MATRICES

Luego de la fundamentación de la teoría de matrices al final del siglo XIX, se observó que muchas nociones matemáticas que fueron consideradas ligeramente diferentes de las matrices, eran en efecto, similares. Por ejemplo, objetos tales como puntos en el plano bidimensional, puntos en el espacio tridimensional, polinomios, funciones continuas, funciones diferenciables satisfacen las mismas propiedades aditivas y propiedades de multiplicación por escalares. Por lo cual se pensó que era más eficiente y productivo estudiar muchos tópicos a la vez, al analizar las pripiedades comunes que ellos satisfacen; este hecho condujo a la definición axiomática de espacio vectorial (Meyer, pág. 160). La primera publicación sobre el tema se debe al polaco Hermann Grassmann (1808-1887), en 1844; su trabajo dejó planteados los conceptos que se refieren a dependencia lineal, bases y dimensión.

El italiano Giuseppe Peano (1858-1932) dió una axiomatización similar a la que actualmente se usa y que fue propuesta posteriormente por el alemán Hermann Weyl (1885-1955) ignorando el trabajo de Peano. El éxito de Weyl radicó en el manejo geométrico de espacio vectorial.

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial involucra cuatro (4) "objetos": dos (2) conjuntos $V$ y $F$, y dos operaciones algebraicas llamadas adición vectorial y multiplicación escalar; $V$ es un conjunto no vacío de objetos llamados vectores. $F$ es un campo escalar, ya sea el campo $\mathbb{R}$ de los números reales o bien, el campo de los número complejos (Meyer, pág. 159).

La adición vectorial (denotada como $x+y$) es una operación entre elementos de $V$. La multiplicación escalar (denotada como $ax$) es una operación entre elementos de $F$ y de $V$. Entonces, el conjunto $V$ es llamado espacio vectorial sobre $F$ cuando la adición vectorial y la multiplicación escalar satisfacen las propiedades que se enuncian a continuación:

Para la adición de vectores:

• [A1] $\forall x, y \in V,\; x + y \in V$; (Propiedad clausurativa) .
• [A2] $\forall x, y, z \in V,\; (x + y) + z = x + (y + z)$; (Propiedad asociativa).
• [A3] $\forall x, y \in V,\; x + y = y = x$; (Propiedad conmutativa).
• [A4] $\forall x \in V, \exists e\in V, x + e = x$; (Existencia de módulo).
• [A5] $\forall x \in V, \exists x^{-1} \in V, x + x^{-1} \in V, x + x^{-1} = e$; (Existencia de inversos).

Propiedades para la multiplicación escalar:

• [M1] $\forall \alpha \in F$ y $\forall x \in V, \alpha x \in V$. (Propiedad 'clausurativa').
• [M2] $\forall \alpha, \beta \in F$ y $\forall x \in V, (\alpha \beta)x = \alpha(\beta x)$. (Propiedad 'asociativa').
• [M3] $\forall \alpha \in F$ y $\forall x, y \in V, \alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$. (Propiedad distributiva escalar sobre la adición vectorial).
• [M4] $\forall \alpha, \beta \in F$ y $\forall x \in V, (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x$. (Propiedad distributiva vectorial sobre la adición escalar).
• [M5] $\forall x\in V, 1x = x$. (Existencia de 'módulo').

Si al módulo $e$ mencionado en [A4] se le denomina vector nulo y se denota por $O$ , y teniendo en cuenta que cualquier escalar $t$ multiplicado por él da nuevamente el vector nulo, $tO = O$, se puede decir:

NOTA 1 Si $x$ es un vector no nulo y $kx = O$, entonces el escalar $k$ es $O$.

Esto resulta al suponer $k\neq 0$, entonces $x = \tfrac{1}{k}(kx) = O$, lo cual es absurdo.