La clase `relacion`

Para utilizar la clase, primero importamos el fichero que la contiene



In [1]:

    
from relaciones import *

Para definir una relación, podemos o bien dar un conjunto de parejas, o bien un conjunto de parejas y el universo donde están los elementos de los pares. En caso de no proporcionar el universo, se tomará como universo el conjunto de todos los valores que aparecen en las parejas.

Por ejemplo, definamos en el conjunto $\{0,1,\ldots,11\}$ la relación de ser congruentes módulo 5



In [2]:

    
u =set(range(12))
rl = set((a,b) for a in u for b in u if (a-b)%5 ==0)



In [3]:

    
r =relacion(rl,u)

Sabemos que esta relación es de equivalencia



In [4]:

    
r.es_equivalencia()









    Out[4]:





True

Y podemos calcular sus clases de equivalencia (hemos congelado las clases para poder crear un conjunto de conjuntos)



In [5]:

    
r.clases_equivalencia()









    Out[5]:





{frozenset({1, 6, 11}),
 frozenset({4, 9}),
 frozenset({3, 8}),
 frozenset({2, 7}),
 frozenset({0, 5, 10})}

El universo es un atributo de la clase, y se puede acceder a él de la siguiente forma



In [6]:

    
r.universo









    Out[6]:





{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

También podemos determinar si dos elementos están relacionados, bien usando el método rel o llamando a la relación con los dos elementos



In [7]:

    
r.rel(1,1)









    Out[7]:





True



In [8]:

    
r(1,6)









    Out[8]:





True



In [9]:

    
(1,1) in r.rels









    Out[9]:





True

Si dibujamos las relaciones entre los elementos, aparecerán claramente las clases de equivalencia



In [10]:

    
r.pinta()









    











    Out[10]:





'Digraph.gv.svg'

Esta relación no es de orden



In [11]:

    
r.es_orden()









    Out[11]:





False

Pues no es antisimétrica



In [12]:

    
r.es_antisimetrica()









    Out[12]:





False

Diagramas de Hasse

Veamos ahora como ejemplo el conjunto de los divisores de 12 con la relación de divisibilidad



In [13]:

    
d = set(a for a in range(1,13) if 12%a ==0)



In [14]:

    
rd =relacion(set((a,b) for a in d for b in d if b%a ==0))

Podemos dibujar el diagrama de Hasse como sigue



In [15]:

    
rd.hasse()









    











    Out[15]:





Relación binaria

O bien pintar todas las relaciones



In [16]:

    
rd.pinta()









    











    Out[16]:





'Digraph.gv.svg'

Claramente esta relación es de orden, y no es un orden total



In [17]:

    
rd.es_orden()









    Out[17]:





True



In [18]:

    
rd.es_orden_total()









    Out[18]:





False

Los elementos notables se calculan con los métodos que tienen nombres acordes a ellos



In [19]:

    
rd.maximales(set({2,3,6}))









    Out[19]:





{6}



In [20]:

    
rd.maximales(set({2,3}))









    Out[20]:





{2, 3}

O incluso podemos destacar esos elementos en el dibujo de relaciones



In [21]:

    
rd.pinta(rd.mayorantes(set({2,3})))









    











    Out[21]:





'Digraph.gv.svg'



In [22]:

    
rd.minimales(set({2,3}))









    Out[22]:





{2, 3}



In [23]:

    
rd.minimo(set({2,4}))









    Out[23]:





2

Retículos

Continuamos con los divisores de 12



In [24]:

    
rd.es_reticulo_inferior()









    Out[24]:





True



In [25]:

    
rd.es_reticulo_superior()









    Out[25]:





True



In [26]:

    
rd.complemento(4)









    Out[26]:





3



In [27]:

    
rd.cero









    Out[27]:





1



In [28]:

    
rd.uno









    Out[28]:





12



In [29]:

    
rd.es_complementado()









    Out[29]:





False

Veamos qué elementos no tienen complemento



In [30]:

    
[a for a in rd.universo if rd.complemento(a)==None]









    Out[30]:





[2, 6]

Ahora damos un ejemplo que sí es complementado, de hecho un álgebra de Boole



In [31]:

    
u = set(a for a in range(1,31) if 30%a==0)



In [32]:

    
u









    Out[32]:





{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}



In [33]:

    
p = set((a,b) for a in u for b in u if b%a ==0)



In [34]:

    
r = relacion(p)



In [35]:

    
r.es_distributivo()









    Out[35]:





True



In [36]:

    
r.atomos()









    Out[36]:





{2, 3, 5}



In [37]:

    
r.es_algebra_Boole()









    Out[37]:





True



In [38]:

    
r.pinta(r.atomos())









    











    Out[38]:





'Digraph.gv.svg'

Retículos de divisores

Podemos definir retículos con los divisores de un entero o bien dar un conjunto ordenado por la relación de divisibilidad. Para ellos utilizaremos divisores



In [39]:

    
r = divisores(24)



In [40]:

    
r.hasse()









    











    Out[40]:





Relación binaria



In [41]:

    
_.rels









    Out[41]:





{(1, 2),
 (1, 3),
 (2, 4),
 (2, 6),
 (3, 6),
 (4, 8),
 (4, 12),
 (6, 12),
 (8, 24),
 (12, 24)}

El diamante



In [42]:

    
r = divisores({0,1,2,3,5})



In [43]:

    
r.pinta()









    











    Out[43]:





'Digraph.gv.svg'



In [44]:

    
r.hasse()









    











    Out[44]:





Relación binaria



In [45]:

    
r.es_orden()









    Out[45]:





True



In [46]:

    
r.es_orden_total()









    Out[46]:





False



In [47]:

    
r.es_reticulo()









    Out[47]:





True



In [48]:

    
r.es_subreticulo({0,1,2,3})









    Out[48]:





True



In [49]:

    
r.es_distributivo()









    Out[49]:





False



In [50]:

    
r.es_complementado()









    Out[50]:





True

El pentágono



In [51]:

    
r = divisores({1,0,2,4,3})



In [52]:

    
r.hasse()









    











    Out[52]:





Relación binaria



In [53]:

    
r.es_distributivo()









    Out[53]:





False



In [54]:

    
r.es_complementado()









    Out[54]:





True

Otros ejemplos

Retículo que no es distributivo ni complementado



In [55]:

    
r=divisores({1,0,2,18,9,3})



In [56]:

    
r.hasse()









    











    Out[56]:





Relación binaria



In [57]:

    
r.es_complementado()









    Out[57]:





False



In [58]:

    
r.es_distributivo()









    Out[58]:





False



In [59]:

    
[s for s in r.universo if r.complemento(s)==None]









    Out[59]:





[2, 18, 3, 9]



In [60]:

    
r.es_reticulo()









    Out[60]:





True

Retículo distributivo, no complementado



In [61]:

    
r = divisores({1,2,4})



In [62]:

    
r.hasse()









    











    Out[62]:





Relación binaria



In [63]:

    
r.es_distributivo()









    Out[63]:





True



In [64]:

    
r.es_complementado()









    Out[64]:





False



In [65]:

    
r=divisores({0,1,2,3,4,6})



In [66]:

    
r.hasse()









    











    Out[66]:





Relación binaria



In [67]:

    
r.es_distributivo()









    Out[67]:





True



In [68]:

    
r.es_complementado()









    Out[68]:





False