Številske vrste

Vrsta je neskončna vsota $$a_0+a_1+a_2+\ldots = \sum_{n=0}^\infty a_n.$$ Vsoto vrste definiramo z zaporedjem delnih vsot $$S_n=a_0+a_1+\ldots a_n =\sum_{k=0}^n a_k$$ in $$\sum_{n=0}^\infty a_n=\lim_{n\to \infty}S_n.$$

Trditve

Vrsta konvergentna, če je konvergentno zaporedja delnih vsot,
če je vrsta konvergenta, je $\lim_{n\to\infty}a_n=0$.

Primer

Dano je vrsta $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left(n + 2\right)}$$

izračunaj formulo za delne vsote
seštej vrsto



In [12]:

    
from sympy import *
init_printing()
n = Symbol('n')
a = lambda n: 1/(n*(n+2))
Sum(a(n),(n,1,oo))









    Out[12]:





$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left(n + 2\right)}$$

Vsoto vrste in delne vsote lahko izračunamo s funkcijo sympy.Sum. Za zgornjo mejo neskončno $\infty$ uporabimo znak sympy.oo.



In [13]:

    
Sum(a(n),(n,1,oo)).doit() # vsota vrste









    Out[13]:





$$\frac{3}{4}$$



In [48]:

    
k = Symbol('k')
Sum(a(k),(k,1,n)).doit() # Funkcija sympy.Sum izračuna tudi delne vsote









    Out[48]:





$$\frac{n \left(3 n + 5\right)}{4 \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}$$

Postopek „na roke“

Poglejmo si, kako bi vsoto izračunali „na roke“. Člen vrste $$\frac{1}{n(n+2)}$$ razstavimo na parcialne ulomke in upamo, da se nam vmesni členi pokrajšajo.



In [37]:

    
ul = apart(a(n))
ul









    Out[37]:





$$- \frac{1}{2 n + 4} + \frac{1}{2 n}$$

Metoda args() vrne n-terico(tuple) posameznih ulomkov. Če namesto $n$ vstavimo prvih nekaj števil, lahko vidimo, kateri členi se pokrajšajo.



In [49]:

    
args = ul.args
s = []
for i in range(5):
    s=s + [arg.subs(n,i+1) for arg in args]
s = s + [arg.subs(n,n-1) for arg in args] + list(args)
s









    Out[49]:





$$\left [ \frac{1}{2}, \quad - \frac{1}{6}, \quad \frac{1}{4}, \quad - \frac{1}{8}, \quad \frac{1}{6}, \quad - \frac{1}{10}, \quad \frac{1}{8}, \quad - \frac{1}{12}, \quad \frac{1}{10}, \quad - \frac{1}{14}, \quad \frac{1}{2 n - 2}, \quad - \frac{1}{2 n + 2}, \quad \frac{1}{2 n}, \quad - \frac{1}{2 n + 4}\right ]$$

Vidimo, da se vmesni členi pokrajšajo, razen 1. in 3. ter zadnjega in predpredzadnjega. Delna vsota je torej enaka



In [45]:

    
Sn = s[0]+s[2]+s[-3]+s[-1]
Sn









    Out[45]:





$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2 n + 4} - \frac{1}{2 n + 2}$$



In [51]:

    
Sn.together().factor()









    Out[51]:





$$\frac{n \left(3 n + 5\right)}{4 \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}$$



In [54]:

    
limit(Sn,n,oo) #vsota vrste je limita delnih vsot









    Out[54]:





$$\frac{3}{4}$$

<< nazaj: zaporedja



In [55]:

    
import disqus
%reload_ext disqus
%disqus matpy



In [ ]: