markdown cellájában! markdown cellákkal magyarázd, hogy éppen mit csinál az adott kódrészlet!Vizsgáljuk meg, hogy a $v_0=30~\mathrm{m}/\mathrm{s}$-os kezdősebességű, $\alpha=50^\circ$-os szögű ferde hajítás differenciálegyenlet-rendszerének megoldása ugyanazt a pályát adja-e, mint az analitikus megoldás! Ábrázoljuk a numerikus és az egzakt megoldást ugyanazon koordinátarendszerben!
Segítségül:
\begin{align} \ddot{x}&=0&\dot{x}_0&=v_0\cdot \cos\alpha &x_0&=0\\ \ddot{y}&=-g& \dot{y}_0&=v_0\cdot \sin\alpha & y_0&=0 \end{align}A bolygómozgás Hamilton-függvénye a következőképpen néz ki:
$$\mathscr{H}(p_x,p_y,x,y)=K+V=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2)-\gamma M \frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}}$$Legyen most az alternatív naprendszerünkben $M=\gamma=m=1$!
Rajzoljuk fel a bolygó pályáját a kanonikus egyeneletek numerikus megoldásának segítségével:
\begin{align} \dot{p_x}&=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial{x}} & p_{x,0}&=0\\\\ \dot{p_y}&=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial{y}} & p_{y,0}&=\frac{1}{\sqrt{10}}\\ \dot{x}&=p_x & x_0&=4\\ \dot{y}&=p_y & y_0&=0\\ \end{align}Milyen alakú pályát kaptunk?
Adott egy egymásra merőleges homogén elektromos és mágneses tér, a térerősségek
\begin{align} E&=0.01~\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}\\ B&=1~T \end{align}Egy elektront lövünk ebbe a térbe az elektromos erővonalakkal párhuzamosan, a mágneses térre merőlegesen. Rajzoljuk ki a differenciálegyenlet-megoldás segítségével, hogy a 3D térben milyen pályán mozog a részecske (egy jó választás pl. $t=0~\mathrm{s}$-tól $10~\mathrm{s}$-ig elmenni)! Ha matplotlibbel ábrázolsz, figyelj arra, hogy olyan szögből legyen a 3D ábra, hogy jól látszódjon a pálya alakja, plotlyval pedig akár forgathatod is az elkészült ábrát. Magyarázzuk meg a látottakat néhány mondatban!
Modellezzünk rakétamozgást!
Egy adott időpillanatban legyen a rakétánk $m$ tömegű, tegyük fel, hogy $v$ sebességgel halad. A rakéta hátulján egy kis, $\Delta m$ tömegű darabka a rakétához képest $v_e$, az álló megfigyelőhöz képest $v-v_e$ sebességgel távozik. A lendületmegmaradás miatt az álló megfigyelő szemszögévől:
$$ (m + \Delta m)\cdot v = m (v+\Delta v)+\Delta m\cdot (v-v_e) ,$$tehát
$$ 0 = m \Delta v - \Delta m \cdot v_e $$Rendezzük át:
$$\frac{\Delta v}{\Delta m}=-\frac{v_e}{m}$$Tartsunk $\Delta m$-mel a 0-hoz:
$$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} m}=-\frac{v_e}{m},$$Ábrázoljuk a rakéta sebességét a rakéta tömegének függvényében! Vegyük a rakéta össztömegét 1-nek, és tételezzük fel, hogy az össztömeg 90%-a üzemanyag, tehát maximum 0.1-ig tud a tömeg csökkenni. Legyen $v_e=10$! Értelmezzük a kapott eredményt, vessük össze az analitikus megoldással (a diffegyenlet szétválasztható)!
Egy egyszerű radioaktív bomlás differenciálegyenlete a következőképpen néz ki:
$$-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=\lambda N,$$ahol $N$ az adott elem atommagjainak a száma, $\lambda$ pedig a bomlási állandó, ami egy atommag átlagos várható élettartamának a reciproka. (Felezési idővel is kifejezhetjük, ekkor $\lambda=\ln 2 / T_{1/2}$.) A differenciálegyenlet tulajdonképpen annak a megfogalmazása, hogy a bomlások a magok előéletétől és egymástól függetlenül, ugyanakkora valószínűséggel következnek be.
Vizsgáljunk egy egyszerű bomlási sort, melyben egy anyaelem ($1$), illetve az ő két további leányeleme ($2,3$) található! Hogyan változik ezek darabszáma az idő függvényében? Ábrázoljuk, értelmezzük néhány mondatban a kapott eredményt!
Egyrészt az anyaelem száma folyamatosan csökken, másrészt a leányelemelet "táplálja" az anyaelem bomlása, mikörózben ők is tovább bomolnak:
\begin{align} \frac{\mathrm{d}N_1}{\mathrm{d}t}&=-\lambda_1 N_1\\ \frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}&=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2\\ \frac{\mathrm{d}N_3}{\mathrm{d}t}&=\lambda_2 N_2 - \lambda_3 N_3\\ \end{align}Legyen a három bomlási állandó és a kezdeti feltételek: \begin{align} \lambda_1&=0.5~\frac{1}{\mathrm{s}} & N_1(0)&=10^5\\ \lambda_2&=0.3~\frac{1}{\mathrm{s}} & N_2(0)&=10^4\\ \lambda_3&=2~\frac{1}{\mathrm{s}} & N_3(0)&=10^4\\ \end{align}