Transformada de Fourier con Sympy

En este notebook usaremos el módulo de matemática simbólica Sympy, que incluye la función fourier_transform.

Primero cargamos el módulo y activamos la opción para que los resultados se despliegen en forma más amigable en el notebook:



In [1]:

    
from sympy import *
init_printing()

A continuación, definimos algunas variables que usaremos, algunas de ellas definidas como reales, y otras como reales positivos



In [2]:

    
x, k, xi, t, omega = symbols('x, k, xi, t, omega', real=True)
a, k0, alpha = symbols('a, k_0, alpha', positive=True)

Gaussiana

Como primer ejemplo, definimos una gaussiana



In [3]:

    
f1 = exp(-a*t**2)
f1









    Out[3]:





$$e^{- a t^{2}}$$

La implementación de la función fourier_transform requiere ingresar como argumento la función a transformar, la variable respecto a la cual se calcula la transformada, y el valor de la frecuencia correspondiente. Esto significa que si queremos transformar la función $f(t)$ debemos ingresar $(f,t,\omega/2\pi)$ como argumento:



In [4]:

    
fourier_transform(f1,t,omega/(2*pi))









    Out[4]:





$$\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}} e^{- \frac{\omega^{2}}{4 a}}$$

Sinusoidal amorgtiuada con función gaussiana



In [5]:

    
f2 = exp(-a*x**2)*cos(k0*x)
f2









    Out[5]:





$$e^{- a x^{2}} \cos{\left (k_{0} x \right )}$$



In [6]:

    
fourier_transform(f2,x,k/(2*pi))









    Out[6]:





$$\frac{\sqrt{\pi} \left(e^{\frac{k_{0} \left|{k}\right|}{a}} + 1\right)}{2 \sqrt{a} e^{\frac{1}{4 a} \left(k^{2} + k_{0}^{2} + 2 k_{0} \left|{k}\right|\right)}}$$

Función escalonada



In [7]:

    
f3 = Heaviside(x+a)*Heaviside(a-x)
f3









    Out[7]:





$$\theta\left(a - x\right) \theta\left(a + x\right)$$



In [8]:

    
Tf3 = fourier_transform(f3,x,k/(2*pi))
Tf3









    Out[8]:





$$\frac{i}{k} \left(- e^{2 i a k} + 1\right) e^{- i a k}$$

Esta forma debería ser equivalente a la calculada en clases. Podemos simplificarla un poco:



In [9]:

    
simplify(Tf3.as_real_imag())[0]









    Out[9]:





$$\frac{2}{k} \sin{\left (a k \right )}$$

Delta de Dirac



In [10]:

    
f4 = DiracDelta(x-xi)
f4









    Out[10]:





$$\delta\left(x - \xi\right)$$



In [11]:

    
fourier_transform(f4,x,k/(2*pi))









    Out[11]:





$$e^{- i k \xi}$$