1 Пусть $A$ - квадратная матрица, у которой сумма матричных элементов в каждом столбце равна $\lambda$. Докажите, что $\lambda$ является собственным значением матрицы $A$

2 Найдите максимальное значение определителя матрицы (а) второго (б) третьего порядка, если сумма квадратов всех ее элементов не превосходит 1

3 Пусть $M \subseteq R$ - множество из $n$ элементов. Пусть далее, $S_M = \{ \frac{x+y}{2}:x,y \in M, x \neq y \} $. Найдите наименьшую возможную мощность множества $S_M$ (одинаковые элементы множества считаются одним элементом).

4 Квадратная матрица $A$ размером $9 \times 9$ над полем характеристики, отличной от 2, такова, что $A^2 = E$. Найдите ранг матрицы $E-A$, если известно, что ранг матрицы $E+A$ равен 7.

5 Пусть $A$ и $B$ - квадратные матрицы размером $2 \times 2$. Рассмотрим линейный оператор $F$ на пространстве матриц $2 \times 2$, действующий по правилу $F(M) = A \cdot M \cdot B$. Матрица $A$ имеет 2 различных собственных значений $\lambda_1$ и $\lambda_2$, а $B$ - 2 различных собственных значений $\mu_1$ и $\mu_2$. Найдите собственное значение оператора $F$ , если (а) матрицы $A,B$ - диагональные (б) матрицы $A,B$ - произвольные.

6 Квадратная матрица A размера $n \times n$ строится следующим образом: $a_{ij} = \left\{ \begin{gathered} 1, {если\ i\ делит\ j} \\ 0, {иначе} \hfill \\ \end{gathered} \right. $ Вычислите определитель матрицы A.

7 Пусть A - невырожденная вещественная матрица $n \times n$, все элементы которой положительны. Докажите, что число нулей среди элементов матрицы $A^{-1}$ не превосходит $n^2-2n$

8 При каких натуральных N существует квадратная матрица порядка N с элементами 0,1, такая что ее квадрат - это матрица из одних единиц?

9 Квадратная матрица А такова, что $tr(AX)=0$ для любой матрицы X, имеющей нулевой след. Докажите, что матрица А является скалярной (то есть имеет вид $\lambda E$ для некоторого скаляра $\lambda$)

10 Пусть А и B - квадратные вещественные матрицы одного и того же размера. Докажите, что $det(E-AB) = det(E-BA)$.

11 Дима и Ваня по очереди вписывают элемент в квадратную матрицу порядка 2n. Цель Вани - сделать так, чтобы получившаяся в итоге матрица имела собственное значение 1, а цель Димы - помешать ему. Дима ходит первым. Есть ли у кого-нибудь из них выигрышная стратегия?

12 Найти определитель матрицы $A = (a_{ij})$, где $a_{ij} = C_{i+j-2}^{i-1}$

13 Докажите, что целочисленная матрица не может иметь собственного значения, равного $\frac{1}{4} (-3 +i \sqrt{5})$.

14 Пусть $J \in Mat_{2n \times 2n} (R)$ - кососимметрическая матрица, $\beta$ - положительное число, а $u \in R^{2n}$ - ненулевой вектор. Найдите $det (E+\beta u u^T J)$.

15 Пусть A и B - квадратные ненулевые матрицы одинакового размера. Верно ли, что если ABA = A, то BAB = B.

16 Пусть A и B - симметричные билинейные функции на двумерном вещественном пространстве, причем A положительно определена,а B отрицательно определена. Докажите, что люба непрерывная кривая в пространстве симметричных билинейных функций, соединяющая A и B, содержит функцию с вырожденной матрицей.

17 Докажите, что многочлен с действительными коэффициентами, принимающий на действительной оси только положительные значения, может быть представлен в виде суммы квадратов многочленов с действительными коэффициентами.

18 Есть неизвестная нам квадратичная форма Q в n-мерном пространстве. Разрешается задавать вопрос вида "Чему равно Q(v)". Какое минимальное число вопросов надо задать, чтобы определить, является ли форма Q положительно определенной?

19 Дана матрица А размера $n \times n$ где $a_{ij} = (i-j)^2,\ i,j=1,\dots,n$. Найдите ранг матрицы А.

20 Имеется множество $A = \{ 1,2,3,\dots,256\}$. Найдите размер максимального по мощности подмножества $A' \subset A$, такого, что $A'$ не содержит элементов $x,y$, таких, что $x=2y$.

21 У линейного преобразования n-мерного пространства существует n+1 собственных векторов, таких что любые n из них линейно независимы. Найдите всевозможные матрицы, которые могли бы задавать такое преобразование.

22 Найдите все квадратные вещественные матрицы порядка 3, удовлетворяющие уравнению $X^2 + E = 0$.

23 Опишите все невырожденные вещественные матрицы А, для которых все элементы матриц А и $A^{-1}$ неотрицательны

24 Найдите и выпишите через пробел пересечения и суммы линейных подпространств заданных как линейные оболочки систем векторов

$V_1 = ((1,-1,2,1,-3),(0,3,2,-4,-1),(1,2,4,-3,-4))$

$V_2 = ((1,1,-2,1,-1),(0,-2,0,-3,5),(2,0,2,-1,-3))$

25 Посчитайте определитель матрицы при n=100. В качестве ответа укажите, сколькими нулями заканчивается полученное число

$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 0 & 2 & 3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n \end{array} \right)$

26 Найдите число подстановок на 9 элементах, коммутирующих с подстановкой

$A = \left( \begin{array}{ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 1 & 4 & 2 & 9 & 6 & 8 & 5 & 7 \end{array} \right)$

27 При каких $x,y \in R$ матрица $\left( \begin{array}{cc} x & y \\ -y & 0 \end{array} \right)$ подобна диагональной вещественной матрице?

В ответе укажите в виде десятичной дроби долю площади множества точек $(x,y)$ в квадрате с вершинами (1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1).

28 Дан неориентированный граф G без петель. Пронумеруем все его вершины. Матрица смежности графа G c конечным числом вершин n (пронумерованных от 1 до n) - это квадратная матрица А размера n, в которой значение элемента $a_{ij}$ равно числу ребер из i вершины в j-ю вершину. Докажите, что матрица А имеет отрицательное собственное значение.

Решение.

Утверждение задачи не совсем верно. Если в графе нет ребер, то матрица нулевая и все собственные значения равны нулю. Если же ребра есть, то А - симметрическая матрица с неотрицательными элементами и нулями на диагонали. Докажем, что у такой матрицы есть неотрицательное собственное значение.

Известный факт, что симметрическая матрица диагонализируема в вещественном базисе. Все собственные значения вещественны. Допустим, что все собственные значения А неотрицательны. Рассмотрим квадратичную форму q с матрицей А в базисе $\{ e_1,\cdots,e_n \}$. Тогда эта квадратичная форма неотрицательно определена, так как все собственные значения неотрицательны. Т.е. $\forall v:\ q(v) \geq 0$. С другой стороны, пусть $a_{ij} \neq 0$. Тогда $q(e_i-e_j) = a_{ii} - 2a_{ij} + a_{jj} = -2a_{ij} < 0$. Это противоречит неотрицательно определенности q. Значит исходное предположение неверно, и у А есть отрицательное собственное значение.

29 Дана матрица из нулей и единиц, причем для каждой строки матрицы верно следующее: если в строке есть единицы, то они все идут подряд. Докажите, что определитель такой матрицы может быть равен $\pm 1$ или 0.

Решение.

Переставляя строки мы можем добмться того, чтобы позиции первых (слева) единиц не убывали сверху вниз. При этом определеитель либо не изменится, либо поменяет знак. Если у двух строк позиции первых единиц совпадают, то вычтем ту, вкоторой меньше единиц из той, в которой больше. Определитель при этом не изменится. Такими операциями мы можем добиться того, что позиции первых единиц строго возрастают сверху вниз. Приэтом либо матрица окажется вырожденной, либо верхнетреугольной с единицвми на диагонли. То есть определитель станет либо 0 либо 1. Так определитель при наших операциях либо не менялся, либо поменял знак, изначальный определитель был $\pm 1$ или 0.