Kompleksna števila

V Pythonu so kompleksna števila vgrajena. Imaginarna enota se imenuje j in jo postavimo neposredno za številko.



In [8]:

    
1j**2 # 1j je v Pythonu imaginarna enota









    Out[8]:





(-1+0j)



In [11]:

    
type(2+2.2j) #kompleksna števila imajo v Pythonu svoj tip









    Out[11]:





complex

Primer

Zapiši število $$z=\frac{1-2i}{1+i}$$ v obliki $x+iy$ in izračunaj $|z|$.



In [13]:

    
z = (1-2j)/(1+1j) #Python zlahka opravi z deljenjem kompleksnih števil, a računa približno s števili s plavajočo vejico
z









    Out[13]:





(-0.5-1.5j)



In [14]:

    
abs(z) # rezultat je podan v decimalnem zapisu









    Out[14]:





1.5811388300841898

Če želimo, da Python pusti rezultat v obliki korenov in ulomkov, potrebujemo knjižnico sympy.



In [42]:

    
import sympy as sym
from sympy import I #uvozimo imaginarno enoto
sym.init_printing() # lepši izpis formul



In [26]:

    
a = 1+2*I
a









    Out[26]:





$$1 + 2 i$$



In [32]:

    
(type(I),I**2)









    Out[32]:





(sympy.core.numbers.ImaginaryUnit, -1)



In [28]:

    
z = (1-2*I)/(1+I)
z









    Out[28]:





$$\frac{1 - 2 i}{1 + i}$$



In [29]:

    
abs(z)









    Out[29]:





$$\frac{\sqrt{10}}{2}$$



In [34]:

    
from sympy import S,I
z = 1+I
type(z)









    Out[34]:





sympy.core.add.Add



In [35]:

    
abs(z)









    Out[35]:





$$\sqrt{2}$$

Enačbe s kompleksnimi števili

Reši enačbo $$iz^2-\bar{z}=0$$

Uporabimo ukaz solve iz knjižnice sympy.



In [50]:

    
from sympy import Symbol,Eq,conjugate,solve,im,re
z = Symbol('z')
solve(Eq(I*z**2-conjugate(z),0),z)









    Out[50]:





$$\left [ 0\right ]$$

Python ni znal poiskati vseh rešitev, zato poskusimo kompleksno enačbo najprej preoblikovati v dve realni enačbi.



In [48]:

    
x,y = sym.symbols("x,y",real=True) # deklariramo realne spremenljivke
z = x+y*I
lhs = sym.expand_complex(I*z**2-conjugate(z))
lhs









    Out[48]:





$$- 2 x y - x + i \left(x^{2} - y^{2} + y\right)$$

Posebej izenačimo realni del in imaginarni del enačbe.



In [56]:

    
enacbe = [Eq(re(lhs),0),Eq(im(lhs),0)]
enacbe









    Out[56]:





$$\left [ - 2 x y - x = 0, \quad x^{2} - y^{2} + y = 0\right ]$$



In [57]:

    
resitve = solve(enacbe,[x,y])
resitve # pari (x,y), ki rešijo sistem enačb









    Out[57]:





$$\left [ \left ( 0, \quad 0\right ), \quad \left ( 0, \quad 1\right ), \quad \left ( - \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad - \frac{1}{2}\right ), \quad \left ( \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad - \frac{1}{2}\right )\right ]$$



In [58]:

    
[r[0]+I*r[1] for r in resitve] # rešitve prvotne enačbe kot kompleksna števila









    Out[58]:





$$\left [ 0, \quad i, \quad - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right ]$$

Množice v kompleksni ravnini

Nobena knjižnica v Python-u ne zna risati neposredno v kompleksni ravnini. Zato uporabimo nastavek $z=x+iy$ in vse skupaj prevedemo v ravnino $x,y$.

Primer

Poišči vse kompleksne rešitve spodnje enačbe, tj. opiši ali skiciraj množico rešitev v $\mathbb{C}$.

$$ Im\left(\frac{1}{z}\right)=1$$



In [64]:

    
x,y = sym.symbols("x,y",real=True)
z = x+I*y
z









    Out[64]:





$$x + i y$$



In [65]:

    
enacba  = Eq(im(1/z),1)
enacba









    Out[65]:





$$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}} = 1$$



In [68]:

    
leva = enacba.lhs-enacba.rhs # vse damo na eno stran
leva









    Out[68]:





$$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}} - 1$$

Množica rešitev je podana implicitno z enačbo. Zato uporabimo contour iz knjižnice matplotlib.



In [82]:

    
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib inline
# generiramo mrežo točk (x,y) v kateri bomo izračunali vrednosti leve strani enačbe
xi = np.linspace(-1,1)
X,Y = np.meshgrid(xi,xi) # pripravimo tabele, ki jih lahko direktno vstavimo v funkcijo
fun = sym.lambdify((x,y),leva) # izraz spremenimo v Python funkcijo
plt.contour(X,Y,fun(X,Y),levels=[0]) # narišemo množico točk, pri katerih je leva stran enaka 0 (levels=[0])
plt.axis("equal")
plt.title("množica je krožnica")









    Out[82]:





<matplotlib.text.Text at 0x7f2ca8ee1c18>

Primer

Skiciraj množico rešitev neenačbe $$ |z-3i+4|\le 4$$ v kompleksni ravnini.



In [108]:

    
leva = abs(z-3*I+4)-4
leva









    Out[108]:





$$\sqrt{x^{2} + 8 x + y^{2} - 6 y + 25} - 4$$



In [113]:

    
# generiramo mrežo točk (x,y) v kateri bomo izračunali vrednosti leve strani enačbe
xi = np.linspace(-8,0)
yi = np.linspace(-2,8)
X,Y = np.meshgrid(xi,yi) # pripravimo tabele, ki jih lahko direktno vstavimo v funkcijo
fun = sym.lambdify((x,y),leva) # izraz spremenimo v Python funkcijo
fun = np.vectorize(fun)        # Poskrbimo, da funkcija sprejme tudi tabele
plt.contourf(X,Y,fun(X,Y),levels=[0,-4]) # narišemo množico točk, pri katerih je leva stran med 0 in -4 (levels=[0,-4])
plt.axis("equal")
plt.title("množica je poln krog")









    Out[113]:





<matplotlib.text.Text at 0x7f2ca8624470>

Faktorizacija polinoma

Reši enačbo $$z^4 + 4 = 0,$$ nato pa razstavi polinom $z^4 + 4$ na dva kvadratna faktorja z realnimi koeficienti.



In [115]:

    
z = Symbol('z')
resitve = solve(z**4+4,z)
resitve









    Out[115]:





$$\left [ -1 - i, \quad -1 + i, \quad 1 - i, \quad 1 + i\right ]$$



In [125]:

    
sym.prod([z-z0 for z0 in resitve])









    Out[125]:





$$\left(z - 1 - i\right) \left(z - 1 + i\right) \left(z + 1 - i\right) \left(z + 1 + i\right)$$

Polinom $z^4+4$ lahko zapišemo kot produkt linearnih faktorjev $(z-z_i)$, kjer so $z_i$ ničle polinoma. Rešitve nastopajo kot konjugirani pari $-1\pm i$ in $1\pm i$. Če skupaj zmnožimo linearne faktorje, ki pripadajo konjugiranemu paru, dobimo razcep na kvadratne faktorje z linearnimi koeficienti.



In [127]:

    
izraz = sym.expand((z-resitve[0])*(z-resitve[1]))*sym.expand((z-resitve[2])*(z-resitve[3]))
izraz









    Out[127]:





$$\left(z^{2} - 2 z + 2\right) \left(z^{2} + 2 z + 2\right)$$



In [128]:

    
# če kvadratna faktorja zmnožimo, dobimo prvotni polinom
sym.expand(izraz)









    Out[128]:





$$z^{4} + 4$$



In [129]:

    
# razcep na kvadratne faktorje lahko izračunamo tudi s funkcijo factor
sym.factor(z**4+4)









    Out[129]:





$$\left(z^{2} - 2 z + 2\right) \left(z^{2} + 2 z + 2\right)$$

Polarni zapis

Kompleksno število lahko zapišemo tudi v polarni obliki $$ z =r e^{i\phi} = r(\cos(\phi) + i\sin(\phi)).$$ Polarna oblika je primerna za množenje, potenciranje in korene.

Primer

Poišči vse korene $$\sqrt[3]{-27+27i}.$$ Iščemo rešitve enačbe $$ z^3 = -27+27i.$$



In [140]:

    
r,f = sym.symbols("r,f",real=True)
z = r*sym.exp(I*f)
z**3









    Out[140]:





$$r^{3} e^{3 i f}$$



In [145]:

    
sym.expand_complex(z**3)









    Out[145]:





$$i r^{3} \sin{\left (3 f \right )} + r^{3} \cos{\left (3 f \right )}$$



In [149]:

    
z0 = -27+27*I 
abs(z0)









    Out[149]:





$$27 \sqrt{2}$$



In [150]:

    
sym.arg(z0)









    Out[150]:





$$\frac{3 \pi}{4}$$

Enačbe dobimo tako, da izenačimo $r^3$ z $|z_0|$ in $3\phi$ z $\arg(z_0)$. V enačbi za argument, lahko eni strani dodamo večkratnik $2\pi$: $$r^3 = 27\sqrt{2}$$ $$3\phi = \frac{3\pi}{4}+2k\pi$$

Rešitev je neskončno $$r = 3\sqrt[6]{2} $$ $$\phi = \frac{\pi}{4} +\frac{2k\pi}{3}$$



In [167]:

    
# Če tabeliramo različne rešitve za vrednosti k = -5,-4,...,0,1,..
from sympy import exp
for k in range(-5,5):
    zi = complex(abs(z0)**(1/3)*exp(1j*pi*(1/4+2*k/3)))
    print("%0.5f\t+\t%0.5fi\n" % (re(zi),im(zi)))









    



-3.25265	+	0.87154i

0.87154	+	-3.25265i

2.38110	+	2.38110i

-3.25265	+	0.87154i

0.87154	+	-3.25265i

2.38110	+	2.38110i

-3.25265	+	0.87154i

0.87154	+	-3.25265i

2.38110	+	2.38110i

-3.25265	+	0.87154i

Čeprav je rešitev za $\phi$ neskončno, je kompleksnih rešitev le končno mnogo - 3, saj se začnejo ponavljati ($e^{i\phi}$ je periodična funkcija s periodo $2\pi$).



In [170]:

    
# rešitve seveda lahko piščemo tudi s solve
z = Symbol("z")
solve(Eq(z**3,-27+27*I),z)









    Out[170]:





$$\left [ \frac{3}{2} 2^{\frac{2}{3}} + \frac{3 i}{2} 2^{\frac{2}{3}}, \quad - \frac{3}{4} 2^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \sqrt{3}}{4} 2^{\frac{2}{3}} - \frac{3 i}{4} 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} - \frac{3 i}{4} 2^{\frac{2}{3}}, \quad - \frac{3 \sqrt{3}}{4} 2^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4} 2^{\frac{2}{3}} - \frac{3 i}{4} 2^{\frac{2}{3}} + \frac{3 i}{4} 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}\right ]$$

<< nazaj: neenačbe



In [1]:

    
import disqus
%reload_ext disqus
%disqus matpy