In [1]:
from tecnicas_numericas import *
import tecnicas_numericas
print(dir(tecnicas_numericas))
El presente documento cumple como función ilustrar de forma interactiva el comportamiento de las soluciones de la ecuación de Schrödinger estacionaria para estados ligados en problemas 1D con la aplicación del método de Numerov.
La aplicación del método del disparo con el algoritmo de Numerov, implica la búsqueda de raíces para encontrar los autovalores de energía. Su forma de proceder es mediante el avance regular en pasos de energía entre un mínimo y máximo hasta encontrar un cambio de signo en la evaluación la función de onda (o criterio equivalente, como la derivada logaritmica de la misma) hasta el punto de comparación. La presencia de este cambio de signo indica que existe una energía $E$ en el intervalo $[E_i, E_{i+1}]$ que es o raíz de la función de Numerov (por tanto autovalor del sistema) o una discontinuidad. Estas raíces y discontinuidas son asociadas a la función equivalente de cuantización de la energía, como en el problema típico de potencial finito lo es la ecuación trascendental (sin embargo, ésta no aparace explicitamente en el modelo númerico).
Las soluciones de autovalores de energía de un sistema se asocian al potencial y geometría del sistema (condiciones de frontera para un problema sobre una línea por ser 1D), las cuales se deben imponer acorde a las condiciones físicas de interes. Para las condiciones de frontera sabemos que en los extremos estas deben anularse, así que solo hace falta describir el potencial al cual se esta sujeto.
Pozo infinito y finito
El potencial del pozo infinito es descrito como:
\begin{equation} V(x) = \begin{cases} 0 & |x| < \frac{a}{2}\\ \infty & |x| \geq \frac{a}{2} \end{cases} \end{equation}Para el potencial de un pozo finito su potencial se puede describir como:
\begin{equation} V(x) = \begin{cases} 0 & |x| < \frac{a}{2}\\ V_0 & |x| \geq \frac{a}{2} \end{cases} \end{equation}Estos pozos son los casos básicos de estudio por la facilidad para su desarrollo análitico e interpretación sencilla. Se puede ver en estos casos de estudio aplicaciones en ...
In [2]:
def V_inf(x):
return 0
def V_fin(V_0, a, x):
if abs(x) < a/2:
return 0
else:
return V_0
Para efectos numéricos el infinito se traslada a una longitud grande comparativamente al ancho del pozo, la cual se designará como $L$. En el caso de que $a = L$, corresponde justamente al pozo infinito, de manera que la simulación de estos dos casos requiere un solo control y es basado en el potencial finito.
In [3]:
control_pozo = fun_contenedor_base()
agregar_control(control_pozo, FloatSlider(value = 5.2, min = .5, max= 10., step= .1, description='a'))
pozo_link = link((control_pozo.children[1], 'min'), (control_pozo.children[4], 'value'))
boton_pozo = Button(description='Simular pozo')
def click_pozo(boton):
V_max = control_pozo.children[0].value
L = control_pozo.children[1].value
N = control_pozo.children[2].value
n = control_pozo.children[3].value
a = control_pozo.children[4].value
Vx = lambda x: V_fin(V_max, a, x)
Solve_Schr(Vx, V_max, L, N, n)
clear_output(wait=True)
boton_pozo.on_click(click_pozo)
display(control_pozo, boton_pozo)
Potencial armonico
El potencial armónico cumple con la descripción dada por
\begin{equation}
V(x) = \frac{\omega^2 x^2}{4}
\end{equation}
In [4]:
def V_arm(omega, x):
return omega**2 * x**2 / 4
In [5]:
control_arm = fun_contenedor_base()
agregar_control(control_arm, FloatSlider(value = 1., min = .1, max= 4., step= .1, description='$\omega$'))
boton_arm = Button(description='Simular potencial')
def click_arm(boton):
E_max = control_arm.children[0].value
L = control_arm.children[1].value
N = control_arm.children[2].value
n = control_arm.children[3].value
omega = control_arm.children[4].value
Vx = lambda x: V_arm(omega, x)
Solve_Schr(Vx, E_max, L, N, n)
clear_output(wait=True)
boton_arm.on_click(click_arm)
display(control_arm, boton_arm)
Potencial arbitrario
El problema 1D puede ser resuelto para un problema de potencial arbitrario $V(x)$, donde str_potencial es un string que representa la función del potencial. Debe tenerse en cuenta, tanto para este caso como los anteriores, que numéricamente el infinito es representado como una escala mayor por un cierta cantidad que la escala de interes del sistema.
Actividad : Proponga una función potencial de interes y desarrolle el bloque de código requerido para simularlo con este notebook. Use como base las funciones desarrolladas en los notebooks y el bloque siguiente.
El bloque siguiente ilustra un problema de potencial armónico con anarmonicidad.
In [6]:
control_arb = fun_contenedor_base()
E_max = control_arb.children[0]
L = control_arb.children[1]
N = control_arb.children[2]
n = control_arb.children[3]
n.value = 300
L.value = 20.
str_potencial = Text(value='x**2 / 4 + x**3 / 50', description= 'Potencial')
str_potencial.funcion = lambda x: eval(str_potencial.value)
agregar_control(control_arb, str_potencial)
# Ingrese un texto en formato python con dependencia solo de 'x'.
def ingreso_potencial(str_potencial):
str_potencial.funcion = lambda x: eval(str_potencial.value)
Vx = str_potencial.funcion
h = L.value / n.value
V_vec = [Vx(-L.value/2 + h*i) for i in range(n.value + 1)]
V_min = min(V_vec)
V_max = max(V_vec)
dV = (V_max - V_min) / 50
E_max.step = dV
E_max.min = V_min
E_max.max = V_max + (V_max - V_min)
E_max.value = V_max
ingreso_potencial(str_potencial)
boton_arb = Button(description='Simular potencial')
def click_arbitrario(boton):
Vx = str_potencial.funcion
Solve_Schr(Vx, E_max.value, L.value, N.value, n.value)
clear_output(wait=True)
str_potencial.on_submit(ingreso_potencial)
boton_arb.on_click(click_arbitrario)
display(control_arb, boton_arb)
Para potenciales no simétricos y con amplias diferencias entre el potencial máximo y mínimo se recomienda usar instancias directas de Python e IPython, debido al comportamiento como servidor de las instancias de Jupyter, que provocan la terminación del llamado al kernel tras un \textit{timeout}, de aproximadamente minuto y medio. Tras este periodo se recomienda reiniciar el kernel (tanto si es de ejecución local como en línea).
El caso con los siguientes parámetros toma 256 s su solución y no es posible realizarlo en el notebook.
Se encuentra $E_1 = -241.0251$ y la función de onda graficada a continuación.
In [ ]: