Ploščina lika

Ploščino lika med grafoma funkcij $f(x)$ in $g(x)$ na intervalu $[a,b]$ lahko izračunamo s preprosto formulo $$P = \int_a^b\left|f(x)-g(x)\right | dx.$$ Za bolj komplicirane like, lahko formulo na različnih intervalih kombiniramo.

Primer

Izračunaj skupno ploščino likov, ki jih omejujeta krivulji $y=x^2-x-2$ in $y=x^3-x^2+1$.

Rešitev

Najprej si narišemo graf, da si bomo vse skupaj lažje predstavljali



In [77]:

    
%matplotlib inline
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
f = lambda x: x**2-x-2
g = lambda x: x**3-2*x**2-3*x+1
fig, ax = plt.subplots()
x = np.linspace(-2,4)
ax.fill_between(x, f(x),g(x),where = f(x)>=g(x), facecolor='green',interpolate=True)
ax.fill_between(x, f(x), g(x), where = f(x)<= g(x),facecolor='red',interpolate=True)
plt.title("Liki med dvema krivuljama.")









    Out[77]:





<matplotlib.text.Text at 0x7f059bd21cc0>

Krivulji omejujeta dva lika. Meje za integracijo izračunamo tako, da poiščemo presečišča.



In [65]:

    
import sympy as sym
sym.init_printing()
x = sym.Symbol('x')
enacba = sym.Eq(f(x),g(x))
enacba









    Out[65]:





$$x^{2} - x - 2 = x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 1$$



In [66]:

    
sym.solve(enacba,x)









    Out[66]:





$$\left [ 1 + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1419} i}{18}} + \frac{5}{3 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1419} i}{18}}}, \quad 1 + \frac{5}{3 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1419} i}{18}}} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1419} i}{18}}, \quad 1 + \frac{5}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1419} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{1419} i}{18}}\right ]$$

Formule za presečišča so precej grda, zato bomo raje uporabili kar približke s števili s plavajočo vejico (float).



In [74]:

    
resitve = [x.evalf() for x in sym.solve(enacba,x)]
resitve









    Out[74]:





$$\left [ 0.798360324276595 + 5.0 \cdot 10^{-23} i, \quad -1.12841906384458 - 5.0 \cdot 10^{-23} i, \quad 3.33005873956798 - 7.0 \cdot 10^{-21} i\right ]$$

Opazimo, da so rešitve kompleksne. Čudno! Ampak imaginarni del je zelo majhen. Očitno gre za zaokrožitveno napako, saj je na grafu lepo vindo, da so rešitve realne. Vzamemo le realni del.



In [75]:

    
resitve = [sym.re(x) for x in resitve]
resitve.sort()
resitve









    Out[75]:





$$\left [ -1.12841906384458, \quad 0.798360324276595, \quad 3.33005873956798\right ]$$



In [78]:

    
for i in range(len(resitve)):
    xi = resitve[i]
    ax.plot(xi,f(xi),'ko')
    ax.annotate('$(x_%d,f(x_%d))$'%(i,i),xy = (xi,f(xi)),xytext=(xi,f(xi)-3))
fig









    Out[78]:

Ploščina

Če uporabimo formulo za ploščino, dobimo integral z absolutno vrednostjo, ki ga razdelimo na dva dela $$\int_{x_0}^{x_2}\left|f(x)-g(x)\right|dx = \int_{x_0}^{x_1}\left(g(x)-f(x)\right)dx+\int_{x_1}^{x_2}\left(f(x)-g(x)\right)dx$$



In [87]:

    
x = sym.Symbol('x')
P = sym.integrate(g(x)-f(x),(x,resitve[0],resitve[1])) + sym.integrate(f(x)-g(x),(x,resitve[1],resitve[2]))
print("Skupna ploščina obeh likov je približno enaka %f" % P)









    



Skupna ploščina obeh likov je približno enaka 12.801220

<< nazaj: odvod - ekstremi naprej: integral>>



In [55]:

    
import disqus
%reload_ext disqus
%disqus matpy