

In [1]:

    
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

from sympy import *
from sympy.matrices import *
init_printing()

Este sistema lineal



In [2]:

    
b = symbols('b')
b = Matrix([[1, -4], 
            [2, -3]])
b









    Out[2]:





$$\left[\begin{matrix}1 & -4\\2 & -3\end{matrix}\right]$$

Eigenvalores y Eigenvectores



In [3]:

    
b.eigenvects()









    Out[3]:





$$\left [ \left ( -1 - 2 i, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}\frac{4}{2 + 2 i}\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( -1 + 2 i, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}\frac{4}{2 - 2 i}\\1\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]$$

La matriz b por el vector [y1 y2] es igual a cualquier eigenvalor (e.g. $ -1 + 2i $) por [y1 y2].

$$ \left[\begin{array}{cc} 1 & -4\\ 2 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2} \end{array}\right]=-1+2i\left[\begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2} \end{array}\right] $$

De ahí se despeja este sistema de ecuaciones redundantes:

$$ (-1 + 2i)y_1 - (y_1 - 4y_2)=0 $$

$$ (-1 + 2i)y_2 - (2y_1 - 3y_2)=0 $$

Despejando $ y_2 $ en una y otra:



In [4]:

    
y1, y2 = symbols("y1 y2")
solve(((-1 + 2j) * y1) - (y1 - 4 * y2),
      y1)









    Out[4]:





$$\left [ y_{2} + i y_{2}\right ]$$



In [5]:

    
solve(((-1 + 2j) * y2) - (2 * y1 - 3 * y2),
      y2)









    Out[5]:





$$\left [ 0.5 y_{1} - 0.5 i y_{1}\right ]$$

Sistema de ecuaciones para graficar el campo de vectores



In [6]:

    
x, y = symbols("x y")
b * Matrix([x, y])









    Out[6]:





$$\left[\begin{matrix}x - 4 y\\2 x - 3 y\end{matrix}\right]$$



In [7]:

    
x, y = np.meshgrid(np.linspace(-40, 40, 14),
                   np.linspace(-40, 40, 14))

u = x - 4 * y
v = 2 * x - 3 * y

plt.quiver(x, y, u, v)
plt.show()