Circa la metà delle pulsar conosciute sono isolate, quindi non si possono vedere effetti doppler intrinseci dovuti a orbite; l'altra metà invece è in sistemi binari, e dagli studi doppler sulle pulsazioni si possono usare variazioni delle orbite (ovviamente $\Leftrightarrow$ è possibile risolvere completamente la dinamica del sistema).
Sotto la crosta rigida delle NS si suppone esserci un mantello con materia in uno stato superfluido, cioè un insieme di neutroni accoppiati con spin $\uparrow \downarrow$, come coppie di Cooper. Sotto si suppone un nucleo forse di quark-gluon plasma. Diversi modelli implicano diverse eq stato che implicano diversa rigidità (interna) e diversi momenti d'inerzia. Questo implica che mentre gli effetti orbitali possono essere ben visibili, difficilmente possono essere descrivibili predettivamente dal punto di vista gravitazionale e relgen, dato che $\omega(t)$ di rotazione è facilmente misurabile, ma mom inerzia no.
Una distanza tipica tra due NS in sistema binario è $\sim 10^3 km$, il raggio tipico di una NS è $\sim 10 km\ll 10^3 km$, quindi consideriamo le NS del sistema come puntiformi. PSR1913+16 è Sistema binario con NS e pulsar, ha $d\sim 10^6 km$, $i \sim 45°$, $T \sim 7h$. Osservato in banda radio, vari effetti modificano il segnale e vanno corretti, eg dispersione $\omega$ da atmosfera, eg doppler orbita Terra (si risolve correggendo l'osservatore ponendolo in cm del sistema solare CHE SIGNIFICA PRATICAMENTE? TODO).
Fornisce un ambiente con situazioni molto più spinte per misurare effetti relgen rispetto a esperimenti su terra o basati su sistema solare. Eg precessione periastro è di $\approx 4°$/anno, 100 volte quello di Mercurio. Relgen ha quindi ruolo preponderante ed è semplice da trattare in approssimazione puntiforme.
Dalle misure si estraggono i parametri kepleriani e sopratutto post kepleriani: precessione periastro, redshift gravitazionale e/o shapiro delay? TODO, e cosa più importante $\dot{\omega}$ del NB periodo orbitale, non delle singole stelle. Il periodo orbitale dovrebbe essere costante, ma qualcosa disperde energia, uniche due spiegazioni possibili: che ci sia qualche forma di attrito magari in trasferimento di materia (poco plausibile da osservazioni); momento di quadrupolo non nullo $\Rightarrow$ onde gravitazionali.
Molto probabilmente pulsar, altrimenti difficili da spiegare radiopulsazioni da campo magnetico. Alternative possibili meno probabili BH, WD, NS non magnetica.
Da funzione di massa, si ricava una massa totale del sistema di $M_{tot} = 2.85 M_\odot$. Tenendo conto di $i$ e $\dot{P}$, una spiegazione probabile è di due NS di $\sim 1.4 M_\odot$
TODO nota che non capisco su rotazione uniforme o differenziale NB il fatto che sono circa masse uguali viene da massa ridotta pari a circa 1/2, unico parametro misurabile direttamente non ho capito
Ricavabili analiticamente da parametri kepleriani in funzione delle masse. Cioè fissando $P_{orb}$ e $e$ (eccentricità orbita ellittica) i variano $M_1$, $M_2$ per capire dove questi corrispondono con $\gamma$ (TODO gamma è indice di redshift grav?), $\dot{P}$ orbitale, precessione periastro. Sì è ottenuto così che un oggetto ha $M_1 = 1,44 M_\odot$ ed è la pulsar radio osservata, l'altro ha $M_2 = 1,38 M_\odot$ e probabilmente è una WD.
Ponendo di aver ottenuto le best masse con i fit di $P$ e $e$ rispetto a $\gamma$ e precessione periastro, fissandole in $P(t)$ e vedendo se corrisponde a ipotesi di $\dot{P}$ da sole onde gravitazionali, si ha un fit molto esatto. Le onde grav esistono, trasportano energia e info.
Prima si pensava che onde gravitazionali fossero solo un effetto di gauge, senza trasporto di energia (bug in logica di sviluppo teorico), poi venne dimostrato teoricamente che portano energia qualunque scelta di gauge, e osservazione di 1913+16 chiude la discussione con altissima significatività.
Ora si usano sistemi con 2 pulsar per avere il doppio di informazioni, ma gli effetti relativistici finora sono sempre rimasti entro i PPN. Ma NB, finora non si è potuto avere un constraint davvero significativo quando gli effetti relativistici sono fortissimi, perché teoria ppn si è fatta sempre nel confine della teoria delle perturbazioni, cioè con effetti fino a una certa intensità. Se si è vicini a un BH la soluzione analitica da teoria perturbativa è impossibile da ricavare, si va alla risoluzione numerica con eq differenziali con derivate parziali a differenze finite controllare sensatezza di tutto ciò, ricordare bene eq der parz a diff fin TODO
TODO ripassare ppn e come 1913+16 è stato utile per ricavare constraint su deviazioni a ppn e a teoria brans dicke (che è)?
In [ ]:
Consideriamo il moto non relativistico di una particella in un campo gravitazionale costante, con un certo numero di altre forze $\vec{F}_k$ sulla particella. L'equazione del moto, per la meccanica Newtoniana è $m_{I} d^2 \vec{x}/dt^2 = m_{G}\vec{g}+\sum_{k}\vec{F}_k$. Immaginando di posizionarci in un ascensore in caduta libera nello stesso campo gravitazionale stiamo effettuando una trasformazione di coordinate $\left[\vec{x}' = \vec{x}-\vec{g}t^2/2;\;t' = t\right]$ e l'equazione del modo diventa, con $\vec{x} = \vec{x}'+\vec{g}t^2/2$ e svolgendo la derivata, $m_{I} \left(d^2 \vec{x}'/dt^2+\vec{g}\right) = m_{G}\vec{g}+\sum_{k}\vec{F}_k$. Se poniamo valido il principio di equivalenza, $m_{I} \propto m_{G}$, per ogni particella, le $\vec{g}$ si semplificano e l'equazione diventa $m_{I} d^2 \vec{x}'/dt^2 = \sum_{k}\vec{F}_k$. Quindi un orsservatore $O'$ nell'ascensore, cioè in caduta libera, vede le stesse leggi fisiche di $O$, ma non sente il campo gravitazionale. Questo risultato è la diretta conseguenza dell'equivalenza tra la massa inerziale e la massa gravitazionale (v appunti per verifiche sperimentali TODO). Se non valesse non potremmo semplificare $\vec{g}$.
NB anche se non fosse costante potremmo considerare un intervallo di tempo sufficientemente piccolo da porlo costante, trascurando cioè eventuali termini con derivate di $g$
Se poniamo la particella inizialmente a riposo e $F_k = 0,\;\forall k$ questa starebbe a riposo per sempre nel sistema di riferimento in caduta libera. Questo è definito come sistema di riferimento localmente inerziale. Se il campo gravitazionale è considerabile costante e uniforme ovunque il lif coprirebbe tutto lo spaziotempo, se non è così si può definire il lif in un intorno di un qualsiasi punto.
Il principio di equivalenza quindi può essere enunciato in termini di equivalenza di leggi fisiche: in un qualsiasi punto dello spaziotempo in un arbitrario campo gravitazionale, possiamo scegliere un lif tale che, in un intorno di un punto, tutte le leggi fisiche (principio forte) / tutte le leggi del moto (principio debole) hanno la stessa forma che avrebbero in assenza di gravità, cioè in quella prescritta dalla Relatività Ristretta.
Questo comportamento è fondamentale perché distingue la gravità da qualsiasi altra forza: ogni corpo, posta la stessa velocità iniziale, segue la stessa traiettoria in un campo gravitazionale, indipendentemente dalla propria struttura interna.
NB per i campi elettromagnetici ciò non vale data la differenza tra corpi carichi e neutri, e tra corpi carichi con diverso rapporto $Q/M$. Men che meno vale per interazione debole e forte.
Per questo motivo è possibile descrivere gli effetti della gravità in termini di geometria curva, mentre ponendoci in un lif la metrica è quella di Minkowsky e l'intervallo $ds^2$ quella della Rel Spec.
NB il principio di equivalenza, nei confronti della rel spec è come l'assioma di gauss nei confronti della geometria di pitagora, per cui le equazioni della gravità avranno una certa somiglianza con quelle della geometria di Riemann.
Determinare l'equazione delle geodetiche significa quindi determinare le equazioni del moto di una particelle che si muove sotto l'azione esclusiva di un campo gravitazionale, osservato da una sistema di riferimento arbitrario. Consideriamo il sistema di riferimento inerziale in caduta libera con la particella. La distanza secondo la metrica di Minkowsky ($\eta = diag(-1,1,1,1)$, spazio tempo piatto) sarà $ds^2 = \eta_{\mu \nu} d\xi^\mu d\xi^\nu = d\xi_\mu d\xi^\nu$. Se il tempo proprio della particella $\tau$ è scelto come coordinata temporale, per il principio di equivalenza l'equazione del moto sarà $d^2 \xi^\alpha/d\tau^2 = 0$. Ora cambiamo sistema di riferimento in $x^{\alpha} = x^\alpha(\xi^\alpha)$, cioè assegnando una legge di trasformazione delle nuove coord in funzione delle vecchie. Ora la distanza sarà $ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$, dove il nuovo tensore metrico sarà $$g_{\mu \nu} = \frac{\partial\xi^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{\partial \xi^\beta}{\partial x^\nu} \eta_{\alpha \beta}$$.
In questo sistema di riferimento le equazioni del moto, dette anche equazione della geodetica saranno
$$\ \frac{d^2x^\alpha}{d \tau^2} + \Gamma^\alpha_{\mu \nu}\left( \frac{dx^\mu}{d \tau}\frac{dx^\nu}{d \tau} \right) = 0,$$con i simboli di Cristoffel alias connessioni affini $\Gamma^\alpha_{\mu \nu} = \partial x^\alpha / \partial \xi^\lambda \cdot \partial^2 \xi^\lambda / \partial x^\mu \partial x^\nu$.
Per il principio di equivalenza, se siamo in un lic possiamo eliminare la forza gravitazionale e le equazioni del moto sono quelle di una particella libera. Se però ci spostiamo in un altro sistema sentiamo il campo gravitazionale (e in aggiunta tutte le altre forze apparenti come centrifuga, Coriolis, trascinamenti), per cui l'equazione del moto, cioè della geodetica prende il termine addizionale. Questo esprime la forza gravitazionale per unità di massa che agisce sulla particella. Se fossimo in meccanica Newtoniana, questo sarebbe semplicemente $\vec{g}$ (più eventuali accelerazioni apparenti, che per semplicità possiamo escludere mettendoci in un opportuno riferimento), che rappresenta il gradiente del potenziale gravitazionale.
Le connessioni affini contengono le derivate seconde di $\xi^\alpha$ e cioè contengono le derivate prime di $g_{\mu\nu}$: $ \Gamma^\sigma_{\lambda \mu} = g^{\nu \sigma}/2\cdot (\partial_\lambda g_{\mu \nu}+\partial_\mu g_{ \nu \lambda} +\partial_\nu g_{\lambda \mu} )$
In analogia con la legge di Newton, possiamo dire che le connessioni affini sono le generalizzazioni del campo gravitazionale Newtoniano, mentre il tensore metrico è la generalizzazione del potenziale gravitazionale Newtoniano
Visto dal punto di vista delle derivate covarianti, le connessioni affini sono il termine aggiuntivo della definizione. Considerando infatti un campo vettoriale $\vec{V} = V^\mu \vec{e}_{(\mu)}$, la sua derivata parziale sarà $\partial \vec{V}/\partial x^\beta = \partial_\beta \vec{V} = \partial_\beta V^\alpha \vec{e}_{(\alpha)} + V^\alpha \partial_\beta \vec{e}_{(\alpha)}$. Il primo addendo è semplicemente un vettore come combinazione lineare dei vettori della base, il secondo termine invece coinvolge le derivate del vettore della base. Per calcolarla serve conoscere la quantità $\vec{e}(\vec{p}') - \vec{e}(\vec{p})$, ma questa è una sottrazione tra due vettori in due punti diversi della varietà che quindi appartengono a spazi tangenti alla varietà in generale diversi, è pertanto necessario specificare come compararli tramite una regola chiamata connessione.
Consideriamo per iniziare lo spaziotempo di Minkowsky, si può definire un sistema di coordinate globali ($x^\mu = (ct,x,y,z)$); a ogni punto $P$ della varietà esiste la base delle coordinate $\vec{e}_{(\mu)}(P)$ che appartiene allo spazio tangente $T_P$. In questo caso vi è una regola semplice che impone che su differenti spazi tangenti, ogni vettore della base in $P$ sia uguale al corrispondente vettore della base di qualsiasi altro punto: $\vec{e}_{(\mu)}(P) = \vec{e}_{(\mu)}(P') \Rightarrow \partial_\nu \vec{e}_{(\mu)} = 0$.
Ora consideriamo uno spaziotempo generico. Per il principio di equivalenza a ogni punto della varietà possiamo scegliere un lif dove le leggi della fisica sono (localmente) quelle della relatività speciale, cioè dello spaziotempo di Minkowsky. Pertanto, la scelta naturale per le connessioni affini è imporre che in un lif i vettori della base sono costanti. In questo modo è possibile calcolare la derivata di un vettore della base in un certo punto della varietà:
I $\Gamma$ sono detti connessioni affini (nel caso dello spazio tempo di Minkowsky $\Gamma = 0$ sempre) e la derivata iniziale diventa
$$\partial_\beta \vec{V} = \partial_\beta V^\alpha\vec{e}_{(\alpha)} + V^\alpha \Gamma_{\alpha \beta}^\mu \vec{e}_{(\mu)} = \left( \partial_\beta V^\alpha + V^\sigma \Gamma_{\sigma \beta}^\alpha\right)\vec{e}_{(\alpha)}$$che quindi è anche un campo vettoriale, con le basi appropriate e con i coefficienti definiti come la derivata covariante rispetto a $\beta$ di $V^\alpha$.
NB la derivata covariante del tensore metrico, qualunque metrica sia, è sempre zero.
NB i $\Gamma$ sono simmetrici per scambio dei due indici doppi.
RB la der cov coincide con la der se siamo in spaziotempo piatto, o in caso di spaziotempo curvo se siamo in un lif, dove i vettori di base sono costanti e i $\Gamma = 0$.
Possiamo sempre trovare un sisrif ove $g_{\mu \nu} \rightarrow \eta_{\mu \nu}$ dove $\Gamma_{\mu \beta}^\alpha = 0$ e quindi svanisce la prima derivata di $g_{\mu\nu}$ TODO perché?. Quindi per conoscere se siamo in presenza di un campo gravitazionale, cioè se lo spaziotempo è curvato, necessitiamo di conoscere la seconda derivata del tensore metrico $\partial_\alpha \partial_\beta g_{\mu\nu}$. In 4 dimensioni infatti c'è bisogno di sei funzioni (invarianti) per descrivere le proprietà intrinseche della superficie di curvatura, mediante quindi un tensore che contiene le seconde derivate del tensore metrico: il tensore di curvatura.
Trasporto parallelo significa che per ogni infinitesimale spostamento, il vettore traslato deve essere parallelo a quello originale e deve avere la stessa lunghezza. Che succede se trasportiamo parallelamente un vettore lungo un certo percorso in geometria piana piuttosto che curva?
Su una varietà curva è impossibile definire globalmente un campo vettoriale parallelo. Il trasporto parallelo di un vettore dipende dal persorso lungo il quale questo viene trasportato.
Consideriamo un vettore $\vec{V}$ trasportato parallelamente lungo una curva di un infinitesimo $d\lambda$, e sia $\vec{U}$ il vettore tangene alla curva nello stesso punto di $\vec{V}$. Le sue componenti non cambiano $dV^\alpha / d\lambda = 0$, ma $dV^\alpha / d\lambda = \partial V^\alpha / \partial \xi^\beta \cdot \partial \xi^\beta /\partial \lambda = U^\beta \partial_\beta V^\alpha = 0$. Dato che siamo in un lif derivata covariante e ordinaria coincidono $\Rightarrow U^\beta D_\beta V^\alpha = 0$ e dato che è una equazione tensoriale, deve essere vera per tutti i sisrif anche non inerziali. Quindi la definizione invaiante di trasporto parallelo di un vettore è identificata dal vettore tangente: $$ U^\beta D_\beta V^\alpha = \frac{dx^\beta}{d\lambda} \left(\partial_\beta V^\alpha + \Gamma^\alpha_{\beta \nu V^\nu}\right) = \frac{dV^\alpha}{d \lambda} + \Gamma^\alpha_{\beta \nu} V^\nu U^\beta = 0 $$ e quindi, contrariamente a quanto avviene nello spazio piatto, le componenti di un vettore trasportato parallelamente lungo una curva nello spazio curvo cambia, e il cambiamento è dato da $dV^\alpha/d\lambda = -\Gamma^\alpha_{\beta \nu} V^\nu U^\beta$
Usando il concetto di trasporto parallelo si può ridefinire l'equazione delle geodetiche: $U^\alpha D_\alpha U^\mu = 0$, dove $U$ è il vettore tangente alla wordline $x^\mu(\tau)$ di una particella soggetta al più a un campo gravitazionale (quindi la sua quadrivelocità): $U^\mu = d x^\mu / d\tau$ ($\tau$ è il tempo proprio). Quindi le geodetiche sono quelle curve che trasportano parallelamente i loro stessi vettori tangenti.
NB questa equazione è valida assumendo che la geodesica sia la worldline di una particella massiva, cioè una curva timelike. Si può ricavare una equazione più generale, non usando il tempo proprio come parametro ma un parametro generico che può esprimere geodetiche timelike che quindi rappresentano la worldline di una particella massiva, ma anche null (worldline di una particella non massiva), spacelike (wordline di nessuna particella).
$R^\alpha_{\beta\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\alpha_{\beta\nu} - \partial_\nu \Gamma^\alpha_{\beta\mu} + \Gamma^\alpha_{\nu\kappa} \Gamma^\kappa_{\beta\mu} - \Gamma^\alpha_{\mu\kappa} \Gamma^\kappa_{\beta\nu}$ è detto tensore di Riemann o tensore di Curvatura. Si può dimostrare che è l'unico tensore che può essere costruito usando la metrica e le sue prime e seconde derivate, che sia lineare cone le seconde derivate (non lo è con le prime). La definizione del tensore di Riemann è basata sulle proprietà di trasformazione delle connessioni affini. L'idea della derivazione è che l'informazione sulla curvatura dello spazio deve essere contenuta nelle seconde derivate della metrica, e quindi nelle prime derivate delle connessioni affini. Però dato che in origine l'equazione di trasformazione non è tensoriale, la si manipola per renderla tale.
un altra derivazione usa il trasporto parallelo attorno a un circuito chiuso
il tensore di riemann in un lif assume la forma semplice $R_{\alpha \beta \mu \nu} = g_{\alpha \kappa}R^\kappa_{\beta \mu \nu} = \left($ con solo derivate seconde di g ma non capisco le dispense todo
R è antisimmetrico
R è il commutatore di derivate covarianti: $[D_\alpha,D_\beta]V^\mu = R^\mu_{\nu \alpha \beta}V^\nu$. Cioè in uno spaziotempo curvo le derivate covarianti non commutano, quindi l'ordine è importante.
Secondo l'identità di Bianchi (si ricava da R in lif usando simmetria di $g$ e ottenendo una equazione tensoriale in derivate ordinarie, ne risulta una in derivate covarianti) $D_\lambda R_{\alpha\beta\mu\nu} + D_\nu R_{\alpha \beta \lambda \mu} + D_\mu R_{\alpha \beta \nu \lambda}$
Per il Principio una legge fisica è vera se:
Le equazioni del campo gravitazionale sono più complicate di quelle lineari del campo EM. Per esempio benché le onde EM vengono prodotte come conseguenza del moto di particelle cariche, l'energia e il momento che trasportano non sono sorgenti di campo elettromagnetico, quindi non appaiono nella "parte destra" delle equazioni.
Con la forza di gravità la situazione è diversa, a causa di $E = mc^2$ massa e energia si trasformano mutuamente e cioè sono differenti manifestazioni di una stessa quantità fisica. Segue che se la massa è sorgente di campo gravitazionale, lo è anche l'energia, e quindi sia massa che energia devono apparire nella parte destra delle equazioni di campo, che quindi non saranno lineari. Per esempio un sistema di masse in moto irradia onde gravitazionali, che trasportano energia che è a sua volta fonte di campo gravitazionale.
Ad ogni modo, dato che la gravità Newtoniana funziona bene per particelle non relativistiche o in generale per campi gravitazionali deboli, la nuova teoria deve richiedere che nel limite di campo debole le nuove equazioni devono ridursi a quella di Poisson $\nabla^2\phi = 4\pi G \rho$
Consideriamo una particella non relativistica in modo in un campo gravitazionale debole e stazionario. Sia $\tau/c$ il tempo proprio. Dato che $v<<c$, $d_t x^i << c \Rightarrow d_\tau x^i << c d_\tau t = d_\tau x^0$. Scrivendo le equazioni della geodetica per le componenti 0 di $\alpha$ e $\beta$, esplicitando $\Gamma^\mu_{00}$ sfruttando che in un campo stazionario $\partial_0g_{0\sigma} = 0$ si ha
$$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} - \Gamma^{\mu}_{00} \left(\frac{cdt}{d\tau}\right)^2 = 0$$con $\Gamma^\mu_{00} = \frac{g^{\mu \sigma}}{2}\partial_\sigma g_{00}$. Ma dato che siamo in campo debole, possiamo scegliere un sistema di coordinate tale che $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}$, dove $h$ è una piccola perturbazione della metrica piatta. In questa situazione, limitandoci al primo ordine di approssimazione, possiamo alzare un indice di $h$ con la metrica piatta: $h^\lambda_\nu = g^{\lambda \rho} h_{\rho \nu} \sim \eta^{\lambda \rho} h_{\rho \nu} + O(h_{\rho \nu}^2)$. Sostituendo in $\Gamma$ al posto di $g$ si avranno le equazioni delle geodetiche
$$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} - \frac{\eta^{\mu \sigma}}{2}\partial_\sigma h_{00} \left(\frac{cdt}{d\tau}\right)^2 = 0$$La componente temporale svanisce perché abbiamo supposto il campo stazionario $\Rightarrow \partial_0 h_{00} = 0$. La parte spaziale, riscalando le coordinate tali che $cdt/d\tau = 1$, diventa $d^2 \vec{x}/d\tau^2 = \nabla h_{00}/2$. Ricordando che classicamente (Newton) $d^2 \vec{x}/dt^2 = -\nabla\Phi$, si ha quindi che (nb $\tau = ct$)$h_{00} = -2\Phi/c^2 + const$ e nel caso di campo sferico:
L'ultima equazione ha la forma che cerchiamo, ma non è Lorentz-invariante. Se però invece di un campo stazionario avessimo una arbitraria distribuzione di energia e materia, dovremmo costruire un tensore partendo da $g$ e dalle sue derivate in modo tale che le equazioni di campo siano $G_{\mu \nu} = 8 \pi G / c^4 \cdot T_{\mu \nu}$. $G$ sarà un operatore che agisce su $g$ che va definito, e l'equazione appena definita, essendo in forma tensoriale, avrà la stessa forma in qualsiasi sistema di riferimento per il principio di Covarianza Generale.
Per comparazione con le equazioni di Laplace, in $G$ ci aspettiamo ci siano solo derivate di secondo ordine di $g$ (TODO discorso dimensionale di grandezze che non ho ben capito) per avere equazioni invarianti di scala. $G$ deve quindi essere un tensore:
Un tensore con caratteristiche di linearità richieste rispetto a $g$ esiste ed è $R$, che contiene l'informazione sul campo gravitazionale. Ma $R$ è un tensore 1-3, mentre noi abbiamo bisogno di un tensore 2 (alto o basso). In più la divergenza covariante di $T$ svanisce e quindi anche $G$ deve farlo. Si definisce così il tensore di Ricci
$$ R_{\mu \nu} = g^{\sigma \rho} R_{\sigma \mu \rho \nu} = R^\rho_{\mu \rho \nu}$$simmetrico per le proprietà del tensore di Riemann e che dà uno scalare $R = R^\alpha_\alpha$ chiamato curvatura scalare.
Si può dimostrare che tensore di Ricci e curvatura scalare sono rispettivametne l'unico tensore di 2o ordine e scalare che possono essere costruiti mediante contrazione del tensore di Riemann con la metrica. In entrambi inoltre le seconde derivate di $g$ appaiono linearmente.
$G$ verrà quindi definito come $G_{\mu \nu} = C_1 R_{\mu \nu} + C_2 g_{\mu \nu} R$, con le C da determinare. Questa soddisfa i primi tre requisiti, il quarto mediante le identità di Bianchi se $C_1 / C_2 = -2$. Possiamo determinare $C_1$ nel limite di campo debole usando il requisito 5: perché $G_{00}$ si riduca al laplaciano di $g_{00}$ cambiato di segno, deve essere $C_1 = C = 1$. Pertanto le equazioni di campo di Einstein saranno: $$G_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$$ con $$G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{g_{\mu \nu}}{2} R$$
chiamato tensore di Einstein. Esplicitando il tensore di Einstein e usando solo il tensore di Ricci, le equazioni di Einstein diventano $$R_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \left(T_{\mu \nu} - \frac{g_{\mu \nu}}{T}\right)$$.
Nel vuoto $T_{\mu \nu} = 0 \Rightarrow R_{\mu \nu} = 0$.
NB mentre il tensore di Ricci svanisce nel vuoto, non lo fa quello di Riemann, a meno che il campo gravitazionale non sia nullo, o costante && uniforme.
Al tensore di Einstein si può aggiungere un termine $\lambda g_{\mu \nu}$ che però vìola la condizione 5, deve pertanto essere molto piccolo. TODO costante cosmologica?
Il tensore di Einstein ha 10 componenti indipendenti, quindi si avranno 10 equazioni per ognuna delle 10 componenti indipendenti. Tuttavia, queste 10 equazioni non sono tutte indipendenti, a causa delle identità di Bianchi che implicano la legge di conservazione $D_{\nu}G^{\mu \nu} = 0$, cioè 4 relazioni che $G$ deve soddisfare. Il numero di equazioni indipendenti quindi si riduce a 6.
Dato che abbiamo 6 equazioni per 10 funzioni incognite, abbiamo 4 gradi di libertà, relativi a una trasformazione delle 4 coordinate di $g$. La trasformazione coinvolge 4 funzioni arbitrarie $x^{\mu'}(x^\alpha)$, quindi i 4 gradi di libertà derivano dalla scelta del sistema di coordinate e spariscono quando lo scegliamo.
Le equazioni di Einstein non determinano la soluzione $g_{\mu \nu}$ in una maniera unica, ma solo a meno di una trasformazione arbitraria di coordinate. Una situazione analoga si ha con le equazioni di Maxwell covarianti, nelle quali il grado di libertà in più del quadripotenziale vettore non è determinato unicamente ma a meno di una scelta di gauge, cioè in quel caso il potenziale vettore è definito a meno di una divergenza del potenziale scalare.
Nel nostro caso, si hanno 4 gradi di libertà extra, dovuti al fatto che $g_{\mu \nu}$ è definito am eno di una trasformazione di coordinate. Questa libertà di gauge è particolarmente utile quando si cercano le soluzioni esatte delle equazioni di Einstein.
$\Gamma^\lambda = g^{\mu \nu} \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} = 0 \Rightarrow \partial_{\kappa} \left(\sqrt{-g}g^{\lambda \kappa}\right) = 0$. È detta gauge armonica perché una funzione $\phi$ è armonica se $\square \phi = 0$, con $\square = D_{\mu} D_\nu = g^{\mu \nu} D_\mu D_\nu$ (in generale si devono usare le derivate covarianti $D$ invece delle derivate ordinarie $\partial$). Questa equazione esplicitata completamente nelle derivate covarianti e per $\Gamma^\lambda = 0$ e sostituendo $\phi = x^{\mu}$ si ottiene la condizione di gauge armonica: le coordinate stesse sono funzioni armoniche. (da chiarire meglio e da leggere meglio TODO)
TODO estrarre da dispense cap 11 e leggere bene (pgg 138- 166)
Consideriamo due particelle che si muovono lungo le traiettorie $x^\mu (\tau),\; x^\mu(\tau)+\delta x^\mu(\tau)$ ($\tau$ parametro affine). È equivalente a considerare una famiglia di geodetiche con due parametri $x^\mu(\tau, p)$, dove il parametro $p$ etichetta diverse geodetiche. Sia $t^\alpha = \partial x^\alpha / \partial \tau$ il vettore tangente alla linea della geodetica e sia $\delta x^\alpha = \partial x^\alpha / \partial p$; allora $\partial t^\alpha/\partial p = \partial \delta x^\alpha / \partial \tau$.
La derivata covariante di $\vec{t}$ lungo la curva $\tau = const$ il cui vettore tangente è $\delta x^\mu$: $[D(\vec{\delta x}) \vec{t}]^\alpha = D_\tau t^\alpha = \partial x^\mu / \partial p \cdot D_\mu t^\alpha = \dotsb = \partial t^\alpha / \partial p + \Gamma^\alpha_{\mu \nu} t^\nu \delta x^\mu$. Similmente per $\vec{\delta x}$ lungo la curva $p = const$, cioè lungo la geodetica: $D_\tau \delta x^\alpha = \dotsb = \partial \delta x^\alpha / \partial \tau + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}\delta x^\nu t^\mu$. Dall'equazione $\partial t^\alpha/\partial p$ e per la simmetria dei $\Gamma$ negli indici bassi si ha $D(\vec{t}) \vec{\delta x} = D(\vec{\delta x}) \vec{t}$.
Le componenti delle due derivate covarianti coinvolgono solo le connessioni affini e quindi non danno informazioni significative sul campo gravitazionale, pertanto si va alle derivate covarianti seconde: $$\frac{D^2}{d\tau^2} \delta x^\alpha = \dotsb = R^\alpha_{\beta \mu \nu} t^\beta t^\mu \delta x^\nu$$
è detta equazione della deviazione geodetica, esprime un vettore che descrive l'accelerazione relativa di due geodetiche vicine. Mostra che l'accelerazione relativa di due particelle vicine che si muovono lungo le rispettive geodetiche dipende dal tensore di curvatura. Dato che quest'ultimo è zero $\Leftrightarrow$ il campo gravitazionale è zero o costante e uniforme, questa equazione contiene informazione sul campo in un dato spaziotempo.
Quando una distribuzione di massa-energia si modifica nel tempo, l'informazione del cambiamento si propaga nella forma di onde. Tuttavia le onde gravitazionali hanno delle pecularità uniche: a causa della duplice natura di $g_{\mu\nu}$ (metrica E potenziale), le onde gravitazionali sono onde di metrica. Quindi, quando si propagano, la geometria cambia nel tempo, e consequenzialmente anche la distanza tra punti nello spaziotempo.
Lo studio delle onde può essere studiato mediante due approcci: uno perturbativo, valido solo e soltanto quando l'alterazione, cioè l'onda, è piccola; uno come soluzione delle equazioni non lineari di Einstein.
Sia $g^0_{\mu\nu}$ una soluzione esatta nota delle equazioni di Einstein, eg metrica piatta $\eta$ o metrica di Schwarzschild generata da un buco nero. Consideriamo $|h| << |g^0|$ una piccola perturbazione a $g^0$, causata da una qualche sorgente descritta da un tensore energia-impulso $T_{pert}^{\mu \nu}$. Allora avremo $g_{\mu\nu} = g^0_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$.
L'assunzione di "piccola" perturbazione però è ambigua, perché bisogna specificare in quale sistema di riferimento è vera. Assumiamo comunque per semplicità che questo riferimento esista.
$g^{\mu\nu} = g^{_0\mu \nu} - h^{\mu\nu} + o(h^2)$, dove gli indici di $h$ vengono alzati con la metrica imperturbata: $h^{\mu \nu} = g^{_0\mu \alpha} g^{_0\nu \beta} h_{\alpha \beta}$. Il prodotto scalare sarà quindi $g^{\mu \nu}g_{\mu \nu} = (g^{_0\mu\nu} - h^{\mu \nu})(g^{_0}_{\nu \alpha} + h_{\nu \alpha}) = \delta^\mu_\alpha + o(h^2)$.
Consideriamo l'equazione di Einstein nella forma $R(T)$. In questa situazione $T_{\mu \nu}$ è somma di due termini, una associata alla sorgente che crea la geometria imperturbata $g^0$ ($T_{\mu\nu}^0$) e una associata alla sorgente della perturbazione ($T_{\mu \nu}^{pert}$).
Calcoliamo $\Gamma$ e quindi $R$ per la metrica perturbata: per ottenere gamma si parte dalla formula $\Gamma(g)$, si esplicita $g$ come metrica perturbata e si eliminano tutti i termini di ordine $\geq h^2$. Si ottiene così: $\Gamma^{\gamma}_{\beta\mu}(g) = \Gamma^{\gamma}_{\beta \mu}(g^{0}) + \Gamma^{\gamma}_{\beta \mu}(h) + o(h^2)$, con $\Gamma^\gamma_{\beta \mu}(h) = \frac{1}{2} [g^{_0 \alpha \gamma}(\partial_\mu h_{\alpha\beta}+ \partial_\beta h_{\mu \alpha}+ \partial_\alpha h_{\beta \mu})+h^{\alpha \gamma} (\partial_\mu g^0_{\alpha\beta}+ \partial_\beta g^0_{\mu \alpha}+ \partial_\alpha g^0_{\beta \mu})]$ i termini a primo ordine in $h$.
Sostituendo la $\Gamma$ così ottenuta nell'espressione del tensore di Ricci si ha $R_{\mu \nu}(g_{\mu \nu}) = R_{\mu \nu}(g^0) + R_{\mu \nu}(h)$, dove il secondo termine contiene tutti i termini al primo ordine in $h$ che si ottengono sostituendo $\Gamma (g)$.
Assumendo che $g^0$ sia una soluzione esatta delle equazioni di Einstein nel vuoto $R(g) = 8 \pi G/c^4 (T_{\mu \nu}^0 - g^0_{\mu \nu}/2 T)$, dato che deve essere $R(g) \equiv R(T = T^0 + T_{pert})$, si ha che si può ridurre $R_{\mu\nu}(h)$ si soli termini al primo ordine in $h$
$$R_{\mu \nu} (h) = \partial_{\alpha}\Gamma^\alpha_{\mu \nu}(h)- \partial_{\nu}\Gamma^\alpha_{\mu \alpha}(h) + \Gamma^\alpha_{\sigma \alpha}(g^0)\Gamma^\sigma_{\mu \nu}(h) + \Gamma^\alpha_{\sigma \alpha}(h)\Gamma^\sigma_{\mu \nu}(g^0) - \Gamma^\alpha_{\sigma \nu}(g^0)\Gamma^\sigma_{\mu \alpha}(h) - \Gamma^\alpha_{\sigma \nu}(h)\Gamma^\sigma_{\mu \alpha}(g^0) = \frac{8 \pi G}{c^4}\left(T^{pert}_{\mu \nu} - \frac{g_{\mu \nu}}{2} T^{pert}\right) .$$Questa è l'equivalente delle equazioni di einstein per le odne gravitazionali, come piccola perturbazione, lineari in $h_{\mu \nu}$. Questo approccio funziona bene in molte situazioni dato che le onde gravitazionali sono molto deboli. Tuttavia non può essere adatto in regimi di gravità forte.
Cercare le soluzioni esatte delle equazioni di Einstein che descrivano sia la sorgente che le onde emesse non ha portato sinora a risultati. Sicuramente la non linearità complica le cose, ma non è il motivo determinante: anche per l'elettromagnetismo è difficile trovare soluzioni esatte alle equazioni di Maxwell, che sono lineari, per descrivere un campo EM prodotto da un oscillatore armonico elettrico smorzato per effetto dell'emissione di onde EM.
La soluzione esatta può essere trovate nel nostro caso solo se vengono imposte particolari simmetrie, eg quella piana, sferica, cilindrica. L'interazione di onde piane può essere anche descritta in termini di soluzioni esatte e a causa della non linearità delle equazioni della gravità è molto diversa dall'interazione di onde EM.
Consideriamo la metrica imperturbata come spaziotempo piatto, quella perturbata sarà quindi $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}$, con $h$ la piccola perturbazione. Le connessioni affini saranno quindi $\Gamma_{\mu \nu}^\lambda = \eta^{\lambda \rho}/2 \cdot (\partial_\mu h_{\rho \nu}+ \partial_\nu h_{\mu \rho} - \partial_{\rho} h_{\mu \nu}) + o(h^2)$ (essendo la metrica imperturbata $\eta$ costante, $\Gamma(g^0 = \eta) = 0$).
L'equazione dell'onda quindi diventa
$$ R_{\mu \nu}(g) = R_{\mu \nu}(h) = \partial_\alpha \Gamma^\alpha_{\mu \nu} - \partial_\nu \Gamma^\alpha_{\mu \alpha} =\; -\frac{1}{2}\left[\square_{flat}h_{\mu \nu} - \left( \partial_\lambda \partial_\mu h^\lambda_\nu + \partial_\nu \partial_\lambda h^\lambda_{\mu} - \partial_\mu \partial_\nu h^\lambda_\lambda \right)\right] = \frac{16\pi G}{c^4}\left(T^{pert}_{\mu \nu}- \frac{\eta_{\mu \nu}}{2}T^{_{pert}\lambda}_\lambda\right) $$Le soluzioni di questa equazione non sono univocamente determinate. Se facciamo una trasformazione di coordinate, il tensore metrico trasformato è sempre una soluzione: descrive la stessa situazione fisica vista da un diverso sistema di riferimento. Ma noi siamo nel limite di campo debole, piccole perturbazioni, quindi possiamo fare solo trasformazioni che preservino la condizione $|h'_{\mu \nu}|\sim |h_{\mu \nu}| << 1$.
È conveniente a questo punto scegliere un sistema di coordinate tale che sia soddisfatta la condizione di gauge armonica $g^{\mu \nu} \Gamma^\lambda_{\mu \nu} = 0$.
Se la condizione non è soddisfatta in nessun modo in un sistema di riferimento, possiamo sempre trovare un nuovo sistema di riferimento dove lo è, facendo una trasformazione infinitesima di coordinate. La gauge armonica ha il vantaggio di eliminare la metrica di background lasciando la perturbazione.
Questa condizione è equivalente, a meno di termini a primo ordine in $h_{\mu \nu}$, a $\partial_\mu h^\mu_\nu = \partial_\nu h^\mu_\mu/2$. Imponendo questa condizione la parentesi con le derivate seconde nell'equazione delle GW scompaiono, e le equazioni di Einstein si riducono a una semplice equazione d'onda (ovviamente supplementata dalla condizione di Gauge) (NB da ora in poi $T^{pert} = T$)
$$\square_{flat}h_{\mu \nu} = - \frac{16\pi G}{c^4} (T_{\mu \nu}- \frac{\eta_{\mu \nu}}{2}T_\lambda^\lambda)$$Se introduciamo il tensore $\tilde{h} := h_{\mu \nu} - \eta_{\mu \nu} h^\lambda_\lambda$ le due condizioni diventano:
$ \begin{cases} \square_{flat} \tilde{h} _{\mu \nu} = - \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu \nu} \\ \partial_\mu \tilde{h} ^\mu_\nu = 0 \end{cases}$
problema! C'è un $G/c^4\approx 8.2\cdot 10^{-45} N^{-1}$! Un $1/c^2$ è intrinseco dell'equazione d'onda è esprime la velocità di propagazione delle onde gravitazionali: $c$.
E nel caso di onda nel vuoto fuori dalla sorgente $T_{\mu \nu} = 0$ e $\square_{flat} \tilde{h} _{\mu \nu} = 0$
Quindi la perturbazione di uno spaziotempo piatto propaga come un'onda che viaggia alla velocità della luce, inoltre la teoria di Einstein della gravità predice l'esistenza delle onde gravitazionali.
La soluzione, cioè l'onda generata dalla sorgente $T_{\mu \nu}$, può essere scritta in termini di potenziali ritardati come in elettrodinamica, con un integrale che si estende lungo il cono di luce passato dell'evento.
Nel caso che la perturbazione sia di uno spaziotempo curvo e non piatto, per esempio supponendo $g^0$ la soluzione di Scharzschild, si dimostra che una appropriata scelta di gauge permette di scrivere le equazioni di Einstein, scritte come combinazione delle componenti della metrica, in maniera simile a quelle con $\tilde{h}$. In ogni caso, dato che lo spaziotempo di background è curvo, la propagazione delle onde verrà modificato rispetto al caso piatto. La curvatura agisce come una barriera di potenziale, tramite la quale le onde sono diffuse e l'equazione finale avrà una forma del tipo $(\square_{flat}- V(x^\mu))\Phi = - 16 \pi G / c^4 \cdot T$, con $\Phi$ combinazione appropriata di funzioni metriche, $T$ combinazione delle componenti del tensore energia-impulso.
In altre parole, la perturbazione di un campo gravitazionale a simmetria sferica e stazionario, è descritto da una equazione Schrödinger.
L'equazione dell'onda nel vuoto è lineare cioè scrivibile come sovrapposizione di onde piane
NB, essendo $v_{gw} = c \Rightarrow k_\alpha k^\alpha = 0$, vettore lightlike La più semplice soluzione dell'equazione d'onda è un'onda piana monocromatica $\tilde{h}_{\mu \nu} = \Re [A_{\mu \nu} e^{ikx}]$, dove l'ampiezza $A_{\mu \nu}$ è il tensore di polarizzazione e il vettore d'onda $k = (\omega/c, \vec{k})$.
Sostituendo questa soluzione nell'equazione d'onda nel vuoto si ottiene $-\eta^{\alpha \beta}k_\alpha k_\beta e^{ikx} = 0 \Rightarrow \eta^{\alpha \beta}k_\alpha k_\beta = 0$, che significa che l'onda piana è soluzione dell'equazione d'onda solo se $k$ è un vettore null. Questo implica $k_\mu k^\mu = 0 \Rightarrow \omega = c k_0 = c \sqrt{k_i k_i}$
In più la condizione di gauge armonica richiede $\partial_\mu \tilde{h}^\mu_\nu = 0 \Rightarrow \eta^{\mu \alpha} \partial_\mu \tilde{h}_{\alpha \nu} = 0$. Sostituendo l'onda piana si ha $\eta^{\mu \alpha} \partial_\mu A_{\alpha \nu} e^{ikx} = 0 \Rightarrow \eta^{\mu \alpha} A_{\alpha \nu} k_\mu = 0 \Rightarrow k_\mu A^\mu_\nu = 0$. Quest'altra condizione esprime l'ortogonalità del vettore d'onda con il tensore di polarizzazione TODO chiarire concetto di ortogonalità di vettore con tensore, quindi l'onda è trasversa.
Dato che $\tilde{h}_{\mu \nu}$ è costante sulle superfici dove $k_\alpha x^\alpha = cost$ queste sono le equazioni del fronte d'onda.
Vogliamo sapere quante delle dieci componenti di $h$ TODO perché 10? hanno un reale significato fisico, cioè vogliamo sapere quali sono i gradi di libertà di una onda piana gravitazionale. Consideriamo un'onda che si propaga nello spaziotempo piatto, lungo la direzione $x^1 = x$. Dato che $h_{\mu \nu}$ è indipendente lungo $y$ e $z$, il D'alembertiano dell'equazione d'onda si riduce alle sole componenti 0 e 1: $ (\partial_0^2 - \partial_1^2) \tilde{h}^\mu_\nu = (\partial_t^2/c^2 + \partial_x^2) \tilde{h}^\mu_\nu = 0$. Cioè $\tilde{h}^\mu_\nu$ è una funzione arbitraria di $(t\pm x/c)$ e $\partial_{\mu} \tilde{h}^\mu_\nu(\chi = t \mp x/c) = 0$. Esplicitando $\partial_t \tilde{h}^\mu_\nu = \partial_\chi \tilde{h}^\mu_\nu \partial_t \chi = \partial_\chi \tilde{h}^\mu_\nu;\; \partial_x \tilde{h}^\mu_\nu = \partial_\chi \tilde{h}^\mu_\nu \partial_x \chi = \mp 1/c \cdot \partial_\chi \tilde{h}^\mu_\nu $ questa equazione diventa $\partial_\mu \tilde{h}^\mu_\nu = 1/c \cdot \partial_t \tilde{h}^t_\nu + \partial_x \tilde{h}^x_\nu = 1/c \cdot \partial_\chi \left(\tilde{h}^t_\nu \mp \tilde{h}^x_\nu\right) = 0 $ nb metrica con + non - da chiarire TODO. Integrando e ponendo le costanti di integrazioni a 0 si ottiene $\tilde{h}^t_\mu = \mp \tilde{h}^x_\mu$ (cioè per onda progressiva/regressiva le componenti lungo la direzione di propagazione sono uguali/opposte a quelle temporali)
Osserviamo che la condizione armonica non determina la gauge univocamente. Se facciamo una trasformazione infinitesima di coordinate troviamo che, se nel vecchio frame $\Gamma^\rho = 0$, nel nuovo $\Gamma^{\lambda'}$ a causa del fatto che se $\epsilon$ soddisfa l'equazione dell'onda, allora $\eta^{\rho \sigma} \partial^2 x^{\lambda'}/\partial x^\rho \partial x^\sigma = 0$
Se consideriamo una soluzione dell'equazione d'onda e facciamo una trasformazione di gauge, la trasformazione nella nuova gauge sarà $h'_{\mu \nu} = h_{\mu \nu} - \partial_\mu \epsilon_\nu - \partial_\nu \epsilon_\mu - \Rightarrow \tilde{h}_{\mu \nu}' = \tilde{h}_{\mu \nu} - \partial_\mu \epsilon_\nu - \partial_\nu \epsilon_\mu - \eta_{\mu \nu} \partial^\alpha \epsilon_\alpha$. Quindi se $\epsilon$ è soluzione dell'equzione d'onda, lo sarà anche $\tilde{h}'$.
L'opposto è anche vero: è sempre possibile trovare un vettore $\epsilon$ soluzione dell'equazione d'onda tale che si possano porre a zero quattro componenti della soluzione $\tilde{h}$ dell'equazione d'onda. Per cui possiamo osarlo per porre a zero le seguenti quantità: $\tilde{h}^t_i = 0 \;(i = x,y,z);\;\tilde{h}^y_y + \tilde{h}^z_z = 0 \Rightarrow \tilde{h}^y_y = -\tilde{h}^z_z$. Dato che abbiamo detto che le componenti temporali del tensore sono nulle, e che quelle lungo la propagazione sono uguali a quelle temporali, anch'esse saranno nulle. Rimarranno quindi le 4 componenti trasverse alla direzione di propagazione (opposte a due a due).
Inoltre con questa scelta di gauge abbiamo che $\tilde{h}^\mu_\mu = h^\mu_\mu-2h^\mu_\mu = - h^\mu_\mu$ e se $h^\mu_\mu = 0 \Rightarrow \tilde{h}^\mu_\nu = h^\mu_\nu$. Ciò significa che $h$ e $\tilde{h}$ in questa gauge coincidono e sono a traccia nulla, inoltre le onde piane propaganti lungo $x$ sono caratterizzate dalle due sole funzioni $h_\times = h_{yz} = h_{zy}$ e $h_+ = h_{yy} = - h_{zz}$, e tutte le altre componenti sono nulle:
$$h_{\mu\nu} = \left(\begin{array}[cccc] 00&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&h_+&h_\times\\ 0&0&h_\times&-h_+\\ \end{array}\right)$$Se quindi scriviamo $h$ come sovrapposizione di due onde piane avremo quindi i due tensori di polarizzazione che descrivono i due stati di polarizzazione detti $+$ e $\times$. $$A_{\mu\nu}^+ \propto \left(\begin{array}[cccc] 00&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&+1&0\\ 0&0&0&-1\\ \end{array}\right)\;\; A_{\mu\nu}^\times \propto \left(\begin{array}[cccc] 00&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&+1\\ 0&0&+1&0\\ \end{array}\right)$$
5 parametri reali identificano l'onda: due angoli (direzione di propagazione), due ampiezze di polarizzazione complesse, cioè due numeri reali più la fase relativa
In conclusione, un'onda gravitazionale ha solo due gradi di libertà, che corrispondono ai due possibili stati di polarizzazione. La gauge in cui questo si manifesta chiaramente è chiamata TT-gauge, dove TT sta per traceless transverse, indicando quindi la forma di $h_{\mu \nu}$.
Consideriamo una particella a riposo nello spaziotempo piatto. Impostiamo un sistema inerziale solidale a questa particella, con l'asse x coincidenta alla direzione di propagazione di una onda gravitazionale TT in arrivo. La particella seguirà una geodetica dello spazio tempo curvo generata dall'onda:
$$\frac{d^2 x^\alpha}{d\tau^2} + \Gamma^\alpha_{\mu \nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^|nu}{d\tau} = \frac{du^\alpha}{d\tau} + \Gamma^\alpha_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = 0$$A t = 0 la particella è a riposo: $U^\alpha = (1,0,0,0)$. L'accelerazione impressa dall'onda sarà $d_\tau U^\alpha|_{t = 0} = -\Gamma^\alpha_{00} = - \eta^{\alpha \beta}/2(\partial_0 h_{\beta 0} + \partial_0 h_{0\beta} - \partial_\beta h_{00})$, che però dato che l'onda è in TT-gauge tutti gli $h$ della formula saranno nulli quindi $dU^\alpha/d\tau|_{t = 0} = 0$.
La velocità rimane costante anche a tempi succesivi, è ciò significa che la particella non è accelerata né al tempo iniziale né dopo. Essendo inizialmente a riposo, la sua posizione rimane a coordinate costanti, indipendentemente dall'onda. Quindi lo studio del moto di una singola particella non è sufficiente per rivelare una onda gravitazionale. Ne serviranno almeno due: per questo sono importanti le deviazioni dalla geodetica indotte dalle onde gravitazionali.
NB in pratica, sia che un rivelatore puntiforme sia investito da un'onda, sia che il rivelatore osservi un oggetto puntiforme investito da un'onda, non viene visto alcun effetto: qualsiasi sistema di riferimento non mostra alcun effetto di onda gravitazionale su un punto. Per questo è necessario avere due punti.
Studiamo il moto relativo di particelle indotto da un onda gravitazionale. Consideriamo due particelle vicine in coordinate $x^\mu_A,\;x^\mu_B$, inizialmente a riposo, che vengono raggiunte da un fronte d'onda gravitazionale piana in TT-gauge a $t = 0$ che si propaga lungo l'asse $x$ (quindi componenti non nulle solo lungo il piano $y-z$). L'intervallo è $ds^2 = g_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu = (\eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}(t-x/c))dx^\mu dx^\nu$
Dato che $g_{00} = \eta_{00} = -1$ assumiamo che entrambe le particelle abbiano tempo proprio $\tau = x^0 = ct$. Essendo inizialmente a riposo rimarranno in posizione fissata anche successivamente, quando l'onda sopraggiunge, e la loro separazione in coordinate $\delta x^\mu = x^\mu_B-x_A^\mu = const, \; \forall \mu$. Ma, dato che la metrica cambia, la distanza propria invece cambia. Per esempio ponendo le particelle siano sull'asse $y$: $\Delta l = \int ds = \int^{y_B}_{y_A} |g_{yy}(t-x/c)|^{\frac{1}{2}}dy \neq const$ per colpa di $h(t-x/c)$.
Il vettore di separazione in coordinate soddisfa l'equazione della geodetic deviation:$D^2_\tau = R^\mu_{\alpha \beta \nu} d_\tau x^\alpha d_\tau x^\beta \delta x^\nu$.
Questo effetto può essere infatti meglio studiato usando l'equazione della deviazione geodetica. Spostiamoci in un lif ${x^{\alpha'}}$ centrato sulla geodetica di una delle tue particelle, eg sulla A ($\Rightarrow x^{i'}_A = 0;\;x^0 = \tau = ct_A$): nelle vicinanze di A l'intervallo sarà $ds^2 = \eta_{\alpha'}{\beta'}dx^{\alpha'}dx^{\beta'}+o(|\delta x|^2)$ e $\Gamma^{\alpha'}_{\mu'\nu'_A} = 0$ (perché la derivata della metrica è nulla essendo $\approx \eta$).
cioè differisce dalla metrica di minkowsky per termini dell'ordine del modulo quadro della loro separazione in coordinate
come abbiamo visto, è sempre possibile definire un tale sisrif (localmente)
Le componenti spaziali di $\delta x$ saranno quindi le coordinate di B in questo sisrif: $x^{i'}_B = \delta x^{i'}$.
Abbandoniamo i " ' " ma nb siamo sempre in lif!
Calcolando la geodev nel sisrif su A (nb su A ma a t=0), diventa $d^2_t \delta x^i = R^i_{00 j} \delta x^j$. Se l'onda gravitazionale è dovuta a una piccola perturbazione della metrica piatta, $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}$ nel tensore di Riemann scompaiono tutti i termini con i $\Gamma$ (sono $\leq o(h^2)$) e quindi avremo $R^i_{00j} = (\partial_0^2 h^i_j + \partial^i\partial_j h_{00} - \partial_0 \partial_j h^i_0 - \partial^i\partial_0 h_{0j})/2 = \partial_0^2 h^i_j/2 = \eta^{mi} \partial_0^2 h_{mj}/2$, dove per $h$ si intende $h^{TT}$. L'equazione della deviazione geodetica diventa così $$d^2_t \delta x^m = \frac{\eta^{m i}}{2} \partial^2_t h^{TT}_{mj} \delta x^j$$
Per $t\leq 0$ le due particelle sono a rispettivamente a riposo, quindi $\delta x^j = const = \delta x^j_{iniz}$. Quando arriva $h$, essendo una piccola perturbazione, la posizione relativa cambierà di una quantità piccola, considerabile piccola perturbazione, $\delta^j(t) = \delta x^j_{iniz} + \delta x^j_{t>0}(t)$, l'equazione della deviazione sarà quindi $d^2_t \delta x^m_{t >0} = \frac{\eta^{m i}}{2} \partial^2_t h^{TT}_{mj}\delta x^j_{iniz} + o(h)$ e integrandola si ottiene
$\delta x^j\left(t-\frac{x}{c}\right) = \delta x^j_0 + \frac{1}{2} \eta^{ji} h^{TT}_{ik}\left(t - \frac{x}{c}\right) \delta x_0^k$. Ponendo che l'onda si propaghi lungo x e usando le peculiarità di $h$ in TT-gauge si avrà che $\delta x^1 = \delta x_{iniz}^1 = const$ mentre le altre due avranno una deviazione $\Delta \delta x^{2-3} = (\pm h_+ \delta x_{iniz}^{2-3} + h_\times \delta x_{iniz}^{2-3})$. Cioè le particelle verranno accellerate rispettivamente solo sul piano ortogonale alla direzione di propagazione.
Ponendo $h$ un'onda piana polarizzata linearmente $+$ o $\times$ $h_{+\times} = 2 \Re [A_{+\times} e^{i\omega\left(t - \frac{x}{c}\right)}] = 2 A_{+\times}\cdot cos\left(\omega\left(t-\frac{x}{c}\right)\right) $ (assumendo le $A$ funzioni reali), immaginando un anello nel vuoto, questo verrà deformato a formare un'ellisse, con il semiasse maggiore lungo gli assi, o inclinato di 45° a seconda delle due polarizzazioni.
Permette di stimare l'energia e la forma d'onda emessi da un sistema fisico evolvente, descritto dal tensore energia impulto $T$. Risolviamo l'equazione dell'onda che soddisfa la condizione di gauge armonica, sotto le assunzioni:
Secondo me in alcuni casi importanti questa approx non vale, approssimazione giustificata da considerare oggetti macroscopici che oscillano TODO
Consideriamo l'equazione d'onda con $\tilde{h}$. Facendo la trasformata di Fourier di $\tilde{h}$ e $T$ avremo per entrambi $f(t,x^i) = \int^{+\infty}_{-\infty} f(\omega, x^i) e^{-i\omega t}d\omega$ e nel dominio delle frequenze l'equazione dell'onda diventa
$$\left( \nabla^2 + \frac{\omega^2}{c^2}\right) \tilde{h}_{\mu \nu}(\omega, x^i) = - \frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}(\omega, x^i).$$L'equazione va risolta dentro e fuori la sorgente, facendo corrispondere le due soluzioni ai confini della sorgente.
Il secondo membro dell'equazione, è nullo essendo nel vuoto $T = 0$. Considerando la più semplice soluzione possibile, cioè un'onda sferica con una parte prograda e una retrograda $\tilde{h}_{\mu \nu}(\omega, r) = A_{\mu \nu}(\omega)/r \cdot e^{i \frac{\omega}{c} r} + Z_{\mu \nu}(\omega)/r \cdot e^{-i \frac{\omega}{c} r}$, ma noi siamo interessati solo all'onda emessa dalla sorgente, quindi non avremo onde ingoing e teniamo solo la parte prograda. L'ampiezza $A_{\mu \nu}$ è da trovare risolvendo l'equazione dentro la sorgente.
Qui l'equazione dell'onda è quella completa, essendo $T \neq 0$. Può essere risolta per ogni componente tensoriale, per prima cosa integrando ambo i membri su tutto il volume della sorgente.
Primo termine Per il teorema di gauss il laplaciano $\nabla^2 \tilde{h}$ può essere posto uguale al flusso del gradiente $\nabla \tilde{h}$ attraverso la superficie della sorgente. Dato che abbiamo posto $\lambda_{gw} \gg \epsilon \Rightarrow \omega/c \ll \epsilon$, sostituendo la soluzione di onda sferica prograda si ottiene semplicemente $\int_V \nabla^2 \tilde{h} d^3 x = \int_\Sigma \nabla \tilde{h} \vec{dS} \simeq -4\pi A(\omega)$
Secondo termine essendo $\int_V \omega^2/c^2 \cdot \tilde{h}_{\mu \nu} d^3 x \lesssim max(|\tilde{h}|_{\mu \nu}) \omega^2/c^2 \cdot V$, dove il massimo della componente del tensore calcolata si intende dentro il volume $V = 4/3 \pi \epsilon^3$. Dato quindi che il secondo termine è più piccolo di un ordine $\epsilon^3$ può essere trascurato.
Si ottiene quindi che la soluzione dentro la sorgente, avendo imposto che sulla superficie sia uguale a quella fuori, è
$- 4 \pi A = - 16 \pi G / c^4 \int_V T d^3 x$
cioè la soluzione dentro la sorgente dà l'ampiezza come integrale del $T$ della sorgente su tutto il suo volume.
$$A_{\mu \nu}(\omega) = \frac{4G}{c^4}\int_V T_{\mu \nu}(\omega,x^i)d^3 x$$Il prof Ricci parla di zona d'onda e zona vicina, dove la prima è $d$ dalla sorgente $>> \lambda$ (mi pare equivalente a campo debole TODO chiedere). Distinzione importante perché, eg, poniamo di voler misurare la velocità dell'onda: fissato il campo, questa è proporzionale a essa da eq. d'onda. Si potrebbe misurare con bilancia di torsione, mettendogli accanto un oscillatore armonico massiccio libero di subire l'onda. Ci si aspetterebbe un ritardo nell'oscillazione della bilancia rispetto all'oscillatore, portando a uno sfasamento proporzionale alla velocità. Accade però che così si possono avere cose strane, con $c \rightarrow \infty$, causalità violata, etc. In zona vicina si perde l'informazione sulla fase. Bisogna quindi stare sempre a $d>>\lambda$, mentre per esempio Terra-Sole hanno $\lambda > d$ (e oscillazione è praticamente monocromatica, quindi inutilizzabile) Il problema è analogo a circuito RLC, che risponde a tensione sinusoidale. Anche lì la fase dipende da parametri, l'onda non deve essere monocromatica ma impulsiva (cosa difficile da fare). TODO ci ho capito quasi niente, da chiedere
Per semplificare la soluzione dell'equazione d'onda, si può usare la conservazione del tensore energia-impulso $\partial_\nu T^{\mu \nu} = 0 \Rightarrow \partial_0 T^{\mu 0} = -\partial_i T^{\mu i}$. Integrando questa equazione sul volume della sorgente (essendo integrale in $d\vec{x}$, $\partial_0$ può essere estratta dall'integrale) e usando il teorema di gauss al secondo membro (parte spaziale), questo diventa nullo, dato che per definizione sulla superficie della sorgente $T = 0$ (non essendoci più sorgente).
Si ottiene quindi che $\partial_0 \int_V T^{\mu 0} d \vec{x} = 0$, che non è altro che la conservazione del quadrimomento, cioè la carica conservata di Noether $Q = P^\mu = \int_V T^{\mu 0} d\vec{x} = const$.
Questo significa che nell'equazione di $\tilde{h}(T)$ avremo $\tilde{h}^{\mu 0} = const$ e possiamo porlo $= 0$ dato che siamo interessati a sapere come cambia nel tempo il campo. Abbiamo ottenuto così lo stesso risultato della TTgauge per le componenti temporali, ma da principi di conservazione a monte della scelta di gauge.
In più, se usiamo il teorema del viriale, nella forma $1/c^2 \cdot \partial_{t}^2\int_V T^{00} x^i x^j d\vec{x} = 2 \int_V T^{ij} d \vec{x}$, il primo membro è la derivata seconda temporale del tensore momento di quadrupolo $q^{ij}(t)$ del sistema $\Rightarrow 1/2 \cdot d^2_t q^{ij}(t) = \int_V T^{ij}(t, x^k) d\vec{x}$.
Riassumendo:
Per una distribuzione stazionaria a simmetria sferica di materia (o energia) il momento di quadrupolo è costante, anche se il corpo ruota (qui basta che ci sia simmetria cilindrica). Quindi la derivata (anche la seconda) è nulla e il flusso quadrupolare è nullo: nessuna emissione di onde gravitazionali. Discorso simile per una stella che collassa in maniera perfettaente sferica. Per produrre queste onde necesitiamo di un certo grado di asimmetria: pulsazioni non radiali, collasso non sferico, coalescenza, etc
Per vedere i gradi di libertà fisici dobbiamo ancora trasformare la soluzione in TT-gauge.
Per farlo definiamo un proiettore del tipo $P_{ij} = \delta_{ij}-n_i n_j$ (consideriamo solo le componenti spaziali dato che abbiamo visto che quelle temporali sono nulle) dove i primi termini portano rispettivamente la condizione di onda trasversa e quella di traccia nulla
Applicando un proiettore $\mathcal{P}_{ijkm} = P_{ik}P_{jm} - P_{ij} P_{km}/2$ a $h$ si ottiene la parte trasversa-traccia nulla del tensore $(0 \;\; 2)$: $h^{TT}_{ij} = \mathcal{P}_{ijkm} h_{km} = \mathcal{P}_{ijkm}\tilde{h}_{km}$. Possiamo fare la stessa cosa con il momento di quadrupolo, portando ad avere la parte TT di $q$: $Q^{TT}_{ij} = \mathcal{P}_{ijkm}q_{km} $
La soluzione dell'equazione dell'onda, in forma di momento di quadrupolo, diventa così:
$$ \begin{cases} h^{TT}_{\mu 0} = 0 \\ h^{TT}_{ij}(t,r) = \frac{2G}{c^4 r}\left(d^2_t Q^{TT}_{ij}(t-r/c)\right) \end{cases}$$NB: il mom di quadrupolo ridotto è $Q_{ij} := q_{ij}- 1/3 \cdot \delta_{ij} q_k^k$, che è a traccia nulla per definizione e quindi in gauge TT è $Q^{TT}_{ij} = \mathcal{P}_{ijkm}q_{km} = \mathcal{P}_{ijkm}Q_{km}$
NB il calcolo dell'energia trasportata da un onda gravitazionale è molto lungo e complicato, dato che l'energia del campo gravitazionale non è definibile localmente.
Partiamo dalla soluzione in termine di potenziali ritardati
$$h_{ij} = -\frac{4\pi G}{c^4}\int \frac{\left[ T_{ij}-\frac{\eta_{ij}}{2}T^\lambda_\lambda\right]_{t = r/c}}{\vec{x}-\vec{x}'} d \vec{x}'$$Come abbiamo visto, se facciamo lo sviluppo in multipoli, il termine di monopolo è l'integrale della distribuzione di materia, cioè la massa, e se il sistema isolato rimane costante, il termine di dipolo è nullo per conservazione del momento, il termine di quadrupolo può essere non nullo: $\ddot{Q}_{ij} = \int \left( x_i x_j - \delta_{ij}r^2/3\right)\rho(\vec{x}) d\vec{x}$. Possiamo così scrivere in maniera compatta la soluzione $h_{jk}^{(TT)} = \frac{G}{c^4}\frac{2}{3}\left[\ddot{Q}_{ij}(t-r/c)\right]^{(TT)}$.
Il flusso è definito come energia emessa $/$ tempo $\cdot$ superficie: $L_{GW} = d E_{GW}/dt dS$. Applicando il teorema di Gauss in analogia con il tensore degli sforzi, di fatto si fa bilancio energetico tra sforzo di flusso entrante e uscente, integrando su tutta la superficie sferica di raggio $r$ (in approssimazione di zona d'onda) alla fine si ottiene: $$L =\frac{ G}{ 5 c^5} \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}_{ij} = \frac{ G}{ 5 c^5} \cdot \dddot{I}^{TT}_{ij}(t - r/c)$$
($ \approx G/c^5 \cdot M^2 a^4 \omega^6$ per un oggetto asimmetrico rotante, con $a$ asse maggiore).
La costante di proporzionalità di $L$ è $\sim 10^{-53}$: un numero bassissimo che quindi richiede masse/asimmetrie/pulsazioni altissime. Non solo, una frazione molto bassa di questo flusso può essere intercettata da un detector: sezioni d'urto tipiche di un rivelatore sono molto basse ($10^{-20}$ per quelli a barra risonante, TODO ? per gli interferometri).
Prendiamo l'esempio di una NS di $r \approx r_{Schwarzschild} \approx 2 G M / c^2 \approx GM / c^2 \Rightarrow M \approx c^2 r_S / G$; $v = r \omega \Rightarrow \omega \approx v/r \approx \beta (c/r)$. Allora possiamo riscrivere $$L \approx \frac{G}{c^5} \frac{c^4 r_S^2}{G^2} r^4 \frac{\beta^6 c^6}{r^6} = \frac{c^5}{G} \frac{r_s^2}{r^2} \beta^6,$$ si ottiene così una situazione rovesciata! In questo esempio si hanno luminosità dell'ordine di $10^43 W = 10^{17} L_{\odot}$, energie enormi che condizionano l'evoluzione del sistema, sostenibili solo per frazioni di secondo. TODO non ho ben capito come sia possibile
Alcuni esempi di sorgenti.
Prendiamo due masse uguali formanti un oscillatore armonico a frequenza $\nu = \omega/2\pi$, con ampiezza $A$, con lunghezza propria a riposo $l_0$. Assumiamo le due masse oscillino solo lungo $x$.
Il tensore $T$ avrà in approssimazione slomo (altrimenti invece di $m_n c^2 = mc^2$ ci sarebbe $cp^0_n$) $T^{00} = \sum_{n=1}^2 m c^2 \delta(x-x_n)\delta{y}\delta{z} $
Se studiamo l'emissione lungo $z$, in TT-gauge l'unica componente emessa di radiazione sarà linearmente polarizzata con polarizzazione $+$: dato che il moto delle masse è confinato lungo $x$, le componenti del momento di quadrupolo non nulle saranno soltanto $q_{xx};\;q_{yy} = -q_{xx}$. Usando i proiettori $P_{ij} = \delta_{ij} - n_i n_j$, con $\vec{n} = \vec{x}/r = (0,0,1)$, si avrà:
$$Q^{TT}_{xx} = - q_{xx}/2 = - \frac{m}{2} \left(A^2 cos\:2\omega t + 2A l_0 cos \: \omega t \right)$$L'onda emessa sarà quindi
$$ h^{TT}_{xx} = - h^{TT}_{yy} = \frac{G}{c^4 z}\cdot \left( d^2_t q_{xx}(t-z/c) \right) = -\frac{2Gm}{c^4 z} \omega^2 \left(2 A^2 cos[2\omega(t-z/c)] + A l_0 cos[\omega(t-z/c)] \right)$$Quindi un oscillatore armonico emette radiazione linearmente polarizzata. Se prendiamo per esempio due masse di $1000 kg$, distanti $1m$ a riposo e con $A = 10^{-4} m$ e $\omega = 10^4 s^{-1}$, il primo termine è strascurabile per il $A^2$, il termine dominante sarà alla stessa frequenza delle oscillazioni, e con ampiezza $\approx 10^{-35}/z$.
NB la radiazione emessa lungo y sarà la stessa, mentre quella lungo x, scegliendo quindi $\vec{n} = (1,0,0)$ sarà nulla.
Consideriamo due masse $m_1,\;m_2$ puntiformi in orbita (cioè $r>>R_*$). Siano:
Questa volta le componenti non nulle del momento di quadrupolo saranno:
NB $q_{xx} + q_{yy} = const$, ma a noi interessano le parti variabili e quindi eliminiamo le costanti
Scrivendo quindi $$A_{ij} = \left(\begin{array}[ccc] cos(2\omega t)&sin(2\omega t)&0\\ sin(2\omega t)&-cos(2\omega t)&0\\ 0&0&0\\ \end{array}\right)$$
possiamo scrivere $q_{ij} = \mu l_0^2 A_{ij} + const$ e l'onda in TT gauge sarà $h^{TT}_{ij} = k d^2_t Q^{TT}_{ij} = k d^2_t (\mathcal{P}_{ijkm} q_{km}) = - k \cdot \mu/2\cdot l_0^2 4 \omega^2 (\mathcal{P}_{ijkm}A_{km})$. Sostituendo l'espressione di $\omega$ kepleriana i ottiene quindi $h^{TT}_{ij} = - h_0 A_{ij}^{TT}$, con $h_0 = 4\mu M G^2 / r l_0 c^4 = 4 m_1 m_2 G^2 / r l_0 c^4$ e con $A^{TT}$ da determinare a seconda dell'inclinazione della linea di vista rispetto al piano orbitale.
In ogni caso, come vediamo dagli argomenti delle funzioni $sen$-$cos$, l'onda emessa ha frequenza doppia rispetto alla frequenza orbitale.
Il flusso emesso sarà $L = 32/5 \cdot G/c^5 \cdot \mu r^4 \omega^6$. Benché al'aumentare di $\omega$ diminuisce $r$, dato che il primo va con la sesta potenza e il secondo con la quarta, conviene avere sistemi vicini. In più, sostituendo $\omega^2 = GM/r^30$ si ottiene $L \propto \mu r^4 = G^3 M^3 / r^5$. È preferibile quindi avere un sistema vicino: aumenta luminosità con 5a potenza di "vicinanza"
Sappiamo che:
Da notare che queste due stelle hanno masse circa uguali e simili a quella del sole, ma la separazione orbitale è soltanto $\sim 2 R_{\odot}$.
L'orbita è molto eccentrica ($\epsilon \sim 0.62$), ma poniamola circolare ai fini di fare una stima dell'emissione del sistema. Avremo $\nu_{GW} = 2\cdot \omega_k/2\pi \sim 7.2 \cdot 10^{-5} Hz \Rightarrow \lambda_{GW} = c/\nu_{GW} \sim 10^{14} cm >> l_0$, cioè l'approssimazione slomo è soddisfatta e il formalismo di quadrupolo è applicabile (nonostante le stelle siano comunque molto vicine e veloci).
L'ampiezza d'onda sarà quindi $h_0 = 4 \cdot 2 m_1 G^2/r l_0 c^4 \approx 10^{-21}$.
Il flusso invece $L_{GW} = 32/5 \cdot G^4/c^5 \mu^2 M^3/l_0^5 \approx 7.24 \cdot 10^{23} W \sim 10^{32} erg/s $, che a dispetto dell'ampiezza molto piccola, è un discreto quantitativo di energia ($\sim L_{\odot}/1000$).
Tuttavia è difficile da vedere dato che $\omega \approx 10^{-4} Hz$ TODO da capire perché
In regime adiabatico, l'energia orbitale persa dal sistema è dovuta soltanto alla radiazione gravitazionale, per cui l'orbita evolverà seguendo il tasso di emissione di GW: $d_t E_{orb} = L_{GW}$, con $E_{orb} = K + U$ e le orbite per semplicità kepleriane. Avremo quindi $K = 1/2\cdot \omega^2_K (m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2) = 1/2 \cdot \omega^2_K \mu l_0^2 = 1/2 \cdot G\mu M;\;U = -Gm_1m_2/l_0 = - G \mu M/l_0 \Rightarrow E_{orb} = -1/2 \cdot G\mu M/ l_0(t) \Rightarrow d_t E_{orb} = -E_{orb} d_tl_0/l_0$. Dato che $\omega_K = GM/l_0^3$ e $\omega_K = 2\pi / P_K$, sostituendo otterremo lo spinup tramite $d_t E_{orb} = -3/2 \cdot E_{orb} d_t P_K/P_K \Rightarrow \dot{P} = -3/2 \cdot P/E_{orb} \cdot \dot{E_{orb}} = 3/2 \cdot P/E_{orb} \cdot L_{GW}$
Nel caso di PSR 1913+16, con $E_{orb} \sim -10^{48} erg$, $\dot{P} \sim 2\cdot 10^{-13}$. Questo risultato è sottostimato di un ordine di grandezza perché abbiamo considerato orbite circolari invece che fortemente ellittiche come nel caso di PSR. Usando l'equazione del moto appropriata si ottiene uno spinup di $\sim -2.4 \cdot 10^{-12}$ in accordo con misure sperimentali.
Ultima mezzoretta inizia a $l_0 \sim 1000 km,\;\nu \sim 3 Hz, \;L\sim 10^{40},\; h_0\sim 10^{-19}$. Attualmente, con $\nu_{rot} = 3.6 \cdot 10^{-5}$, $t_{coal} = $
Dall'equazione dello spinup possiamo anche ottenere la variazione relativa di di $l_0$: $\dot{l_0}/l_0 = L_{GW}/E_{orb}$, che esplicitata e integrata su $dt$, ponendo $l_0(t= 0) = l_{0_{in}}$ diventa $l^4_0 (t) = l_{0_{in}}^4 - 4^4/5 \cdot G^3/c^5 \cdot \mu M^2 t$. Se definiamo il tempo di coalescenza $t_{coal} = \frac{5}{256} \frac{c^5}{G^3} \frac{l_{0_{in}}^4}{\mu M^2}$ l'equazione diventa $l_0(t) = l_{0_{in}}^4 \left(1-\frac{t}{t_{coal}}\right)^\frac{1}{4}$
NB ovviamente nella realtà i corpi non sono puntiformi come stiamo assumento, quindi inizeranno a coalescere prima di $t_{coal}$. Inoltre cadranno sia le assunzioni slomo e weak field, non saremo più in zona d'onda e nulla possiamo dire di ciò che accade con precisione. Il tempo di coalescenza è un tempo indicativo. In ogni caso, correzioni non slomo si mettono anche prima di fase caotica di coalescenza (tutte soluzioni numeriche a eq diff a derivate parziali alle differenze finite)
Supponendo per semplicità in regime adiabatico che l'orbita evolva attraverso una sequenza di orbite circolari stazionari, dall'equazione di $l_0(t)$ ricaviamo $\omega_K(t) = (GM/l^3_0(t))^{1/2} = \omega_{K_{in}}(1-t/t_{coal})^{-3/8}$, con $\omega_{K_{in}}^2 = GM/l^3_{0_{in}}$.
La frequenza dell'onda emessa sarà come abbiamo visto $\nu_{GW}(t) = 2 \nu_K(T) = 2\cdot \omega_K/2\pi = \nu_{GW_{in}}(1-t/t_{coal})^{-3/8}$.
L'ampiezza d'onda emessa sarà $h_0(t) = 4 m_1 m_2 G^2 /r l_0(t)c^4 = 4 \mu M G^2 / r c^4 \cdot (\omega_K^2(t)/GM)^{1/3}$.
Le equazioni mostrano che ampiezza e frequenza dell'onda emessa da un sistema binario aumenta con il tempo. Per questo motivo la peculiare forma d'onda di questo sistema è chiamato chirp.
In realtà si fa un fit a multiparametro, e si ottiene massa di oggetto singolo, oppure si ricava massa ridotta e distanza da $\omega_{rot}$ e sapendo $\mathcal{M}$ si ottiene massa singola. Ci si sbatte tanto per definire $\mathcal{M}$ che è una grandezza abbastanza complicata ma è un parametro misurabile direttamente
Un aspetto importante di questo tipo di segnale è che conoscendo ampiezza e frequenza possono essere ricavati o un parametro di massa del sistema o di distanza, riscrivendo la formula come segue:
$$h_0(t) = \frac{4}{c^4} \frac{1}{r} \cdot \left(\pi^2 G^5 \mathcal{M}^5 \nu^2_{GW}(t)\right)^\frac{1}{3},$$dove $\mathcal{M} = (\mu^3 M^2)^{1/5}$ è chiamato chirp mass.
RB, $h^{TT}_{ij}(t,r) = h_0 \cdot (\mathcal{P}_{ijkm}A_{km}(t-r/c))$, con $A$ matrice di rotazione su un piano dello spazio 3d, dove però la fase (argomento delle funzioni trigonometriche) in questo caso va sostituita perché la frequenza cambia nel tempo. Si usa quindi $\phi(t) = \int 2 \omega_K dt = \int 2\pi \nu_{GW}(t)dt + \Phi_{in}$, dove sostituendo l'espressione in termini del chirp mass $\nu_{GW} = 1/8\pi \cdot (c^3/G \mathcal{M})^{5/8} [5/(t_{coal}-t)]^{3/8}$ si ottiene la fase integrata $\phi(t) = -2 [c^3 (t_{coal}-t)/5G\mathcal{M}]^{5/8} + \phi_{in}$ che mostra come, conoscendo conoscendo la fase si conosca la frequenza e viceversa, e conoscendo uno dei due si ottenga la massa del chirp.
Consideriamo una stella compatta di forma ellissoidale. Il momento di quadrupolo sarà $q_{ij} = \int_V \rho x_i x_j d^3 x = - I_{ij}+ \delta_{ij} Tr[q] \Rightarrow Q_{ij} = -(I_{ij}- \delta_{ij}Tr[I]/3)$, con $I$ nel sistema di riferimento corotante definito da i tre semiassi $a, b, c$ dell'ellissoide:
$$I_{ij} = \frac{M}{5} \left(\begin{array}[ccc] b^2+c^2 & 0 & 0\\ 0 & c^2+a^2 & 0\\ 0 & 0 & a^2+b^2\\ \end{array}\right)= \left(\begin{array}[ccc] I_1 & 0 & 0\\ 0 & I_2 & 0\\ 0 & 0 & I_3\\ \end{array}\right) $$dove $I_i$ sono i momenti principali d'inerzia.
NB $q_m^m = Tr[q]$ NB le grandezze accentate saranno tutte nel frame corotante
Poniamo che la stella ruoti attorno a $I_3$, con $\vec{\omega} = (0,0,\Omega)$, le coordinate di un punto rispetto al frame corotante saranno trasformate secondo la matrice di rotazione: $x_i = R_{ij}(\phi)x'_j$ (con $\phi = \Omega t$), e quindi un punto a riposo in $x'_i=(1,0,0)$ risulterà avere una legge oraria sul piano x-y con velocità $\Omega$: $x_i = (cos(\Omega t), sin(\Omega t), 0)$
Il momento di inerzia quindi risulterà trasformato secondo $I_{ij} = R_{ik}R_{jl}I'_{kl} = (R I' R^T)_{ij}$. Sostituendo e calcolando si avrà un tensore $I$ a traccia costante scrivibile nella forma $I_{ij} = (I_1 - I_2)/2 \cdot R_{ij}(2\phi)$ e il mom quad risulterà $Q_{ij} = -I_{ij} + const$.
NB già si vede come l'onda che verrà emessa avrà anche questa volta frequenza doppia di quella di rotazione
Osservando le componenti $I_2,\:I_1$, la loro sottrazione sarà nula se $a=b$, portanto a un mom quad costante e quindi nessuna onda gravitazionale emessa. Questo è un risultato generale: un oggetto assisimmetrico rotante rigidamente attorno al suo asse di simmetria non irradia GW.
In realtà, se vi sono differenze, ci si aspettano siano molto piccole, espresse con un parametro $\epsilon = a-b / [(a+b)/2] \simeq (I_2-I_1)/I_3$
NB relazione $\epsilon \simeq f(I)$ approssimata a meno di un ordine $\epsilon^3$, dato che lo consideriamo piccolo.
Il momento di quadrupolo che ne risulterà sarà $Q_{ij}(2\phi) = \epsilon I_3 /2 \cdot R_{ij}(2\phi) + const$. Usando la fase ritardata ($\phi_ret = \Omega (t-r/c)$) e ponendo in gauge TT l'onda sarà $$h^{TT}_{ij}(2\phi_{ret}) = -\h_0 \mathcal{P}_{ijkm} R_{km}(2\phi_{ret})$$ , con l'ampiezza $$h_0 = \frac{4 G \Omega^2}{c^4 r} I_3 \epsilon$$
RB i termini di $\mathcal{P}$ dipendono dall'angolazione della linea di vista rispetto all'asse della stella
Per valori tipici di NS con $I_3 \sim 10^38 Kg \:m^2$, $r \sim 1 Kpc$, $\epsilon \sim 10^{-6}$, $T \sim 10^{-3} s$ avremo $h_0 \approx 4.21 \cdot 10^{-24}$.
Tutti i parametri tranne l'eccentricità sono misurabili.
Calcolando $\dddot{Q}$ si ottiene $L_{GW} = 32 G / 5 c^5 \cdot \Omega^6 \epsilon^2 I_3^2 \approx 10^{35} W$.
Usando il flusso gravitazionale, e paragonandolo allo spindown osservato (che sarà quello totale dovuto a emissione EM da dipolo e emissione GW da quadrupolo) si possono ottenere limiti a $\epsilon$. Per esempio la pulsar nella crab nebula ha upper limit da questo approccio pari a $\epsilon \lesssim 7.5 \cdot 10^{-4}$
altri approcci teoretici spingono il limite a $10^{-6}$
Con gli interferometri gravitazionali sono stati messi upper limit a $h_0 \lesssim 10^{-25} \Rightarrow \epsilon \lesssim 10^{-4}$, più restrittivo di quello sul periodo di rotazione (NB NON AGGIORNATI).
Nel caso in cui la stella abbia un asse di rotazione diverso da qualsiasi asse di inerzia, cioè abbia un angolo di whobbling non nullo avviene intanto il caso strano che $\nu_{GW} = \nu_{rot}$, e poi l'ampiezza di emissione dipende, oltre che dalla differenza di due assi d'inerzia, anche linearmente dall'angolo di whobbling.
Segnali in fase continua sono molto più deboli di coalescenza, ma durano molto di più, quindi si può accumulare statistica, integrare e alzare rapporto S/R La rugby star è bella perché dà segnale abbastanza monocromatico me è lontano e debole, e molto influenzato da dopplershift del moto Terra-Sole (TODO ho scritto cosa da verificare: se si conosce posizione oggetto in cielo non c'è modo di togliere doppler e quindi non si sa $\nu$ emissione né $\dot{\nu}$ quindi non si può identificare GW) Non avendo sinora osservato segnale, si pongono limiti usando le sensibilità in $\nu$ raggiunte da strumenti per porre upperlimit a $\epsilon$
NB $L_{GW}$ è luminosità gravitazionale bolometrica, o almeno una sorta. Viene da interpretazione energia-impulso di componente del numero $T_\mu^\mu$. Analogo a interpretazione energetica quadrivettore potenziale in elettromagnetismo.