Subito dopo aver introdotto le matrici e viste le operazioni fondamentali di somma, prodotto e determinante una domanda sorge spontanea. A cosa servono? In verità è una questione ricorrente per tanti argomenti della matematica, ma le matrici sembrano davvero un ''oggetto'' complicato inutilmente. Perché non potevo chiamarle direttamente "tabelle di numeri"? Tutto sommato anche con le tabelle in alcuni casi può essere fatta la somma tra elementi nella stessa posizione della tabella. E la statistica ci ha insegnato come trattare le tabelle di numeri calcolando somme e medie, mediane e deviazioni standard. E ancora, il prodotto tra due matrici era proprio necessario definirlo in quel modo così "artificioso"? Non bastava moltiplicare i singoli componenti come si fa per l'addizione? Tra l'altro in questo modo avremmo ottenuto un'operazione commutativa che è un terreno che conosciamo molto meglio. Per non parlare del determinante, che per calcolarlo abbiamo dovuto scomodare funzioni ricorsive senza però avere nulla di vantaggioso per la matematica che abbiamo studiato.
Una prima risposta viene dalla soluzione dei sistemi lineari. Se consideriamo il sistema
$$\begin{matrix} a_{1,1}x + a_{1,2}y + a_{1,3}z = b_1\\ a_{2,1}x + a_{2,2}y + a_{2,3}z = b_2\\ a_{3,1}x + a_{3,2}y + a_{3,3}z = b_3\\ \end{matrix} $$possiamo scriverlo in forma più compatta utilizzando il prodotto tra matrici così
$$\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ b_3 \\ \end{pmatrix} $$In effetti un sistema è determinato dal valore dei coefficienti $a_{i,j}$ e $b_{k}$. Con la scrittura in forma matriciale posso lavorare solo sui coefficienti senza dovermi portare dietro le $x$,$y$ e $z$. Il metodo di riduzione (talvolta chiamato di addizione e sottrazione) opportunamente generalizzato alle matrici permette di risolvere sistemi lineari di qualsiasi dimensione. Tale metodo viene chiamato Eliminazione di Gauss.
Ritengo tuttavia che la soluzione di sistemi lineari, per quanto sia un ottima applicazione delle matrici, non permetta di cogliere la potenza di questo nuovo strumento. Nel seguito vederemo tre applicazioni delle matrici a diversi settori.
Una trasformazione del piano è una funzione che ad un punto del piano, che indicheremo con le due componenti cartesiane $(x,y)$, associa un altro punto del piano $(x',y')$. Ad esempio la trasformazione $$\begin{matrix} x' = x\\ y' = -y\\ \end{matrix} $$ è la simmetria rispetto all'asse delle x. Usando la notazione matriciale, analogamente a quanto abbiamo visto per i sistemi, possiamo scrivere questa trasformazione così: $$ \begin{pmatrix} x'\\ y' \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} $$ Con questo file di Geogebra si possono vedere le matrici che generano le simmetrie assiali e centrale (rispetto all'origine), le omotetie e le rotazioni.
In [6]:
import sys; sys.path.append('pyggb')
%reload_ext geogebra_magic
%ggb --width 800 --height 400 --showToolBar 0 --showResetIcon 1 trasformazioni.ggb
Out[6]:
Se ad esempio volessi applicare prima una simmetria rispetto all'asse x e poi una rotazione, di solito si indicano le due trasformazioni in questo modo
$$\begin{matrix} x' = -x\\ y' = y\\ \end{matrix} $$$$\begin{matrix} x'' = x' \cos \alpha + y' \sin \alpha\\ y'' = -x' \sin \alpha + y' \cos \alpha\\ \end{matrix} $$Sostituendo gli $x'$ e $y'$ nel secondo sistema si ottiene la trasformazione composta. Un primo fatto notevole che possiamo osservare è che la composizione di trasformazioni non è sempre commutativa. Basta un semplice esempio per rendersene conto. In effetti le trasformazioni non sono altro che funzioni e come sappiamo la composizione di funzioni non è commutativa.
In [10]:
from IPython.display import Image
Image(filename='noncomm.png')
Out[10]:
Abbiamo già visto che la moltiplicazione tra matrici non è commutativa. Se facciamo qualche prova vediamo che rappresentando le trasformazioni con matrici la composizione di trasformazioni altro non è che il prodotto tra matrici. Proviamo a comporre due rotazioni di angoli $\alpha$ e $\beta$.
$$ \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \beta & \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta \\ -(\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta)& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \end{pmatrix} $$Che usando le formule di addizione del seno risulta essere proprio la rotazione di $\alpha + \beta$
Proviamo ora a capire il senso del determinante. Calcoliamo alcuni determinanti (intanto a mano in attesa che venga completato il programma in Python). Notiamo subito che per le simmetrie assiali vale $-1$, per le rotazioni sempre $1$ (dal teorema di Pitagora) e per le omotetie $k^2$ dove $k$ è il fattore di omotetia. Facciamo un po' di esperimenti con geogebra per capire come si comporta il determinante
In [8]:
%ggb --width 800 --height 400 --showToolBar 1 --showResetIcon 1 determinante.ggb
Out[8]:
Vediamo di riassumere un po' di osservazioni:
Il segno positivo del determinante indica che la trasformazione mantiene l'orientamento, negativo che l'orientamento viene cambiato.
Il valore assoluto del determinante indica di quanto sono variate le aree delle figure. Nel caso in cui il determinante sia $1$ o $-1$ abbiamo che le aree non sono variate e quindi parliamo di Isometrie.
Il determinante della composizione di due trasformazioni è uguale al prodotto dei due determinanti, in formule:
$\det(AB) = \det(A)\det(B)$