Para qualquer inteiro $n \geq 0$,
\begin{align*} (x + y)^n = \binom{n}{0} x^{n-0}y^0 + \binom{n}{1} x^{n-1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + ... + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n-1} + \binom{n}{n}x^0y^n \end{align*}ou, em notação de somatório,
\begin{align*} (x + y)^n = \sum^{n}_{i=0} \binom{n}{i} x^{n-i}y^i \end{align*}Exemplo: Encontre o valor da equação $(x+y)^3$ usando o teorema do binômio:
\begin{align*} (x+y)^3 &= \binom{3}{0}x^3 + \binom{3}{1}x^2y + \binom{3}{2}xy^2 + \binom{3}{3}y^3 \\ &= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \end{align*}Verifique que o valor é o mesmo que se tentássemos resolver $(x+y)(x+y)(x+y)$ aplicando leis distributivas.
Exercício: Aplique o teorema do binômio para encontrar o valor das equações a seguir:
a) $(x+1)^4$
b) $(2+y)^4$
c) $(x+y)^4$
O número de maneiras de aplicar $k$ rótulos de um tipo e $n-k$ rótulos de outro tipo a $n$ objetos é $\binom{n}{k}$.
O coeficiente trinomial $\binom{n}{k_1, k_2, k_3}$ é $\frac{n!}{k_1!k_2!k_3!}$ se $k_1 + k_2 + k_3 = n$, caso contrário, é $0$.
Para qualquer inteiro $n \geq 0$
\begin{align*} (x+y+z)^n = \binom{n}{i, j, k} \end{align*}Considerando $x^iy^jz^k$ e $i + j + k = n$.