NURBS

Áttekintés

A feladat egy NURBS-görbe kirajzolására képes program elkészítése, mely a görbe megjelenítése mellett a görbe alakját befolyásoló adatok valós idejű megváltoztatását is lehetővé teszi. A görbepontokat a gyakorlaton megismert képlet segítségével kell kiszámolni.

Elvárt jellemzők

Általános elvárások

A házi feladat megvédése csak akkor lehet sikeres, ha a program a jellemzőit tekintve hiánytalan. Az elvárt jellemzőket teljesítő program

• megjeleníti a kontrollpontokat,
• megjeleníti a kontrollpoligont,
• tetszőleges számú kontrollpont elhelyezését teszi lehetővé,
• már elhelyezett kontrollpont mozgatását lehetővé teszi (például drag & drop módszer segítségével),
• lehetővé teszi a súlyok megváltoztatását,
• lehetővé teszi a csomóértékek megváltoztatását, új csomó hozzáadását, a csomók számának csökkentését (természetesen a fokszám változtatásával),
• által kirajzolt görbe valós időben követi a kontrollpontok, súlyok és csomóértékek megváltozását,
• a görbepontok kiszámításához a gyakorlaton megismert képletet használja,
• megakadályozza az illegális értékek megadását, azaz
  • biztosítja, hogy a csomóvektor elemei monoton növekvő sorozatot alkotnak,
  • biztosítja, hogy a csomóértékek száma minden pillanatban a kontrollpontok és a fokszám összege plusz egy,
  • a fokszám értékét a megfelelő határok között tartja, azaz a fokszám nem lehet kisebb, mint $1$, és mindig kisebb, mint a kontrollpontok száma,
  • biztosítja, hogy minden súly nagyobb, mint nulla.

Felhasználói felület

Olyan felhasználói felületet kell készíteni, mely lehetővé teszi a görbe alakját befolyásoló paraméterek kényelmes módosítását. Természetesen ez egy szubjektív, nem mérhető elvárás, azonban két tulajdonságot érdemes szem előtt tartani. Az egyik, hogy kézenfekvő módon lehessen változtatni a paramétereket. A másik pedig az, hogy a súlyok és a csomók aktuális értéke valamilyen módon mindig megjelenjen.

Használhatunk például csúszkákat a súlyok módosításához, vagy kihasználhatjuk az egérgörgőt. Azaz, ha az egérmutatót egy kontrollpont fölé visszük, akkor a görgő segítségével módosíthatjuk a kontrollponthoz rendelt súlyt. Utána egy adott pont helyére a pont súlyával arányban álló sugarú kört rajzolhatunk.

A kiszámítás módja

Legyenek adottak a következők:

• $n + 1$ darab kontrollpont: $P_0, P_1, \ldots, P_{n}$,
• $n + 1$ darab súly, oly módon, hogy $w_i > 0, \; \forall i = 0, 1, \ldots, n$
• $p$, a görbe foka, melyre teljesül, hogy $1 \leq p \leq n$

• $n + 1 + p + 1$ (azaz a kontrollpontok száma és a fokszám plusz egy) darab csomóérték, melyekre teljesül, hogy

  $$ t_i \leq t_{i + 1}, \; \forall i = 0, 1, \ldots, n + p $$

A görbét leíró függvény a következő:

$$ Q(t) = \sum_{i=0}^{n}R_{i, p}(t)P_i \qquad t \in \lbrack t_p, t_{n + 1} \rbrack, $$

ahol

$$ R_{i, p}(t) = \frac{N_{i, p}(t) \cdot w_i}{\sum\limits_{j = 0}^{n}N_{j, p}(t) \cdot w_j}, $$

és

$$ N_{i, 0}(t) = \begin{cases} 1, & \text{ha } t_i \leq t < t_{i + 1} \\ 0, & \text{egyébként} \end{cases} $$$$ N_{i, p}(t) = \frac{t - t_i}{t_{i + p} - t_i} \cdot N_{i, p - 1}(t) + \frac{t_{i + p + 1} - t}{t_{i + p + 1} - t_{i + 1}} \cdot N_{i + 1, p - 1}(t). $$

A fenti képletben, ha bármely tört esetén a nevező értéke $0$ lenne, akkor a tört értékét definíció szerint $0$-nak tekintjük.

Demonstráció

Az elkészítendő program kipróbálható a lenti téglalapban. Kattintással helyezhetőek el új kontrollpontok, és vonszolással helyezhetőek át a meglevőek. A görbe kirajzolásához legalább három darab kontrollpontot kell elhelyezni. A csomóértékek és a fokszám módosítását lehetővé tevő mezők csak ezután fognak megjelenni. Ha az egérmutató egy kontrollpont fölött van, akkor az adott kontrollponthoz tartozó súlyt az egérgörgő segítségével módosíthatjuk.

A demonstráció működéséhez a WebGL és ES6 technológiákat támogató böngésző szükséges.