Derivative of Sigmoid Function
\begin{align*}
\dfrac{d}{dx} \sigma(x) &= \dfrac{d}{dx} \left[ \dfrac{1}{1 + e^{-x}} \right] \\ \\
&= \dfrac{d}{dx} \left( 1 + e^{-x} \right)^{-1} \\ \\
&= \dfrac{\partial(1 + e^{-x})^{-1}}{\partial(1 + e^{-x})} \cdot \dfrac{\partial(1 + e^{-x})}{\partial e^{-x}} \cdot \dfrac{\partial e^{-x}}{\partial x} \quad(chain\ rule)\\ \\
&= -(1 + e^{-x})^{-2} \cdot -e^{-x} \\ \\
&= \dfrac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^{2}} \\ \\
&= \dfrac{1}{1 + e^{-x}} \cdot \dfrac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \\ \\
&= \dfrac{1}{1 + e^{-x}} \left(1 - \dfrac{1}{1 + e^{-x}} \right) \\ \\
&= \mathbf{\sigma(x)(1 - \sigma(x)) = \sigma^\prime(x)}
\end{align*}