Resolução dos exercícios da seção 1

Exercício 3: De quantas maneiras diferentes podemos obter a primeira e então a segunda carta com um baralho de 52 cartas?

Solução:

  • Na primeira escolha, $s_1$, podem ser formados $52$ subconjuntos.
  • Na segunda escolha, $s_2$, podem ser formados $52 - 1 = 51$ subconjuntos, pois a carta escolhida no passo anterior não pode ser escolhida novamente na segunda escolha.

Pelo princípio do produto temos:

\begin{align*} \left| S \right| = \left| s_1 \right| \times \left| s_2 \right| = 52 \times 51 = 2652 \end{align*}

Ou seja, $2652$ combinações (ou maneiras diferentes).

Exercício 4: De quantas maneiras diferentes podemos obter duas cartas de um baralho de 52 cartas?

Solução:

O raciocínio é semelhante ao usado no Exercício 3. Entretanto, ao invés de fazer duas escolhas em sequência, é uma escolha de duas cartas, ou seja, um par. Assim o problema se torna: quantos pares de cartas (ou subconjuntos com dois elementos) podem ser formados de um baralho de 52 cartas? Como o par de cartas $(1, 2) = (2, 1)$ tem-se o seguinte:

\begin{align*} \frac{n \times (n - 1)}{2} = \frac{52 \times 51}{2} = \frac{2652}{2} = 1326 \end{align*}

Exercício 5: De quantas maneiras diferentes podemos obter a primeira, a segunda e a terceira carta de um baralho de 52 cartas?

Solução:

O raciocínio é semelhante ao usado no Exercício 3:

  • Na primeira escolha, $s_1$, podem ser formados $52$ subconjuntos
  • Na segunda escolha, $s_2$, podem ser formados $52 - 1 = 51$ subconjuntos
  • Na segunda escolha, $s_3$, podem ser formados $52 - 2 = 50$ subconjuntos

Pelo princípio do produto, temos:

\begin{align*} \left| S \right| & = \left| s_1 \right| \times \left| s_2 \right| \times \left| s_3 \right| \\ & = 52 \times 51 \times 50 \\ & = 132.600 \end{align*}

Ou seja, $132.600$ combinações (ou maneiras diferentes).

Exercício 6: De quantas maneiras diferentes um clube com 10 sócios pode eleger um presidente e um tesoureiro dentre os seus participantes?

Solução:

O raciocínio é semelhante ao usado no Exercício 3. Uma eleição é similar a uma escolha, então o enunciado trata de duas escolhas (eleições) em sequência:

  • Na primeira eleição, para presidente, $s_1$, podem ser eleitos $10$ sócios
  • Na segunda eleição, para tesoureiro, $s_2$, podem ser eleitos $9$ sócios, pois um deles já foi eleito para presidente

Pelo princípio do produto, temos:

\begin{align*} \left| S \right| = \left| s_1 \right| \times \left| s_2 \right| & = 10 \times 9 & = 90 \end{align*}

Ou seja, $90$ combinações (ou maneiras diferentes).

Exercício 7: De quantas maneiras diferentes um clube com 10 sócios pode eleger um comitê executivo de duas pessoas dentre seus participantes?

Solução:

O raciocínio é semelhante ao usado no Exercício 4: o objetivo é saber quantas escolhas (eleições) de um par podem ser feitas dentre os sócios do clube. A resposta é:

\begin{align*} \frac{n \times (n - 1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45 \end{align*}

Ou seja, $45$ combinações (ou maneiras diferentes).

Exercício 8: De quantas maneiras diferentes um clube com 10 sócios pode eleger um presidente e um quadro com dois conselheiros executivos dentre os seus sócios (supondo que o presidente não esteja no quadro de conselheiros)?

Solução:

  • Para a eleição do presidente, há $10$ possibilidades
  • Assim, com um presidente já eleito, restam $9$ membros para a eleição do quadro com dois executivos
  • Escolher o quadro de executivos é o mesmo que escolher um par entre $9$ membros

Assim:

\begin{align*} 10 \times \frac{9 \times 8}{2} = 10 \times \frac{72}{2} = 10 \times 36 = 360 \end{align*}

Ou seja, $360$ combinações (ou maneiras diferentes).

Exercício 9: Usando a fórmula para $\binom{n}{2}$, é simples mostrar que:

\begin{align*} n \times \binom{n - 1}{2} = \binom{n}{2} \times (n - 2) \end{align*}

No entanto, essa prova simplesmente usa substituição cega e simplificação. Encontre uma explicação mais conceitual do porquê de essa fórmula ser verdadeira. (Dica: pense a partir do ponto de vista dos dirigentes e participantes do comitê de um clube.)

Solução:

O Exercício 9 trata de outra forma de enxergar o Exercício 8. Em outras palavras, a demonstração indica que a quantidade de maneiras diferentes para escolher um elemento entre $n$ seguida de outra escolha de um par dentre os $n - 1$ elementos restantes é igual à quantidade de maneiras diferentes de escolher um par entre $n$ elementos seguida de uma escolha dentre os $n - 2$ elementos restantes.

Usando o enunciado do Exercício 9:

\begin{align*} 10 \times \binom{9}{2} = \binom{10}{2} \times 8 \\ 10 \times \frac{9 \times 8}{2} = \frac{10 \times 9}{2} \times 8 \\ \frac{10 \times 9 \times 8}{2} = \frac{10 \times 9 \times 8}{2} \end{align*}

Exercício 11: A sorveteria local comercializa dez sabores diferentes de sorvete. Quantos sorvetes com duas bolas de sabores diferentes existem? (Seguindo a opinião de sua mãe de que tudo vai para o estômago, um sorvete de chocolate com uma bola de baunilha por cima é considerado o mesmo que um sorvete de baunilha com chocolate por cima.)

Solução:

O raciocínio é o mesmo usado no Exercício 4:

  • Uma vez que um par $(chocolate, baunilha) = (baunilha, chocolate)$; e
  • Os sorvetes têm duas bolas com sabores diferentes:
\begin{align*} \frac{n \times (n - 1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \end{align*}

Ou seja, $45$ combinações (ou maneiras diferentes).

Exercício 12: Imagine que você decicidiu não concordar com sua mãe no Problema 11, isto é, a ordem das bolas importa. Quantos sorvetes diferentes de dois sabores podem existir?

Solução:

  • Um par $(chocolate, baunilha) \neq (baunilha, chocolate)$; e
  • O enunciado não informa que não possa ocorrer o par $(chocolate, chocolate)$, ou seja, um sorvete pode ter duas bolas de sabores iguais:
\begin{align*} 10 \times 10 = 100 \end{align*}

.

Ou seja, $100$ combinações (maneiras diferentes).

Exercício 14: A lanchonete Pile High Deli oferece um sanduíche simples feito a partir da escolha de um dos cinco diferentes tipos de pães; incluindo ou não manteiga ou maionese; mais um dos três diferentes tipos de carne; e um dos três diferentes tipos de queijo, com carne e queijo sobre o pão. De quantas maneiras você pode escolher um simples sanduíche?

Solução:

Em resumo:

  • tipos de pães: $\left|P\right|=5$
  • opções de molho (nenhum, manteiga, maionese): $\left|M\right|=3$
  • tipos de carnes: $\left|C\right|=3$
  • tipos de queijo: $\left|Q\right|=3$
  • $S = P \cup M \cup C \cup Q$:
\begin{align*} \left| S \right| = 5 \times 3 \times 3 \times 3 = 135 \end{align*}

Ou seja, $135$ combinações (maneiras diferentes).

A figura a seguir ilustra esse processo na forma de uma árvore que demonstra as possibilidades de combinações entre os ingredientes do sanduíche.

Os nós-folha representam as combinações.