La matrice inversa di $A$ è la matrice $A^{-1}$ per la quale vale la seguente equazione $AA^{-1}=A^{-1}A=I$.
Non è detto che esista la matrice inversa.
N.B. Il prodotto di due matrici dipende dall'ordine delle due matrici. L'unico caso in cui il prodotto è commutativo è il prodotto con l'inversa.
Devo risolvere il seguente sistema di equazioni
$$
2a+c = 1 \\
2b+d = 0 \\
3a-c = 0 \\
3b-d = 1
$$
In realtà abbiamo 2 sistemi di equazioni separate.
Un sistema dipendente da a e c
$$
2a+c = 1 \\
3a-c = 0 \\
a = 1/5 \\
c = 3/5 \\
$$
e un sistema dipendente da b e d
$$
2b+d = 0 \\
3b-d = 1 \\
b = 1/5 \\
d = -2/5 \\
$$
Quindi la matrice inversa è
$$
A^{-1} =
\begin{pmatrix}
1/5 & 1/5 \\
3/5 & -2/4
\end{pmatrix}
$$
Questo metodo di risoluzione per equazioni non scala in maniera efficace con le matrici più grandi.
Gia una matrice 3x3 avrebbe 9 equazioni in 9 incognite.
In questo caso non posso trovare l'inversa perchè in posizione 22 della matrice prodotto non ho modo di avere un 1.
Data una matrice A $$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & \dots & a_{nm} \end{pmatrix} $$ La matrice trasposta di A è la matrice con le righe e le colonne scambiate. $$ A^t = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{m1} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{1n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $$ Quindi se la matrice a era di tipo mn la trasporta sarà nm
N.B.
Nella seconda proprietà il prodotto delle matrice si inverte.
Ricordarsi che il prodotto di matrici non è commutativo.
Una matrice simmetrica è una matrice per cui $$ A = {}^tA $$ La struttura di una matrice trasposta è il seguente $$ \begin{pmatrix} a & \diamond & \square \\ \diamond & b & \bullet \\ \square & \bullet & c \end{pmatrix} $$ Dove $a, b, c$ sono numeri qualsiasi. Mentre i simboli corrispondono e si può notare come siano simmetrici rispetto alla diagonale. Le matrici simmetriche devono essere quadrate.
Una matrice antisimmetrica è la matrice che risulta uguale all'opposta della trasposta $$ A = -{}^tA $$ E ha la seguente struttura $$ \begin{pmatrix} 0 & \diamond & \square \\ -\diamond & 0 & \bullet \\ -\square & -\bullet & 0 \end{pmatrix} $$ Si può notare come perchè la diagonale sia antisimmetrica l'unica possibilità e che siano tutti 0
Sono delle matrici quadrate invertibili con la seguente proprietà $$ {}^tA = A^{-1} $$ L'inversa corrisponde alla trasposta
La matrice A è sempre ortogonale: $$ A = \begin{pmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix} \\ {}^tA = \begin{pmatrix} \cos{\alpha} & \sin{\alpha} \\ -\sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix} \\ {}^tAA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ $$ Di conseguenza ${}^tA = A^{-1}$