Estos algoritmos tienen aplicacion a ecuaciones de segundo orden tales que la primera derivada no aparece a la derecha. Ademas conservan la energia del sistema.
$$ \begin{matrix} \frac{d^2y}{dx^2} = f(x, y) \\ f = ma \end{matrix} $$Sumando las ecuaciones (1) y (2) $\implies$ $$ \begin{matrix} y_{n+1} + y_{n-1} = 2y_n + a_nh^2 + O\left(h^4\right) \\ \\ y_{n+1} = 2y_n-y_{n-1} + a_nh^2 + O\left(h^4\right) \end{matrix} $$
Es lo mismo que verlet ($O\left(h^4\right)$) pero conserva mejor la energia del sistema. $$\begin{matrix} v_{n+1} = v_n + \frac{1}{6}\left(2a_{n+1} + 5a_n - a_{n-1}\right)h + O\left(h^3\right) \\ \\ y_{n+!} = y_n + v_nh + \frac{1}{6}\left(4a_n - a_{n-1}\right)h^2 + O\left(h^4\right) \end{matrix}$$
Para el segundo ejemplo: Transformacion $$\begin{matrix} u = 2y-z \rightarrow u' = 2y' - z' \\ \\ v = -y+z \rightarrow v' = -y' -z' \end{matrix}$$
Esto da como solucion: $$\begin{matrix} u = 2e^{-x}-e^{-1000x} \\ \\ v = -e^{-x} + e^{-1000x} \end{matrix}$$
Se requiere pasos pequenos para resolver el sistema.
Cambiando el procedimiento a
$$ y'_{n+1} = \frac{y_{n+1} - y_n}{h} $$Se tiene
$$\begin{matrix} \frac{y_{n+1} - y_n}{h} = -cy_{n+1} \\ \\ y_{n+1}(1 + ch) = y_n \\ \\ y_{n+1} = \frac{y_n}{1+ch} \\ \\ \rightarrow y_n = \frac{y_0}{\left(1+ch\right)^n} \end{matrix}$$Esto nunca diverge.
$y' = f(t,y)$
La ecuacion a resolver es posiblemente no lineal.
En los casos no lineales, la idea es linealizar (al mismo orden que el metodo de discretizacion de la derivada).
Ejemplo:
Dada la ecuacion $$\begin{matrix} y' = f(t,y) \\ y_n = \bar{y}_n \end{matrix}$$ con $y_n = \bar{y}_n$ condicion de borde.
$$ y(t) = \bar{y}_n + \int_{t_n}^t f(t', y)dt' $$Para $t = t_{n+1} \rightarrow y_{n+1} = \bar{y}_n + \int_{t_n}^{t_{n+1}}f(t', y)dt'$. Esto se puede integrar usando, por ejemplo, la regla trapezoidal. Luego
$$ y_{n+1} = \bar{y}_n + \frac{h}{2}\left[f\left(t_{n+1}, y_{n+1}\right) + f\left(t_n, y_n\right)\right] + O\left(h^2\right) $$En general la ecuacion anterior es no lineal. El primer termino de la integral se debe expandir hasta orden $O\left(h^2\right)$
$$ f(t_{n+1}, y_{n+1}) = f(t_{n+1}, y_n) + (y_{n+1} - y_n)\frac{\partial f}{\partial y}\biggr\vert_{t_{n+1}, y_n} + O\left(h^2\right) $$Asi $$\begin{matrix} y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\left[f(t_{n+1}, y_n) + (y_{n+1} - y_n)\frac{\partial f}{\partial y}\biggr|vert_{t_{n+1}, y_{n}} + O\left(h^2\right) + f(t_n, y_n)\right] + O\left(h^3\right) \\ \\ = y_n + \frac{h}{2}\left[f(t_{n+1}, y_n) + f(t_n, y_n)\right] + \frac{h}{2}y_{n+1}\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{h}{2}y_n\frac{\partial f}{\partial y} + O\left(h^3\right) \end{matrix}$$