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확률 변수

확률 변수의 정의

확률 변수(random variable)를 정의하기 위해서는 우선 확률 공간(probability space)이 정의되어 있어야 한다. 확률 공간은 표본 공간(sample space) $\Omega$에서 표본(sample)을 0개 이상 골라서 사건(event)라는 부분 집합을 만든 뒤, 이 사건에 0부터 1사이의 숫자를 붙인 것이다.

확률과 확률 공간의 수학적인 정의에 대해서는 다음 노트북을 참조하라.

[[school_notebook:9341c66303174eea9d35b2e4b6981ed9]]

확률 변수는 표본 공간의 모든 표본에 대해 어떤 실수 값을 붙인 것이다. 확률과의 차이점은 다음과 같다.

확률은 표본으로 이루어진 집합 즉, 사건에 대해 할당된 숫자이지만 확률 변수는 표본 하나 하나에 대해 할당된 숫자이다.
확률은 0부터 1사이의 숫자만 할당할 수 있지만 확률 변수는 모든 실수 범위의 숫자를 할당할 수 있다.

따라서 확률 변수는 표본 공간을 정의역(domain)으로 가지고 실수를 공역(range)으로 가지는 함수라고 할 수 있다. 보통 $X$, $Y$ 등의 대문자 알파벳을 사용하여 확률 변수를 표기한다.

$$ \omega \in \Omega \;\;\; \xrightarrow{X} \;\;\; \text{real value} \in \mathbb{R} $$

이산 확률 변수

예를 들어 주사위의 확률 문제에서 주사위에서 나올 수 있는 모든 면의 집합인 표본집합 $\{⚀,⚁,⚂,⚃,⚄,⚅\}$ 내의 모든 표본에 대해 다음과 같이 숫자를 할당하면 1부터 6까지 값을 가지는 확률변수가 된다. 이렇게 확률 변수값이 연속적(continuous)이지 않고 떨어져(discrete) 있는 경우를 이산 확률 변수(discrete random variable)라고 한다.

$$X(⚀) = 1$$$$X(⚁) = 2$$$$X(⚂) = 3$$$$X(⚃) = 4$$$$X(⚄) = 5$$$$X(⚅) = 6$$

주의 할 점은 이산 확률 변수의 정의는 값의 이산성이지 가능한 경우가 유한하다는 점이 아니라는 점이다. 이산 확률 변수도 연속 확률 변수와 같이 가능한 값 자체는 무한대의 경우의 수가 있을 수 있다. 예를 들어 기하 분포(geometric distribution)는 양의 정수값을 가지는 이산 분포이지만 무한대의 양의 정수도 0이 아닌 확률을 가질 수 있다.

확률 변수를 정의한다는 것은 표본(sample)이라는 추상적이고 일반적인 개념대신 숫자라는 명확한 개념을 대신 사용하겠다는 의미이다. 현실적으로도 계산이 가능한 것은 숫자 뿐이므로 데이터 분석을 수행하기 위해서는 결국 표본의 특성(feature)을 숫자로 변환하는 단계가 필요하다.

연속 확률 변수

이번에는 주사위가 아닌 시계 바늘을 예로 들어보자. 시계 바늘이 특정한 위치를 가르키는 현상을 표본(sample)으로 생각하고 12시를 기준으로 해당 위치까지의 각도를 확률 변수로 하면 이 연속 확률 변수의 값은 실수(real number) 집합처럼 연속적이고 무한개의 경우의 수를 가진다. 이러한 확률 변수를 연속 확률 변수 (continuous random variable)라고 한다.



In [7]:

    
%%tikz
\filldraw [fill=white] (0,0) circle [radius=1cm];
\foreach \angle in {60,30,...,-270} {
  \draw[line width=1pt] (\angle:0.9cm) -- (\angle:1cm);
}
\draw (0,0) -- (90:0.8cm);

확률의 정의에서 다루었듯이 이 시계바늘 문제에서 시계바늘이 특정한 시각을 가리킬 확률은 0도이다. 따라서 확률을 정의할 때 특정한 각도에 대해 정의한 것이 아니라 구간(inteval)이라는 사건(event)에 대해 확률을 정의하였다.

확률 변수를 사용하여 얻을 수 있는 또 다른 장점은 이와 같은 연속 확률 분포의 경우에 사건(event)을 수직선 상의 실수 구간(interval)으로 변환할 수 있다는 것이다. 구간은 시작점과 끝점이라는 두 개의 숫자로 묘사하는 것이 가능하므로 결국 두 개의 실수 숫자 쌍으로 사건을 정의 할 수 있다.

예를 들어 $\{ a \leq X < b \}$ 라는 사건은 사실 표본에 할당된 확률 변수의 값이 $a$ 보다 같거나 크고 $b$ 보다 작은 모든 표본들을 모아 놓은 부분집합인 사건을 가리키는 것으로 본다.

$$ \{ a \leq X < b \} = \{ \omega ; a \leq X(\omega) < b \} $$

따라서 확률 자체도 원래의 정의처럼 사건 자체에 대해 정의할 필요 없이 다음과 같이 실수 구간에 대해 정의할 수 있다.

$$P(\{ a \leq X < b \}) = P(\{ \omega ; a \leq X(\omega) < b \}) $$

시계 바늘 확률 문제의 경우를 예로 들면 시계바늘이 가리키는 위치의 각도는 확률 변수가 된다. 또한 확률을 정의하기 위한 사건(event)은 다음과 같이 두 위치 사이의 각(degree)이 된다. 따라서 다음과 같은 사건 및 이에 해당하는 확률을 가질 수 있다.

$$ P(\{ 30^{\circ} \leq \theta < 60^{\circ} \}) $$$$ P(\{ 10^{\circ} \leq \theta < 20^{\circ} \}) $$$$ P(\{ 90^{\circ} \leq \theta < 180^{\circ} \}) $$