Zadanie 1

Znaleźć miejsce zerowe wielomianu Lagrange'a, zdefiniowanego przez następujące pary punktów.

x	4.0	3.9	3.8	3.7
y	-0.06604	−0.02724 -0.02724	0.01282	0.05383

Narysować ten wielomian interpolacyjny.



In [ ]:

Zadanie 2

Użyć regresji liniowej aby znaleźć prostą najlepiej pasującą do podanych danych.

x	-1.0	-0.5	0	0.5	1.0
y	-1.00	-0.55	0.00	0.45	1.00



In [ ]:

Zadanie 3

Zbadaj ruch punktu materialnego w poniższym potencjale:

Dla przypadku zachowawczego, narysuj portret fazowy, separatryse i punkty równowagi.
Narysuj kilka rozwiązań układu z tarciem (liniowym mokrym).
Wyznacz częstości małych drgań w dla obu minimów potencjału.
Czy dla dużych aplitud ruchu, częstość zależy od amplitudy? Czy rośnie z amplitudą czy maleje?



In [3]:

    
U(x) = x^4+1/4*x-x^2
plot(U(x),(x,-1.2,1.2),figsize=5)









    Out[3]:



In [ ]:

Zadanie 4

Rozwiąż numerycznie zagadnienie rzutu ukośnego dla prędkości $v_0=2 m/s$ oraz kąta rzutu $\alpha=27$ stopni, wyznacz zasięg rzutu, czas trwania lotu oraz wysokość maksymalną. Narysuj trajektorię. Porównaj otrzymane wartości z wynikami analitycznymi.



In [ ]:

Zadanie 5

Rozwiązać numerycznie równanie Fishera-Kolomogorowa. $$\frac{ \partial u(x,t)}{\partial t} = u (1-u) + \frac{ \partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} $$

Model ten wykazuje rozwiązanie będące frontem falowym poruszającym się ze stałą prędkością. Obliczyć z otrzymanego rozwiązania numerycznego prędkość frontu falowego w modelu i porównać z wartością przewidywaną przez teorię.



In [7]:

    
var('x,t')
b=5/sqrt(6)                                      
cs = 1/(1+ exp((x-b*t)/sqrt(6)))^2 ## rozwiązanie dokładne
show(cs)
bool(cs.diff(t)==cs*(1-cs)+cs.diff(x,2))









    




 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1}{{\left(e^{\left(-\frac{1}{36} \, \sqrt{6} {\left(5 \, \sqrt{6} t - 6 \, x\right)}\right)} + 1\right)}^{2}}$ 






    Out[7]:





True



In [ ]: