En esta sección se propone revisar en el plano, la rotación que sucede sobre una cónica, a través de los vectores propios asociados a la matriz de los coeficientes.
Se considera entonces una ecuación de la forma
$$ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \tag{3.1a} $$bajo la condición $$ a > 0, \text{ y } b \neq 0. \tag{3.1b} $$
Los vectores propios por analizar están asociados a la matriz de los coeficientes $$ M = \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{bmatrix} \tag{3.2a} $$ la cual es simétrica; en consecuencia sus valores propios son reales y los respectivos vectores propios son ortogonales. Su determinante $$ \det M = \frac{1}{4}(4ac - b^2), \tag{3.2b} $$ y al número $b^2 - 4ac$ se le donomina discriminante de la matriz $M$.
Los valores propios se pueden obtener de la correspondiente ecuación característica, la cua les $$ 4\lambda ^2 - 4(a + c)\lambda - (b^2 - 4ac) = 0, \tag{3.3} $$ y de esta surge la relación $$ 4(\lambda - a)^2 = 4(c - a)\lambda + 4a^2 + b^2 - 4ac. \tag{3.4} $$
Sus raíces dan los valores propios (reales puesto que $M$ es simétrica): $$ \lambda_{1, 2} = \frac{1}{2}\left[(a + c)\mp\sqrt{(a - c)^2 + b^2}\right], $$ o bien, en términos de la traza y el determinante $$ \lambda_{1, 2} = \frac{1}{2}\left[(a + c) \mp \sqrt{tr^2M - 4\det M}\right]. $$
De esta expresión junto con la condición (3.1b) se concluye:
Nota 1 Los valores propios $\lambda_1,\; \lambda_2$ jamás son iguales proque $b^2 > 0$.
Sea $\lambda_1$ el menor valor propio; este es $$ \lambda_1 = \frac{1}{2}\left[(a + c) - \sqrt{(a - c)^2 + b^2}\right]. \tag{3.5a} $$ del cual resulta $$ 2(\lambda_1 - a) = -\left[(a - c) + \sqrt{(a - c)^2 + b^2}\right]. \tag{3.5b} $$
Ahora, teniendo en cuenta que $b \neq 0$, para todo real $N$ $$ N^2 < N^2 + b^2, $$ de donde $$ -N \leq |N| < \sqrt{N^2 + b^2}, $$ de lo cual:
Nota 2 $(a - c) + \sqrt{(a - c)^2 + b^2}> 0$, con lo cual $2(\lambda_1 - a)< 0$. También $\lambda_1 < a$.
Ahora, de la relación con la traza de la matriz $M$, se tiene $$ 2(\lambda_2 - c) = -2(\lambda_1 - a), $$ de donde $\lambda_2 < c.$
De la relación (2.6) los valores propios $X$ de la matriz $M$ satisfacen $$ (M - \lambda I)X = O, $$ y con $X' = \begin{bmatrix}x & y \end{bmatrix}$, en función de las componentes $$ \begin{bmatrix} a - \lambda & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c - \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ que da lugar a un sistema de ecuaciones equivalentes entre sí, de tal manera que resulta $$ y = \frac{2}{b}(\lambda - a)x \;\;\text{ con }\;\; b\neq 0, $$ para cualquier valor propio $\lambda$.
Entonces al considerar el valor propio $\lambda_1$ $$ by = 2(\lambda_1 - a)x, $$ obteniendo cada vector propio asociado a $\lambda_1$ $$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{b}\begin{bmatrix} bx \\ by \end{bmatrix} = \frac{x}{b}\begin{bmatrix} b \\ 2(\lambda_1 - a) \end{bmatrix},\;\; \text{ para todo }\;\; \frac{x}{b}\neq 0. $$ Tomando en particular el vector propio $v_1$ $$ v_1 = \begin{bmatrix} b \\ 2(\lambda_1 - a) \end{bmatrix}, \tag{3.6} $$ el cual por la Nota 2, tiene segunda componente negativa.
Puesto que el segundo valor propio $\lambda_2$ es distinto de $\lambda_1$ (Nota 1), entonces siendo $M$ una matriz simétrica el vector propio $v_2$ asociado a $\lambda_2$ es ortogonal a $v_1$. Así, se propone rotar $90^o$ en el sentido antihorario el vector $v_1$ quedando $$ v_2 = \begin{bmatrix} -2(\lambda_1 - a) \\ b \end{bmatrix}, \tag{3.7} $$ y por la Nota 2, la primera componente es positiva. También $||v_1|| = ||v_2||$.
Siendo el propósito describir la rotación de la cónica, el angulo correspondiente oscilará en el intervalo $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$, se elige el par de vectores propios siguiente: $$ \begin{cases} v_1,\;v_2 & \text{ cuando } b > 0 \text{ (rotación negativa)}, \\ -v_1, -v_2 & \text{ cuando } b < 0 \text{ (rotación positiva)}, \end{cases}\tag{3.8} $$
Obsérvese que, de acuerdo a los signos de las componentes ya analizados, en el primer caso $v_1$ está en el cuarto cuadrante del plano cartesiano, $v_2$ está en el primer cuadrante y, en el segundo caso, los vectores están en el primero y segundo cuadrante respectivamente.
Dados dos vectores, $\vec{A},\; \vec{B}$ su producto punto satisface $$ \vec{A}\cdot\vec{B} = ||\vec{A}||\,||\vec{B}||\cos \theta $$ siendo $\theta \in [0, \pi]$ el ángulo formado por ellos. Entonces si $\vec{A} = \langle 1, 0\rangle$ (en la dirección positiva del eje $X$), al tomar $\vec{B} = v_1$ y al reemplazar $$ b = ||v_1||\cos \theta, $$ el ángulo de rotación $\phi \in \left(\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$ queda definido por $$ \begin{cases} \phi = -\arccos\left(\frac{b}{||v_1||}\right), & b > 0, \\ \phi = \pi - \arccos\left(\frac{b}{||v_1||}\right), & b < 0. \end{cases} \tag{3.9} $$ Entonces, en el primer caso se presenta una rotación negativa y en el segundo, cuando $b < 0$, la rotación es positiva.
Antes de proceder a realizar un cambio de coordenadas, se revisan las opciones de signos de los valores propios.
Se plantea la pregunta
Supóngase que ambos valores propios son negativos; en tal caso $trM < 0$, es decir que $ a + c < 0$ y siendo $a > 0$ entonces $c < 0$. Con lo cual el determinante serían $$ \det M = ac - \frac{b^2}{4} < 0 $$ lo que resulta contradictorio puesto que $\det M = \lambda_1\lambda_2 > 0$. De esta manera:
Nota 3 Sólo el valor propio $\lambda_1$ puede ser negativo.
Ahora, ¿es posible que el valor propio $\lambda_2$ sea nulo? En tal caso, el determinante $\det M = 0$ muestra $ac = \frac{b^2}{4}$ y, del hecho $$ \lambda_2 = \frac{1}{2}\left[(a + c)^2 + \sqrt{(a - c)^2 + b^2}\right] $$ se tendría $a + c < 0$, de lo cual $a < 0$, contrariando la condición (3.1b). Así, se tiene:
Nota 4 El mayor valor propio $\lambda_2$ nunca se anula.
De la relación de los valores propios con la traza, se puede decir:
Nota 5 Si $trM$ y el valor propio $\lambda_1 < 0$, entonces $0 < \lambda_2 < -\lambda_1$.
Teniendo en cuenta que el valor propio $\lambda_1$ es el más pequeño se tiene
Nota 6 Si $\lambda_1 > 0$, entonces $trM > 0$ y $\det M > 0$.
La determinación de los vectores propios $v_1\,v_2$ permite replantear la ecuación cartesiana (3.1a) en función de otras variables, con el fin de facilitar la identificación de la cónica que está describiendo. Así, se proponen las variables $u,\, v$ y se define la transformación $$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \tag{3.10a} $$ siendo $P$ la matriz de orden 3, formada por los vectores propios normalizados $$ P = \begin{bmatrix} \frac{1}{||v_1||}v_1 & \frac{1}{||v_2||}v_2 \end{bmatrix}, $$ y por (3.6) y (3.8) se tiene $||v_1|| = ||v_2||$, con lo cual $$ P = \frac{1}{||v_1||}\begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}. $$ Matriz de rotación negativa Para el caso $b > 0$, $$ P_1 = \frac{1}{||v_1||}\begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}. \tag{3.10b} $$ teniendo presente (3.6) y (3.7).
Matrix de rotación positiva Para el caso $b < 0$, según (3.8) $$ P_2 = -\frac{1}{||v_1||}\begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}. \tag{3.10c} $$
Producto $Q'MQ$ En general, si $M$ es una matriz simétrica de orden 2, con valores propios $\lambda,\,\mu$ distintos y $v,\,w$ son los respectivos vectores propios, es decir $$ Mv = \lambda v,\;\;Mw = \mu w, $$ entonces $$ v'Mv = \lambda||v||^2,\;\; w'Mw = \mu||w||^2. \tag{3.10d} $$
Al considerar la matrix de orden 2 formada con los vectores propios, $Q = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ v & w \\ \vdots & \vdots\end{bmatrix}$ y al plantear el producto $Q'MQ$, indicando el desarrollo de $MQ$ siguiendo (1.2b) aparece $$ Q'MQ = Q'\begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ Mv & Mw \\ \vdots & \vdots \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cdots & v' & \cdots \\ \cdots & w' & \cdots \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vdots & \vdots \\ Mv & Mw \\ \vdots & \vdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v'Mv & v'Mw \\ w'Mv & w'Mw \end{bmatrix}, $$ de (3.10d) junto con el hecho que los vectores $v,\, w$ (asociados a valores propios distintos) son ortogonales finalmente de la matriz diagonal $$ Q'MQ = \begin{bmatrix} \lambda ||v||^2 & 0 \\ 0 & \mu||w||^2 \end{bmatrix}. \tag{3.10e} $$
Cambio de coordenadas en (3.1a) Para la matriz $M$ dada en (3.2a), y la matriz de rotación $P$, al reescribir la ecuación de segundo grado (3.1a) en la forma $$ \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}M\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + f = 0 $$ y realizando el cambio $$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}, $$ aplicando (3.10e) teniendo en cuenta que los vectores son unitarios, se simplifica inicialmente en $$ \begin{bmatrix} u & v \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}P\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} + f = 0, $$ al desarrollar el primer producto $$ \lambda_1u^2 + \lambda_2v^2 + \begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}P\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} + f = 0, \tag{3.11} $$ que por carecer del término $uv$ corresponde a la ecuación de una cónica en su forma normal.
Está por resolver el producto $\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}P\begin{bmatrix}u \\ v\end{bmatrix}$ que contiene las coordenadas del centro de la cónica; se anulan cuando los coeficientes $d$ y $e$ son cero. Entonces $$ \begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}P_1\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \frac{1}{||v_1||}\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}, $$ obteniendo $$ \begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}P_1\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\frac{1}{||v_1||}\left\{\left(\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_1\right)u + \left(\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_2\right)v\right\} \tag{3.12} $$ y al reemplazarlo en la ecuación (3.11) $$ \lambda_1u^2 + \frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_1}{||v_1||}u + \lambda_2v^2 + \frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_2}{||v_1||}v + f = 0. \tag{3.13} $$
Se procede a completar cuadrados:
Caso 1 $\det M \neq 0$. Siendo cada valor propio distinto de 0, la expresión (3.13) queda $$ \lambda_1\left(u + \frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_1}{2\lambda_1||v_1||}\right)^2 + \lambda_2\left(v + \frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_2}{2\lambda_2||v_1||}\right)^2 = T_1 - f \tag{3.14a} $$ donde $$ T_1 = \frac{1}{4||v_1||^2}\left[\frac{\left(\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_2\right)^2}{\lambda_1} + \frac{\left(\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_2\right)^2}{\lambda_2}\right]. \tag{3.14b} $$
Entonces, la ecuación (3.14a) representa: $$ \begin{cases} \textbf{Una elipse,} & \text{ si } \lambda_1 > 0 \text{ y } T_1 > f, \\ \textbf{Una hipérbola,} & \text{ si } \lambda_1 < 0 \text{ y } T_1 \neq f, \\ \textbf{Dos rectas coincidentes,} & \text{ si } \lambda_1 < 0 \text{ y } T_1 = f, \\ \textbf{Un punto,} & \text{ si } \lambda_1 > 0 \text{ y } T_1 = f, \\ \textbf{Ningún punto,} & \text{ si } \lambda_1 > 0 \text{ y } T_1 < f. \end{cases} $$
En los dos primeros casos, los centros están en $$ (h, k) = \left(-\frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_1}{2\lambda_1||v_1||}, -\frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_2}{2\lambda_2||v_1||}\right). \tag{3.14c} $$
Las rectas coincidentes tienen ecuaciones $$ v + \frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_2}{2\lambda_2||v_1||} = \pm \sqrt{-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}}\left(u + \frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_1}{2\lambda_1||v_1||}\right). \tag{3.15} $$
Caso 2 $\det M = 0.$ Por la Nota 4, se presenta como única opción: $\lambda_1 = 0\;\; (\lambda_2 > 0)$. Así, de la ecuación (3.13) queda $$ \frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_1}{||v_1||}u + \lambda_2\left(v + \frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_2}{2\lambda_2||v_1||}\right)^2 = T_2 - f \tag{3.16a} $$ con $$ T_2 = \frac{\left(\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_2\right)^2}{4\lambda_2||v_1||^2}, \tag{3.16b} $$ que representa $$ \textbf{Una parábola, } \text{ si } \begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_1 \neq 0, $$ con eje de simetría paralelo al eje $u$ y vértice en el punto $$ \left(\frac{||v_1||}{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_1}(T_2 - f), -\frac{\begin{bmatrix}d & e\end{bmatrix}v_2}{2\lambda_2||v_1||}\right). \tag{3.16c} $$
Puede tenerse también
Ya que la matriz a considerar $P_2$ difiere de la anterior $P_1$ en el signo, los desarrollos y resultados presentados en la sección anterior son similares. De esta manera $$ \begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}P_2\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = -\frac{1}{||v_1||}\left\{\left(\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_1\right)u + \left(\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_2\right)v\right\} \tag{3.17} $$ al reemplazarse en (3.11) produce una ecuación ligeramente distinta de (3.13): $$ \lambda_1u^2 - \frac{\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_1}{||v_1||}u + \lambda_2v^2 - \frac{\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_2}{||v_1||}v + f = 0. \tag{3.18} $$ lo cual indica que se obtienen los resultados de la sección 3.2.3, con una diferencia:
Caso 1 $\det M \neq 0$.
Siendo cada valor propio distinto de 0, la expresión (3.18) queda $$ \lambda_1\left(u - \frac{\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_1}{2\lambda_1||v_1||}\right)^2 + \lambda_2\left(v - \frac{\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_2}{2\lambda_2||v_1||}\right)^2 = T_1 - f \tag{3.19a} $$ donde $$ T_1 = \frac{1}{4||v_1||^2}\left[\frac{\left(\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_1\right)^2}{\lambda_1} + \frac{\left(\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_2\right)^2}{\lambda_2}\right], \tag{3.19b} $$ tal como el de (3.14b).
De esta manera la ecuación (3.19a) representa: $$ \begin{cases} \textbf{Una elipse, } & \text{si } \lambda_1 > 0 \text{ y } T_1 > f, \\ \textbf{Una hipérbola, } & \text{si } \lambda_1 < 0 \text{ y } T_1 \neq f, \\ \textbf{Dos rectas coincidentes, } & \text{si } \lambda_1 < 0 \text{ y } T_1 = f, \\ \textbf{Un punto, } & \text{si } \lambda_1 > 0 \text{ y } T_1 = f, \\ \textbf{Ningún punto, } & \text{si } \lambda_1 > 0 \text{ y } T_1 < f. \end{cases} $$
En los dos primeros casos sus centros están en $$ (h, k) = \left(\frac{\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_1}{2\lambda_1||v_1||}, \frac{\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_2}{2\lambda_2||v_1||}\right). \tag{3.19c} $$
Las rectas coincidentes tienen ecuaciones $$ v - \frac{\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_2}{2\lambda_2||v_1||} = \pm\sqrt{-\frac{\lambda_1}{\lambda_2}}\left(u - \frac{\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_2}{2\lambda_1||v_1||}\right). \tag{3.20} $$
En el caso del punto, sus coordenadas están dadas por $(h, k)$.
Caso 3 $\det M = 0$
Nuevamente, como en el caso $b > 0$, por la Nota 4, se tiene la única opción: $\lambda_1 = 0\;\; (\lambda_2 > 0)$. De la ecuación (3.18) queda $$ -\frac{\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_1}{||v_1||}u + \lambda_2\left(v - \frac{\begin{bmatrix} d & e \end{bmatrix}v_2}{2\lambda_2||v_1||}\right)^2 = T_2 - f \tag{3.21a} $$ con $T_2$ dado por (3.16b), la cual representa
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