title: SciPy-数值计算库 create: 2016.12.7 modified: 2016.12.7 tags: python 最小二乘拟合 数值积分
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[TOC]
SciPy函数库在NumPy库的基础上增加了众多的数学、科学以及工程计算中常用的库函数。例如线性代数、常微分方程数值求解、信号处理、图像处理、稀疏矩阵等等。由于其涉及的领域众多、本书没有能力对其一一的进行介绍。
In [3]:
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq
import pylab as pl
def func(x, p):
"""
数据拟合所用的函数: A*sin(2*pi*k*x + theta)
"""
A, k, theta = p
return A*np.sin(2*np.pi*k*x+theta)
def residuals(p, y, x):
"""
实验数据x, y和拟合函数之间的差，p为拟合需要找到的系数
"""
return y - func(x, p)
x = np.linspace(0, -2*np.pi, 100)
A, k, theta = 10, 0.34, np.pi/6 # 真实数据的函数参数
y0 = func(x, [A, k, theta]) # 真实数据
y1 = y0 + 2 * np.random.randn(len(x)) # 加入噪声之后的实验数据
p0 = [7, 0.2, 0] # 第一次猜测的函数拟合参数
# 调用leastsq进行数据拟合
# residuals为计算误差的函数
# p0为拟合参数的初始值
# args为需要拟合的实验数据
plsq = leastsq(residuals, p0, args=(y1, x))
print u"真实参数:", [A, k, theta]
print u"拟合参数", plsq[0] # 实验数据拟合后的参数
pl.plot(x, y0, label=u"真实数据")
pl.plot(x, y1, label=u"带噪声的实验数据")
pl.plot(x, func(x, plsq[0]), label=u"拟合数据")
pl.legend()
pl.show()
这个例子中我们要拟合的函数是一个正弦波函数，它有三个参数 A, k, theta ，分别对应振幅、频率、相角。假设我们的实验数据是一组包含噪声的数据 x, y1，其中y1是在真实数据y0的基础上加入噪声的到了。
通过leastsq函数对带噪声的实验数据x, y1进行数据拟合，可以找到x和真实数据y0之间的正弦关系的三个参数： A, k, theta。上面是程序的输出：
我们看到拟合参数虽然和真实参数完全不同，但是由于正弦函数具有周期性，实际上拟合参数得到的函数和真实参数对应的函数是一致的。
In [ ]:
def func(x):
u1,u2,u3 = x
return [f1(u1,u2,u3), f2(u1,u2,u3), f3(u1,u2,u3)]
下面是一个实际的例子，求解如下方程组的解：
5*x1 + 3 = 0
4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2) = 0
x1*x2 - 1.5 = 0
程序如下：
In [10]:
from scipy.optimize import fsolve
from math import sin,cos
def f(x):
x0 = float(x[0])
x1 = float(x[1])
x2 = float(x[2])
return [
5*x1+3,
4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2),
x1*x2 - 1.5
]
result = fsolve(f, [1,1,1])
print result
print f(result)
由于fsolve函数在调用函数f时，传递的参数为数组，因此如果直接使用数组中的元素计算的话，计算速度将会有所降低，因此这里先用float函数将数组中的元素转换为Python中的标准浮点数，然后调用标准math库中的函数进行运算。
In [13]:
def half_circle(x):
return (1-x**2)**0.5
调用scipy.integrate库中的quad函数的话，将会得到非常精确的结果：
In [15]:
from scipy import integrate
pi_half, err = integrate.quad(half_circle, -1, 1)
pi_half*2
Out[15]:
In [17]:
from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
def lorenz(w, t, p, r, b):
# 给出位置矢量w，和三个参数p, r, b计算出
# dx/dt, dy/dt, dz/dt的值
x, y, z = w
# 直接与lorenz的计算公式对应
return np.array([p*(y-x), x*(r-z)-y, x*y-b*z])
t = np.arange(0, 30, 0.01) # 创建时间点
# 调用ode对lorenz进行求解, 用两个不同的初始值
track1 = odeint(lorenz, (0.0, 1.00, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0))
track2 = odeint(lorenz, (0.0, 1.01, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0))
# 绘图
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot(track1[:,0], track1[:,1], track1[:,2])
ax.plot(track2[:,0], track2[:,1], track2[:,2])
plt.show()
In [ ]: