Sobre conjuntos linearmente independentes de vetores

Uma família de vetores $\{ \vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n \}$ é linearmente independente se, e somente se a única forma de se escrever o vetor nulo $\vec{0}$ como combinação linear é a trivial. Isto também significa que nenhum vetor $\vec{v}_i$ deste conjunto pode se escrever como combinação linear dos vetores restantes.

Se $\vec{v}$ é um vetor do sub-espaço gerado por $\{ \vec{v}_1 \dots \vec{v}_n \}$ de quantas formas diferentes ele pode ser escrito como combinação linear desses vetores?

Vamos resolver alguns exercícios do Apostol: Considerem os vetores $$ \vec{v}_1=\mathbf{i} \text{ } \vec{v}_2=\mathbf{i} + \mathbf{j} \text{ e }\vec{v}_3 = \mathbf{i + j + 3k} $$

• Prove que $\{ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$ é LI
• Escreva os vetores $\mathbf{i}$ e $\mathbf{j}$ como combinação linear de $\{ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$
• Escreva o vetor $2\mathbf{i} -3\mathbf{i} + 5\mathbf{k}$ como combinação linear de $\{ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$.
• Prove que $\{ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$ é uma base.

Exercicio 13

• Mostre que os vetores $(\sqrt{3}, 1, 0)$, $(1,\sqrt{3}, 1)$ e $(0,1,\sqrt{3})$ são LI.
• Mostre que os vetores $(\sqrt{2}, 1, 0)$, $(1,\sqrt{2}, 1)$ e $(0,1,\sqrt{3})$ são LD.
• Encontre todos os valores reais possíveis de $t$ para que os vetores $(t, 1, 0)$, $(1,t, 1)$ e $(0,1,t)$ sejam LI.

Exercício 15

Se três vetores de $V_n$, $\vec{a},$ $\vec{b}$ e $\vec{c}$ são LI. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

• $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{b}+\vec{c}$ e $\vec{c} + \vec{a}$ formam um conjunto LI.
• $\vec{a}-\vec{b}$, $\vec{b}+\vec{c}$ e $\vec{c} + \vec{a}$ formam um conjunto LI.