Ejercicios y pruebas varias del Tema 1 : Cinemática



In [1]:

    
%matplotlib inline



In [2]:

    
from sympy import symbols, integrate, lambdify, diff
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy

Movimiento de gota de lluvia

Primero en sistema de referencia fijo y en otro que se mueve horizontalmente paralelo a la superfice del terreno.
Después en sistema fijo y otro con eje Z coincidente y rotando con velocidad angular w



In [3]:

    
# Creamos los simbolos que vamos a emplear
x, y, z, t = symbols('x y z t')



In [4]:

    
# Definimos constantes
g = 9.8 # [m/s**2]
rx0 = rz0 = 0
ry0 = 100
vx0 = vy0 = vz0 = 0
ax0 = ay0 = az0 = 0
V = 5 # [m/s] Velocidad de traslación del sistema S'



In [5]:

    
# Obtenemos valores de integrales simbólicas
vy = -g * t
ry = integrate(vy)
ay = diff(vy, t)

# 'lambdificamos' para poder realizar evaluaciones de las integrales
# lambdify(t, vy)(9)



In [6]:

    
# Formamos vectores como tuplas python. Podemos evaluar sus componentes con lambdify
r = (rx0, ry + ry0, rz0)
v = (vx0, vy + vy0, vz0)
a = (ax0, ay + ay0, az0)

Tenemos el sistema de referencia S' el cual se mueve con velocidad de traslación V = cte



In [7]:

    
V_mod = 5 # [m/s]
# Vector desplazamiento de S'
V = (V_mod, 0, 0)
v_pr = [v[i] - V[i] for i in range(3)] # Pasamos a tuplas, mejor usarlas aunque no modifiquemos, por list_comprehension

# A continuación forma correcta de integrar un vector, cada uno de sus componentes por separado, 
# pero usando una única función vectorial
r_pr = [integrate(v_pr[i], t) for i in range(3)]
r_pr[0] += 5 # Añadimos valor inicial de x0 en S'
r_pr[1] += ry0

Representación gráfica del movimiento de la gota de lluvia en los dos sistemas de referencia



In [8]:

    
p      = numpy.linspace(0, 4.5, 100)
x_S    = [5 for i in range(100)]
y_S    = [lambdify(t, r[1])(i) for i in p]
x_S_pr = [lambdify(t, r_pr[0])(i) for i in p]
y_S_pr = [lambdify(t, r_pr[1])(i) for i in p]

plt.title('Gota de lluvia en caída libre')
plt.xlabel('distancia X [m]')
plt.ylabel('distancia Y [m]')
           
plt.plot(x_S, y_S)
plt.plot(x_S_pr, y_S_pr)
plt.xlim(-18, 6)
plt.ylim(0, 110)

plt.plot(5, 100, 'ro')
plt.text(0, 100.7, 'punto inicial')

plt.plot(0, 0, 'b-', label = 'S fijo')
plt.plot(0, 0, 'g-', label = 'Sprima con v cte')
plt.legend(loc=0)

plt.show()

Ayudas varias sobre sintaxis empleadas



In [13]:

    
##### Lambdify (sympy)
#
# Sirve para lambdificar, esto es, hacer función anónima, un expresión que tengamos dependiente de una o más variables.
# Tiene muchísimas más opciones. Se puede elegir el módulo del cuál se cogerá la expresión (en caso de usar sin, cos, etc),
# puede coger matrices (las sustituye por numpy.array), etc.
# Increíblemente útil. Muchos ejemplos en la ayuda.
#
# Ejemplos
# r = [0, -4.9*t**2 + 100, 0]
# lambdify(t, r[1])(1)
# Out: 95.1
# s = 2 * x**2 + 3*y + z
# lambdify((x, y, z), s)(0.2, -4, 1)
# Out: -10.92