O objetivo de Einstein foi estudar o movimento de uma partícula num fluído em repouso. Veja os trabalhos de Einstein sobre o movimento Browniano.
Vamos apenas descrever, de maneira eurística, quais foram os passos matemáticos neste primeiro trabalho de Einstein sobre MB, e como ele chegou à fórmula da distribuição do movimento Browniano.
Considera um "tubo super-fino e infinito com um fluído em repouso dentro" . A posição neste tubo é dada por uma coordenada $x$. Uma gotinha de tinta azul, com 1 kilo é colocada na posição $0$. As partícula desta gota começam a se mexer sobre pressão osmótica e se espalham ao longo do tubo. O problema é saber qual é a densidade de tinta no tempo $t$, denotado por $u(t,x)$.
No instante inicial teríamos $$ u(0,x) = \delta_0$$ E a distribuição de probabilidade de uma partícula passar de de $x$ a $x+y$ em tempo $\tau$ é $f(y,\tau)$. (não depende de $x$). Então: $$ u(t+\tau,x) = \int_{-\infty}^{\infty}u(t,x-y)f(y,\tau)dy = $$ $$\int_{-\infty}^{\infty}(u(t,x)-u_x(t,x)y +\frac{1}{2}u_{xx}y^2 + O(y^3))f(y,\tau) dy$$
Usando o seguinte
Obtemos a equação diferencial de $u(t,x)$ como $$ u_t = \frac{D}{2}u_{xx} $$ Equação do calor cuja solução, com a condição inicial dada é: $$ u(t,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\text{e}^{-\frac{x^2}{2Dt}}$$
Podemos obter o mesmo processo usando um passeio aleatório em $\mathbb{R}$. Sejam $\Delta x> 0$ e $\Delta t > 0$ e consideramos o reticulado $\{(mx,nt): m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}\}$. Uma partícula começa a se movimentar a partir de $x=0$ no instante $t=0$ realizando sorteios, ou seja: Se $$ S_n = \sum_{i=1}^n \xi_i $$ é um processo de Bernoulli com $ P(\xi_i=0)=0.5 $ e $P(\xi_i=1) = 0.5$ com $\xi_i$ independentes, defino $$ X_{n\Delta t}= S_n\Delta x - (n-S_n)\Delta x =(2S_n-n)\Delta x $$ que representa a posição da partícula no instante $t= n\Delta t$. Esta fórmula pode se reescrever como: $$ X_t = \left(\frac{S_n - \frac{n}{2}}{\sqrt{(\frac{n}{4})}}\right)\sqrt{n}\Delta x =\left(\frac{S_n - \frac{n}{2}}{\sqrt{(\frac{n}{4})}}\right)\sqrt{tD}$$
Usando o teorema de Laplace-Moivre temos $$ \lim_{n\to \infty} P\left( \frac{a}{\sqrt{tD}} \le \frac{S_n - \frac{n}{2}}{\sqrt{(\frac{n}{4})}} \le \frac{b}{\sqrt{tD}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\int_a^b \text{e}^{-\frac{x^2}{2Dt}}dx$$
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