих же данных случайный лес, он на большинстве выборок работает лучше, чем просто деревья. Но сейчас у нас исключение.
In [50]:
np.mean(cross_val_score(RandomForestClassifier(random_state=17), X_train, y_train, cv=5))
Out[50]:
In [51]:
rf = RandomForestClassifier(random_state=17, n_jobs=-1).fit(X_train, y_train)
accuracy_score(y_holdout, rf.predict(X_holdout))
Out[51]:
Результаты эксперимента:
| CV | Holdout | |
|---|---|---|
| DT | 0.844 | 0.838 |
| RF | 0.935 | 0.941 |
Обозначения: CV и Holdout– средние доли правильных ответов модели на кросс-валидации и отложенной выборке соот-но. DT – дерево решений, RF – случайный лес
Плюсы:
Минусы:
sklearn реализована улучшенная версия именно этого алгоритма);В продолжение обсуждения плюсов и минусов приведем очень простой пример задачи классификации, с которым дерево справляется, но делает все как-то "сложнее", чем хотелось бы. Создадим множество точек на плоскости (2 признака), каждая точка будет относиться к одному из классов (+1, красные, или -1 – желтые). Если смотреть на это как на задачу классификации, то вроде все очень просто – классы разделяются прямой.
In [52]:
def form_linearly_separable_data(n=500, x1_min=0, x1_max=30, x2_min=0, x2_max=30):
data, target = [], []
for i in range(n):
x1, x2 = np.random.randint(x1_min, x1_max), np.random.randint(x2_min, x2_max)
if np.abs(x1 - x2) > 0.5:
data.append([x1, x2])
target.append(np.sign(x1 - x2))
return np.array(data), np.array(target)
In [53]:
X, y = form_linearly_separable_data()
In [54]:
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap='autumn', edgecolors='black');
Однако дерево решений строит уж больно сложную границу и само по себе оказывается глубоким. Кроме того, представьте, как плохо дерево будет обобщаться на пространство вне представленного квадрата $30 \times 30$, обрамляющего обучающую выборку.
In [55]:
tree = DecisionTreeClassifier(random_state=17).fit(X, y)
xx, yy = get_grid(X, eps=.05)
predicted = tree.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()]).reshape(xx.shape)
plt.pcolormesh(xx, yy, predicted, cmap='autumn')
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, s=100,
cmap='autumn', edgecolors='black', linewidth=1.5)
plt.title('Easy task. Decision tree compexifies everything');
Вот такая сложная конструкция, хотя решение (хорошая разделяющая поверхность) – это всего лишь прямая $x_1 = x_2$.
In [58]:
export_graphviz(tree, feature_names=['x1', 'x2'],
out_file='deep_toy_tree.dot', filled=True)
!dot -Tpng deep_toy_tree.dot -o deep_toy_tree.png
In [59]:
! jupyter nbconvert Desicion_trees_practise.ipynb --to html
In [ ]: