Esta notebook fue creada originalmente como un blog post por Raúl E. López Briega en Matemáticas, análisis de datos y python. El contenido esta bajo la licencia BSD.
Muchos fenómenos físicos en ciencia e ingeniería pueden ser descritos en términos de ecuaciones en derivadas parciales, y como describí en mi artículo dedicado a este tipo de ecuaciones, resolverlas a través del método analítico clásico puede ser algo bastante complicado y muchas veces imposible de realizar. El Método de los Elementos Finitos o MEF, para abreviar; es un enfoque numérico por el cual las ecuaciones en derivadas parciales pueden ser resueltas en forma aproximada. El MEF está pensado para ser usado en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema físico sobre geometrías complicadas. Este método se usa en el diseño y mejora de productos y aplicaciones industriales, así como en la simulación de sistemas físicos y biológicos complejos. La variedad de problemas a los que puede aplicarse ha crecido enormemente, utilizándose principalmente en áreas como mecánica estructural, mecánica de fluidos, problemas de tensión mecánica y problemas de transferencia de calor.
La idea general detrás del Método de los Elementos Finitos es la división de un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos. Las ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirán también el del elemento. De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (infinitos grados de libertad), que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema con un número de grados de libertad finito cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones, lineales o no.
Por ejemplo, en la imagen de la cabecera del artículo, podemos ver que en primer lugar tenemos una placa con un hueco en el centro, supongamos que queremos determinar su distribución de temperatura. Para realizar esto, deberíamos resolver la ecuación del calor para cada punto en la placa. El enfoque que utiliza el Método de los Elementos Finitos es el de dividir al objeto en elementos finitos conectados entre sí por nodos; como lo muestran la tercera y cuarta imagen de la cabecera del artículo. Este nuevo objeto, constituido por los elementos finitos (los triángulos de la segunda imagen) se llama malla y es una representación aproximada del objeto original. De esta forma, pasamos de un problema continuo (infinito puntos) a un problema discreto (número de nodos de los elementos finitos). Para aproximarnos lo más posible al objeto original, generalmente se necesitan un número elevado de nodos, por lo que las computadoras son esenciales para resolver el problema.
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