Ejemplos de transformadas de Fourier:

En el presente notebook se han definido y graficado diversas funciones y sus correspondientes transformadas de Fourier.



In [2]:

    
%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from ipywidgets import interact



In [3]:

    
plt.style.use('classic')

Pulso cuadrado:

Sea $$ f(x):=\left\{ \begin{matrix} 1, &\rm{si}\quad |x|<a \\ 0, &\rm{si}\quad|x|>a \\ \end{matrix}\right. , $$

con transformada de Fourier $$ {\cal F}[f](k)=2\frac{\sin(k a)}{k}. $$



In [4]:

    
def p(x,a):
    if abs(x)<a:
        return 1.
    else:
        return 0.
pulso = np.vectorize(p) #vectorizando la función pulso

Definimos 1000 puntos en el intervalo $[-\pi,\pi]$:



In [5]:

    
x = np.linspace(-10,10,1000)
k = np.linspace(-10,10,1000)



In [6]:

    
def p(a=1):
    plt.figure(figsize=(12,5))
    plt.subplot(1,2,1)
    #fig,ej=subplots(1,2,figsize=(14,5))
    plt.plot(x,pulso(x,a), lw = 2)
    plt.xlim(-10,10)
    plt.ylim(-.1,1.1)
    plt.grid(True)
    plt.xlabel(r'$x$',fontsize=15)
    plt.ylabel(r'$f(x)$',fontsize=15)
    plt.subplot(1,2,2)
    plt.plot(k,2*(np.sin(k*a)/k), lw = 2)
    plt.xlim(-10,10)
    plt.grid(True)
    plt.xlabel('$k$',fontsize=15)
    plt.ylabel('$\\tilde{f}(k)$',fontsize=15)



In [7]:

    
#p(5)
#plt.savefig('fig-transformada-Fourier-pulso-cuadrado.pdf')



In [8]:

    
interact(p, a=(1,10))









    





 
 










    Out[8]:





<function __main__.p(a=1)>

Función Guassiana

Sea $$ f(x):=e^{-\alpha x^2}, \qquad \alpha>0, $$ con transformada de Fourier $$ {\cal F}[f](k)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-k^2/(4\alpha)}. $$



In [9]:

    
def gaussina(alpha=1):
    plt.figure(figsize=(12,5))
    plt.subplot(1,2,1)
    plt.plot(x,np.exp(-alpha*x**2), lw=2)
    plt.xlim(-3,3)
    plt.grid(True)
    plt.xlabel('$x$',fontsize=15)
    plt.ylabel('$f(x)$',fontsize=15)
    plt.subplot(1,2,2)
    plt.plot(k,np.sqrt(np.pi/alpha)*np.exp(-k**2/(4.*alpha)), lw=2)
    plt.xlim(-10,10)
    plt.ylim(0,2)
    plt.grid(True)
    plt.xlabel('$k$',fontsize=15)
    plt.ylabel('$\\tilde{f}(k)$',fontsize=15)



In [10]:

    
interact(gaussina, alpha=(1,50))









    





 
 










    Out[10]:





<function __main__.gaussina(alpha=1)>



In [11]:

    
#gaussina(5)
#plt.savefig('fig-transformada-Fourier-gaussiana.pdf')