

In [1]:

    
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as sts
%matplotlib inline

Дискретное распределение

Сгенерируем выборку объёма 100 из дискретного распределения с шестью равновероятными исходами.



In [2]:

    
sample = np.random.choice([1,2,3,4,5,6], 100)

Представим теперь, что эта выборка была получена не искусственно, а путём подбрасывания симметричного шестигранного кубика 100 раз. Оценим вероятности выпадения каждой из сторон с помощью частот:



In [3]:

    
# посчитаем число выпадений каждой из сторон:
from collections import Counter

c = Counter(sample)

print("Число выпадений каждой из сторон:")    
print(c)

# теперь поделим на общее число подбрасываний и получим вероятности:
print("Вероятности выпадений каждой из сторон:")
print({k: v/100.0 for k, v in c.items()})









    



Число выпадений каждой из сторон:
Counter({1: 24, 2: 20, 3: 16, 4: 15, 6: 14, 5: 11})
Вероятности выпадений каждой из сторон:
{1: 0.24, 2: 0.2, 3: 0.16, 4: 0.15, 5: 0.11, 6: 0.14}

Это и есть оценка функции вероятности дискретного распределения.

Непрерывное распределение

Сгенерируем выборку объёма 100 из стандартного нормального распределения (с $\mu=0$ и $\sigma^2=1$):



In [4]:

    
norm_rv = sts.norm(0, 1)
sample = norm_rv.rvs(100)

Эмпирическая функция распределения для полученной выборки:



In [5]:

    
x = np.linspace(-4,4,100)
cdf = norm_rv.cdf(x)
plt.plot(x, cdf, label='theoretical CDF')

# для построения ECDF используем библиотеку statsmodels
from statsmodels.distributions.empirical_distribution import ECDF
ecdf = ECDF(sample)
plt.step(ecdf.x, ecdf.y, label='ECDF')

plt.ylabel('$f(x)$')
plt.xlabel('$x$')
plt.legend(loc='upper left')









    Out[5]:





<matplotlib.legend.Legend at 0xa5136a0>

Гистограмма выборки:



In [6]:

    
plt.hist(sample, normed=True)
plt.ylabel('number of samples')
plt.xlabel('$x$')









    Out[6]:





<matplotlib.text.Text at 0xa63a6d8>

Попробуем задавать число карманов гистограммы вручную:



In [7]:

    
plt.hist(sample, bins=3, normed=True)
plt.ylabel('number of samples')
plt.xlabel('$x$')









    Out[7]:





<matplotlib.text.Text at 0xac59dd8>



In [8]:

    
plt.hist(sample, bins=40, normed=True)
plt.ylabel('number of samples')
plt.xlabel('$x$')









    Out[8]:





<matplotlib.text.Text at 0xae2e748>

Эмпирическая оценка плотности, построенная по выборке с помощью ядерного сглаживания:



In [9]:

    
# для построения используем библиотеку Pandas:
df = pd.DataFrame(sample, columns=['KDE'])
ax = df.plot(kind='density')

# на том же графике построим теоретическую плотность распределения:
x = np.linspace(-4,4,100)
pdf = norm_rv.pdf(x)
plt.plot(x, pdf, label='theoretical pdf', alpha=0.5)
plt.legend()
plt.ylabel('$f(x)$')
plt.xlabel('$x$')









    Out[9]:





<matplotlib.text.Text at 0xba36ef0>