1 В компании из 51 человека каждый на дух не переносит ровно троих (при этом они не обязательно отвечают взаимностью). Требуется разделить компанию на $n$ групп так, чтобы каждый человек входил только в одну группу, и между членами каждой из групп царило взаимопонимание. При каком наименьшем $n$ это возможно?

2 Сколько 2014-значных чисел, состаленных из цифр 1,3,4,6,7,9 делится на 9.

3 Докажите, что для любого натурального n больше пяти лист бумаги квадратной формы можно разрезать ровно на n квадратных кусков

4 ДОкажите, что для любого неотрицательного целого n сущесвуют целые числа x,y и z ($0\leq x < y <z$) такие, что выполняется соотношение $n = C_x^1 + C_y^2 + C_z^3$

5 Рассмотрим клетчатую доску размера $N \times M$. Раскрасим клетки доски в шахматном порядке в белый и черный цвет, причем левую верхнюю клетку покрасим в белый цвет. Найдите количество способов вырезать их этой доски содержащий не более 4 черных клеток участок. Резать разрешается только по границам клеток.

(а) N=8,M=8

(б) N=99, M=101

(в) Найдите ответ для произвольных натуральных N и M

6 Придя на письменный экзамен, студенты поняли, что среди любых четырех человек хотя бы один уже знаком с тремя оставшимися. Докажите, что в этом случае среди любых четверых человек хотя бы один уже занком со всеми остальными студентами.

7 У вас имеется неограниченное число костей в форме всех возможных правильных многогранников. Можно ли, однократно бросив некоторый набор таких костей, симулировать бросок (а) правильной семигранной кости (б) правильной 15-гранной кости

8 В 2222 году волейбольные турниры проводят по новой схеме. Говорят, что команда А превосходит команду В, если А выиграла у В или у какой-либо команды, выигравшей у В (правило не транзитивно). Каждая пара команд играет по одному разу. Ничья исключается волейбольными правилами. Чемпионом объявляют комаду, превзошедшуб все другие команды. Докажите, что (а) чемпион обязательно найдется и (б) не может быть ровно двух чемпионов.

9 Даны 2012 гирек разной массы. Они разбиты на две группы (по 1006 в каждой), внутри которых упордочены по массе. Предложите способ за 11 взвешиваний найти 1006-ую гирьку по массе среди всех.

10 Среди участников похода из любых четырех как минимум один знаком с тремя другими. Докажите, что каждый участник похода, кроме максимум трех знаком со всеми остальными

11 Есть 10 монет разного веса и некоторые весы. При помощи одного взвешивания на весах можно узнать для выбранных двух монет, какая тяжелее. Можно ли за 20 взвешиваний узнать, в каком порядке монеты идут по весу?