

In [7]:

    
from sympy import *
init_printing() #muestra símbolos más agradab
R=lambda n,d: Rational(n,d)



In [8]:

    
x,y,t=symbols('x,y,t')

Ejercicio 1



In [2]:

Si uno plantea el sistema queda de esta forma



In [5]:

    
t=symbols('t')
A=Matrix([[-R(1,50),0,0],[R(1,50),-R(2,50),0],[0, +R(2,50),-R(3,50)]])*t
A
x0=Matrix([[10],[10],[10]])
A, x0









    Out[5]:





$$\left ( \left[\begin{matrix}- \frac{t}{50} & 0 & 0\\\frac{t}{50} & - \frac{t}{25} & 0\\0 & \frac{t}{25} & - \frac{3 t}{50}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}10\\10\\10\end{matrix}\right]\right )$$

"Resolvamoslo"



In [6]:

    
n=10
g=Matrix([[0],[0],[0]])
for i in range(n+1):
    g=g+A**i*x0
g









    Out[6]:





$$\left[\begin{matrix}\frac{t^{10}}{9765625000000000} - \frac{t^{9}}{195312500000000} + \frac{t^{8}}{3906250000000} - \frac{t^{7}}{78125000000} + \frac{t^{6}}{1562500000} - \frac{t^{5}}{31250000} + \frac{t^{4}}{625000} - \frac{t^{3}}{12500} + \frac{t^{2}}{250} - \frac{t}{5} + 10\\\frac{t^{10}}{9765625000000000} - \frac{t^{9}}{195312500000000} + \frac{t^{8}}{3906250000000} - \frac{t^{7}}{78125000000} + \frac{t^{6}}{1562500000} - \frac{t^{5}}{31250000} + \frac{t^{4}}{625000} - \frac{t^{3}}{12500} + \frac{t^{2}}{250} - \frac{t}{5} + 10\\\frac{t^{10}}{9765625000000000} - \frac{t^{9}}{195312500000000} + \frac{t^{8}}{3906250000000} - \frac{t^{7}}{78125000000} + \frac{t^{6}}{1562500000} - \frac{t^{5}}{31250000} + \frac{t^{4}}{625000} - \frac{t^{3}}{12500} + \frac{t^{2}}{250} - \frac{t}{5} + 10\end{matrix}\right]$$

"las soluciones son iguales"

Ejercicio 2

Reslover el problema

\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{cc} -u_{x}+u_{y}=u^2 & (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ u(x,0)=\frac{1}{2}e^{-x} & x\in \mathbb{R} \end{array} \right. \end{equation*}

La solucion del problema es $u(x,t)=\frac{1}{2e^{x+y}-y}$. Verifiquemoslo



In [9]:

    
u=(2*exp(x+y)-y)**(-1)
u









    Out[9]:





$$\frac{1}{- y + 2 e^{x + y}}$$



In [11]:

    
((-u.diff(x)+u.diff(y))-u**2).factor()









    Out[11]:





$$0$$



In [12]:

    
u.subs(y,0)









    Out[12]:





$$\frac{e^{- x}}{2}$$

Ejercicio 3

Sea $y=ax$ una recta que pasa por el origen. Sea $(x_0,y_0):=(x_0,y (x_0))$ el punto de corte entre la recta $y=ax$ y una solución de la ecuación $y'(x)=f(x,y)$, y sea $\alpha$ el ángulo que forman las rectas $y=ax$ con la recta tangente $y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0$ a la curva $(x,y(x))$ en el punto $(x_0,y_0)$. Luego, el $\cos (\alpha)$ se puede calcular de esta manera

$$ \cos (\alpha)=\frac{u}{|| u||} \cdot \frac{v}{|| v||}$$

donde $u$ y $v$ son vectores paralelos a las rectas $y=ax$ e $y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0$ respectivamente.

En la igualdad anterior podemos tomar $u=(x-x0,ax-ax_0)$ y $v=(x-x_0,y'(x_0)(x-x_0)+y_0-y_0)$, para algún $x\neq x_0$. Luego,

\begin{equation*} \begin{split} \cos (\alpha)&=\frac{(x-x0,ax-ax_0)}{\sqrt{1+a^2}|x-x_0 |}\cdot \frac{(x-x_0,y'(x_0)(x-x_0))}{\sqrt{1+(y'(x_0))^2}|x-x_0 |}\\ &=\frac{(x-x_0)^2+(a+y'(x_0))(x-x_0)^2}{\sqrt{(1+a^2)(1+(y'(x_0))^2)}(x-x_0)^2}\\ &=\frac{1+(a+y'(x_0))}{\sqrt{(1+a^2)(1+(y'(x_0))^2)}}\\ &=\frac{1+(a+f(x_0,y_0))}{\sqrt{(1+a^2)(1+(f(x_0,y_0))^2)}}\\ &=\frac{1+(a+f(1,\frac{y_0}{x_0}))}{\sqrt{(1+a^2)(1+(f(1,\frac{y_0}{x_0}))^2)}}\\ &=\frac{1+(a+f(1,a))}{\sqrt{(1+a^2)(1+(f(1,a))^2)}}. \end{split} \end{equation*}

Y esta última expresión es independiente del punto $(x_0,y_0)$ donde la recta interseca a la curva solución de $y'=f(x,y)$.



In [ ]:



In [ ]:



In [ ]:



In [ ]: