카테고리 분포(Categorical distribution)는 베르누이 분포의 확장판이다. 베르누이 분포는 0 이나 1(또는 -1 이나 1)이 나오는 확률 변수의 분포였다. 카케고리 분포는 1부터 K까지의 $K$개의 정수 값 중 하나가 나오는 확률 변수의 분포이다. 따라서 주사위를 던져 나오는 눈금의 수를 확률 변수라고 한다면 이 확률 변수의 분포는 $K=6$인 카테고리 분포이다.
카테고리 분포의 모수 $\theta$ 는 베르누이 분포와 달리 다음과 같은 제약 조건을 가지는 벡터값이 된다.
$$ \theta = ( \theta_1, \cdots , \theta_K ) $$$$ \sum_{i=1}^K \theta_k = 1 $$카테고리 분포는 원래 단일 변수 확률 분포이지만 일반적으로는 0 또는 1 값만 가지는 $K$개 베르누이 분포 벡터를 가지는 다변수 확률 분포로 가정하여 사용한다. 다만 이 경우 다변수 확률 변수의 각 원소 중 하나만 1이 될 수 있다는 제약 조건을 가진다.
이를 수식으로 나타내면 다음과 같다. 카테고리 분포는 $\text{Cat}(x;\theta)$로 표기한다.
$$ \text{Cat}(x;\theta) = \prod_{k=1}^K \theta_k^{x_k} $$이 식에서 $x = k $일때 $x_{j=k} = 1$ 이고 $x_{j\neq k} = 0 $ 이다.
카테고리 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같다.
기댓값 $$\text{E}[x_k] = \theta_k$$
분산 $$\text{Var}[x_k] = \theta_k(1-\theta_k)$$
SciPy는 카테고리 분포를 위한 별도의 클래스나 명령어를 제공하지 않는다. 다만 NumPy의 random 서브패키지의 multinomial 명령에서 n 인수를 1로 설정하고 pvals에 모수 벡터 $\theta$를 설정하면 1부터 len(pvals)까지의 카테고리 분포를 따르는 데이터 샘플을 생성할 수 있다.
In [1]:
np.random.seed(0)
theta = np.array([1/6]*6)
X = np.random.multinomial(1, theta, size=20)
X
Out[1]:
In [2]:
plt.bar(np.arange(1, 7), X.sum(axis=0), align="center")
plt.show()
In [3]:
df = pd.DataFrame({"theoretic": theta, "simulation": X.mean(axis=0)}).stack()
df = df.reset_index()
df.columns = ["value", "type", "ratio"]
df.head()
Out[3]:
In [4]:
sns.barplot(x="value", y="ratio", hue="type", data=df)
plt.show()
$\theta$를 다른 값으로 실행해보자
In [5]:
np.random.seed(0)
theta = np.array([0, 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4])
X = np.random.multinomial(1, theta, size=20)
X
Out[5]:
In [6]:
plt.bar(np.arange(1, 7), X.sum(axis=0), align="center")
plt.show()
In [35]:
df = pd.DataFrame({"theoretic": theta, "simulation": X.mean(axis=0)}).stack()
df = df.reset_index()
df.columns = ["value", "type", "ratio"]
df.head()
Out[35]:
In [36]:
sns.barplot(x="value", y="ratio", hue="type", data=df)
plt.show()